Hei. Selailin tässä lukion matematiikan kirjoja, ja kohdalleni osui eräs epäilys koskien kosinin kaksinkertaista kaavaa.
Tiedetään, että cos 2x = 2 cos^2(x) -1. Eli että molemmat puolet ovat yhtä suuret. Jos x = 1, niin sijoittamalla kyseiseen kaavaan x:n arvon, saamme
2x1 = 2(1)^2-1
2 = 1 (!)
Mikä menee vikaan ? Onko kysymykseni edes järkevä ?
Tiedetään, että cos 2x = 2 cos^2(x) -1. Eli että molemmat puolet ovat yhtä suuret. Jos x = 1, niin sijoittamalla kyseiseen kaavaan x:n arvon, saamme
2x1 = 2(1)^2-1
2 = 1 (!)
Mikä menee vikaan ? Onko kysymykseni edes järkevä ?
Vastaukset 13
Vanhimmat
Onneksi siinä ei ole järjen hiventäkään!
Minne muuten unohdit ne kosinifunktiot?
Miksi ei ole ? Selitä se mulle. Jos sijoitan arvon x = 1 molemmin puolin, saadut tulokset eivät ole yhtä suuret. Tässä vain pohdin, pitääkö tuo lause paikkaansa.
Jos sijoitat yhtälöön molemmille puolille arvon x=1, saat yhtälön
cos(2*1)=2cos^2(1)-1 eli lyhyemmin
cos(2) = 2cos^2(1)-1.
Jos näpyttelet molemmat puolet laskimeen huomaat, että lausekkeet ovat yhtä suuret.
Eli x ei korotu toiseen potenssiin kosisin kohdalla ? No jos oletetaan, että cos x = 1/2, silloinhan se korottuu,kun sijoitetaan.Mutta siinä ei varmaan voi laskea " cos 2x = 2*1/2 = 1." Vai voiko ? Tällöinkin molemmat puolet olisivat erisuuruisia.
Ei ole olemassa kaavaa cos(2x)=2cos(x), vaan kuten taulukkokirja sanoo, cos(2x) = 2 cos^2(x) -1. Merkintä cos^2(x) tarkoittaa laskutoimitusta (cos x)^2 = cos x * cos x, eli x ei korotu potenssiin, vaan koko cos x korotetaan potenssiin 2.
Ei, ei ja ei!
Jos cos x = ½, niin yleisesti cos 2x ≠ 1, vaan jotakin muuta.
Ota huomioon, että cos²x ≠ cos x². Tämä siksi, että cos²x = (cos x)², kun taas cos x² = cos(x²).
Toden totta, pitää muistaa että cos^2(x) tarkoittaa (cos(x))^2.
cosx^2 tarkoittaa taas cos(x^2).
Nämä kosinin tai sinin argumentin potenssiinkorotukset ovat sovellutuksissa harvinaisia, tulee mieleen ainoastaan Fresnelin integraalit fysiikassa. Niitä ei edes voi integroida suljetussa muodossa.
Ei ole olemassa kaavaa cos(2x)=2cos(x), vaan kuten taulukkokirja sanoo, cos(2x) = 2 cos²(x) -1. Merkintä cos²(x) tarkoittaa laskutoimitusta (cos x)² = (cos x) * (cos x), eli x ei korotu potenssiin, vaan koko cos x korotetaan potenssiin 2.
X² = X * X
Olkoon f(x) jokin funktio. Silloin yleensä
f(x*y) != f(x)*f(y) paitsi esimerkiksi, kun f(x) = x^n.
Mutta sen sijaan cos(x*y) != cos(x) * cos(y) paitsi ehkä joillakin erityisillä x ja y arvoilla.
Samoin yleensä f(x^2) != f(x)^2.
Näin päädytään funktionaalityhtälöihin, Olisi siis määrättävä sellaiset funktiot, jotka määrittelyalueellaan toteuttavat identisesti esimerkiksi yhtälön
f(x^2) = f(x)^2.
Todetaan, että yksi ratkaisu olisi f(x) = x^n.
Luuletko tosiaan että joku ymmärtää sinun erisuuri merkkejäsi. Eivät kaikki opiskele ohjelmointia C tai Java.
Parempia eri suuri kuin merkkejä ovat mm. < >, =/=, tai sitten UNICODE merkitkin toimivat täällä. MM. Visual Basic käyttää muotoa joka on looginen (pienempi tai suurempi kuin eli eri suuri kuin)
Miksi ei käyttää matematiikan ≠-merkkiä?
Hehheh. Vieläkö joku käyttää basicia?
Tässä:
A = Matemaattinen symboli vertailuoperaattorille
B = Delphin käyttämä merkintä vertailuoperaattorille
A B
= =
≠
< <
≤ >
≥ >=
Käsittääkseni Visual Basic käytttää samoja vertailuoperaattoreita kuin Delphi.
C = Kieli joka mahdollistaa äärimmäisen harhaanjohtavaa koodausta:
if (a = 5) {
// koodia
}
Sama Delphiksi:
begin
a := 5;
if (a 0) then begin
// koodia
end;
end;
Sijoituslauseen naamioiminen vertailuoperaattoriksi on tyhmin idea ikinä.
Järkevästi suunnitellut kielet vastaavat tuollaiseen koodaukseen "Syntax error" - tai jotakin muuta vastaavaa.
Mutta C päästää läpi tuollaistakin sontaa, olkoonkin, että esim. gcc -käätäjä antaa kyllä varoituksen (mutta ei siis virheilmoitusta) tuollaisesta.
Ja ns. Heartbleed bugi - tuollainen EI olisi ollut mahdollista, jos ko. kirjasto olisi koodattu Delphillä. Moinen on mahdollista vain C:llä.
Delphi -koodia voi (yrittää) kääntää myös Linuxille FreePascal Lazarus -yhdistelmällä.
Windowsissa kannattaa käyttää aitoa Delphiä, sillä Delphin debuggeri toimii loogisesti ja järkevästi - samaa ei aina voi sanoa GPL -fanaatikkojen tuotoksista.
http://fi.wikipedia.org/wiki/Heartbleed-haavoittuvuus