Ääriarvo ilman derivaattaa

Ei kannata miettiä, tehtävässä ei ole järjen muruakaan...

Miten niin? Mielestäni ne kiinnittävät vain suorakulmion kaksi vastakkaista kärkeä ja siten lävistäjän. Kaksi muuta pistettä (B,D) ovat ympyrän kaarella jonka halkaisija on AC. Tuon ympyrän avulla voi helposti todeta että neliö antaa suurimman pinta-alan (mitä ei voi ilman muuta olettaa). Eipä tuo derivointimenetelmäkään ole kovin työläs tässä tapauksessa.

9+8 kirjoitti:

Miten niin? Mielestäni ne kiinnittävät vain suorakulmion kaksi vastakkaista kärkeä ja siten lävistäjän. Kaksi muuta pistettä (B,D) ovat ympyrän kaarella jonka halkaisija on AC. Tuon ympyrän avulla voi helposti todeta että neliö antaa suurimman pinta-alan (mitä ei voi ilman muuta olettaa). Eipä tuo derivointimenetelmäkään ole kovin työläs tässä tapauksessa.

Mites AC*h=ab , josta h=ab/AC (h kuvaa komion ABC korkeutta). Toisaalta tiedetään, että sqrt(6^2 4^2)=sqrt(a^2 b^2) => sqrt(52)=sqrt(a^2 b^2) , josta a=sqrt(52-b^2).

Alaksi saadaan h*sqrt(52) eli voidaan etsiä h:n maksimiarvo ja sen lausekehan tuli ratkaistuksi edellä: h -> h(b)=sqrt(52-b^2)*b/sqrt(52).

Nyt kerrotaan b neliöjuuren sisään (b>0) ja tutkitaan osoittajaa: sqrt(52b^2-b^4). Käytetään apumuuttujaa t=b^2, josta saadaan tutkittavaksi toisen asteen yhtälö 52b^2-b^4 , josta etsitään huippukohta ja saadaan b, joka taas sijoittamalla antaa arvon a. Pitäisi tulla yhtä suuret.

Helppohan ne on päätellä sitten ne pisteet B ja D mutta miten matemaattisesti ne saisi selville näillä eväillä? Kun piste tiedetään, niin saadaan suoran yhtälöllä kun kulmakerroinkin on ratkaistavissa AC:sta.

Fibonakki kirjoitti:

Mites AC*h=ab , josta h=ab/AC (h kuvaa komion ABC korkeutta). Toisaalta tiedetään, että sqrt(6^2 4^2)=sqrt(a^2 b^2) => sqrt(52)=sqrt(a^2 b^2) , josta a=sqrt(52-b^2).

Alaksi saadaan h*sqrt(52) eli voidaan etsiä h:n maksimiarvo ja sen lausekehan tuli ratkaistuksi edellä: h -> h(b)=sqrt(52-b^2)*b/sqrt(52).

Nyt kerrotaan b neliöjuuren sisään (b>0) ja tutkitaan osoittajaa: sqrt(52b^2-b^4). Käytetään apumuuttujaa t=b^2, josta saadaan tutkittavaksi toisen asteen yhtälö 52b^2-b^4 , josta etsitään huippukohta ja saadaan b, joka taas sijoittamalla antaa arvon a. Pitäisi tulla yhtä suuret.

Helppohan ne on päätellä sitten ne pisteet B ja D mutta miten matemaattisesti ne saisi selville näillä eväillä? Kun piste tiedetään, niin saadaan suoran yhtälöllä kun kulmakerroinkin on ratkaistavissa AC:sta.

Toisen asteen yhtälö 52t-t^2 on realistisempi toisen asteen yhtälö ))))

Fibonakki kirjoitti:

Mites AC*h=ab , josta h=ab/AC (h kuvaa komion ABC korkeutta). Toisaalta tiedetään, että sqrt(6^2 4^2)=sqrt(a^2 b^2) => sqrt(52)=sqrt(a^2 b^2) , josta a=sqrt(52-b^2).

Alaksi saadaan h*sqrt(52) eli voidaan etsiä h:n maksimiarvo ja sen lausekehan tuli ratkaistuksi edellä: h -> h(b)=sqrt(52-b^2)*b/sqrt(52).

Nyt kerrotaan b neliöjuuren sisään (b>0) ja tutkitaan osoittajaa: sqrt(52b^2-b^4). Käytetään apumuuttujaa t=b^2, josta saadaan tutkittavaksi toisen asteen yhtälö 52b^2-b^4 , josta etsitään huippukohta ja saadaan b, joka taas sijoittamalla antaa arvon a. Pitäisi tulla yhtä suuret.

Helppohan ne on päätellä sitten ne pisteet B ja D mutta miten matemaattisesti ne saisi selville näillä eväillä? Kun piste tiedetään, niin saadaan suoran yhtälöllä kun kulmakerroinkin on ratkaistavissa AC:sta.

Miksi noin monimutkaisesti? Suorakulmion sivut ovat x ja y ja lävistäjä (hypotenuusa) c=sqrt(52). Saadaan x^2 y^2=c^2. Maksimoidaan x*y eli x*sqrt(c^2-x^2). Derivaatta on sqrt(c^2-x^2) x*(-2*x)/2*sqrt(c^2-x^2). Nollakohta kun x=c/sqrt2.

9+13 kirjoitti:

Miksi noin monimutkaisesti? Suorakulmion sivut ovat x ja y ja lävistäjä (hypotenuusa) c=sqrt(52). Saadaan x^2 y^2=c^2. Maksimoidaan x*y eli x*sqrt(c^2-x^2). Derivaatta on sqrt(c^2-x^2) x*(-2*x)/2*sqrt(c^2-x^2). Nollakohta kun x=c/sqrt2.

Koitti varmaan miettiä ilman tuttua derivoimista

"Tämä on ihan turha lause. Jokaisen pisteen kautta voidaan piirtää AC:n kanssa yhdensuuntainen suora"

Lause ei ole turha, koska tehtävässä kysytään suoran yhtälöä. Tuon tiedon avulla saadaan selville kulmakerroin, joka on tässä tapauksessa 2/3.
Näin ollen suora on muotoa y = (2/3)x b.

Itseasiassa ei "kiinnitä". Voisihan kärjet olla pisteissä (0, 4) ja (6, 0). Tällöin kappale ei - yllätys yllätys - olisi neliö, eikä täten alaltaan suurin mahdollinen, mutta neliö-oletusta ei voi käyttää ilman osoitusta, joten se ei teoriassa ole "varmaa", missä muut kärjet sijaitsevat.

Kiitos! Tapa tuokin - ehkä käytännöllisempikin kuin esittämäni.

ihan vaan muuten, tossa on väärä vastaus. Oikein laskemalla tulee x=1 ja y=5, ja kysytyksi suoraksi y=2/3x 13/3

6+4 kirjoitti:

ihan vaan muuten, tossa on väärä vastaus. Oikein laskemalla tulee x=1 ja y=5, ja kysytyksi suoraksi y=2/3x 13/3

Minä teen näköjään aina jonkun munauksen, mutta siitäkin huolimatta lasken tätä vielä yhdellä tavalla, ja kun kerran tässä suoran yhtälöä kysytään, niin haetaan sitten heti sitä yhtälöä:
http://aijaa.com/MRdgIq

Ensikertalaissubmittaajalle kieltämättä. Mut oli joukossa hyviiki vastauksia!