Suorakulmion ABCD kärki A on origossa, ja sille vastakkainen kärki C on pisteessä (6, 4). Kärki B on janan AC suuntaisella suoralla. Määritä suoran yhtälö, kun suorakulmion ala on mahdollisimman suuri.
Tavoitteena olisi saada vastauksia ilman "työlästä" derivointia käyttäen jotain nopeampaa kikkaa. Suurin ala saavutetaan neliönä, mutta saako sen olettaa? Miten sen voisi osoittaa ilman derivointia?
Ääriarvo ilman derivaattaa
Fibonakki
17
166
Vastaukset
- Laskee,
Mietipä, mikä tässä on muuttujana, jonka suhteen alan voi laskea. Vai onko? Kyllä se siitä ratkeaa.
- 6+16
Ei kannata miettiä, tehtävässä ei ole järjen muruakaan...
- alager
Nuo kärjet A ja C jo kiinnittävät suorakulmion.
- 9+8
Miten niin? Mielestäni ne kiinnittävät vain suorakulmion kaksi vastakkaista kärkeä ja siten lävistäjän. Kaksi muuta pistettä (B,D) ovat ympyrän kaarella jonka halkaisija on AC. Tuon ympyrän avulla voi helposti todeta että neliö antaa suurimman pinta-alan (mitä ei voi ilman muuta olettaa). Eipä tuo derivointimenetelmäkään ole kovin työläs tässä tapauksessa.
- Fibonakki
9+8 kirjoitti:
Miten niin? Mielestäni ne kiinnittävät vain suorakulmion kaksi vastakkaista kärkeä ja siten lävistäjän. Kaksi muuta pistettä (B,D) ovat ympyrän kaarella jonka halkaisija on AC. Tuon ympyrän avulla voi helposti todeta että neliö antaa suurimman pinta-alan (mitä ei voi ilman muuta olettaa). Eipä tuo derivointimenetelmäkään ole kovin työläs tässä tapauksessa.
Mites AC*h=ab , josta h=ab/AC (h kuvaa komion ABC korkeutta). Toisaalta tiedetään, että sqrt(6^2 4^2)=sqrt(a^2 b^2) => sqrt(52)=sqrt(a^2 b^2) , josta a=sqrt(52-b^2).
Alaksi saadaan h*sqrt(52) eli voidaan etsiä h:n maksimiarvo ja sen lausekehan tuli ratkaistuksi edellä: h -> h(b)=sqrt(52-b^2)*b/sqrt(52).
Nyt kerrotaan b neliöjuuren sisään (b>0) ja tutkitaan osoittajaa: sqrt(52b^2-b^4). Käytetään apumuuttujaa t=b^2, josta saadaan tutkittavaksi toisen asteen yhtälö 52b^2-b^4 , josta etsitään huippukohta ja saadaan b, joka taas sijoittamalla antaa arvon a. Pitäisi tulla yhtä suuret.
Helppohan ne on päätellä sitten ne pisteet B ja D mutta miten matemaattisesti ne saisi selville näillä eväillä? Kun piste tiedetään, niin saadaan suoran yhtälöllä kun kulmakerroinkin on ratkaistavissa AC:sta. - Fibonakki
Fibonakki kirjoitti:
Mites AC*h=ab , josta h=ab/AC (h kuvaa komion ABC korkeutta). Toisaalta tiedetään, että sqrt(6^2 4^2)=sqrt(a^2 b^2) => sqrt(52)=sqrt(a^2 b^2) , josta a=sqrt(52-b^2).
Alaksi saadaan h*sqrt(52) eli voidaan etsiä h:n maksimiarvo ja sen lausekehan tuli ratkaistuksi edellä: h -> h(b)=sqrt(52-b^2)*b/sqrt(52).
Nyt kerrotaan b neliöjuuren sisään (b>0) ja tutkitaan osoittajaa: sqrt(52b^2-b^4). Käytetään apumuuttujaa t=b^2, josta saadaan tutkittavaksi toisen asteen yhtälö 52b^2-b^4 , josta etsitään huippukohta ja saadaan b, joka taas sijoittamalla antaa arvon a. Pitäisi tulla yhtä suuret.
Helppohan ne on päätellä sitten ne pisteet B ja D mutta miten matemaattisesti ne saisi selville näillä eväillä? Kun piste tiedetään, niin saadaan suoran yhtälöllä kun kulmakerroinkin on ratkaistavissa AC:sta.Toisen asteen yhtälö 52t-t^2 on realistisempi toisen asteen yhtälö ))))
- 9+13
Fibonakki kirjoitti:
Mites AC*h=ab , josta h=ab/AC (h kuvaa komion ABC korkeutta). Toisaalta tiedetään, että sqrt(6^2 4^2)=sqrt(a^2 b^2) => sqrt(52)=sqrt(a^2 b^2) , josta a=sqrt(52-b^2).
Alaksi saadaan h*sqrt(52) eli voidaan etsiä h:n maksimiarvo ja sen lausekehan tuli ratkaistuksi edellä: h -> h(b)=sqrt(52-b^2)*b/sqrt(52).
Nyt kerrotaan b neliöjuuren sisään (b>0) ja tutkitaan osoittajaa: sqrt(52b^2-b^4). Käytetään apumuuttujaa t=b^2, josta saadaan tutkittavaksi toisen asteen yhtälö 52b^2-b^4 , josta etsitään huippukohta ja saadaan b, joka taas sijoittamalla antaa arvon a. Pitäisi tulla yhtä suuret.
Helppohan ne on päätellä sitten ne pisteet B ja D mutta miten matemaattisesti ne saisi selville näillä eväillä? Kun piste tiedetään, niin saadaan suoran yhtälöllä kun kulmakerroinkin on ratkaistavissa AC:sta.Miksi noin monimutkaisesti? Suorakulmion sivut ovat x ja y ja lävistäjä (hypotenuusa) c=sqrt(52). Saadaan x^2 y^2=c^2. Maksimoidaan x*y eli x*sqrt(c^2-x^2). Derivaatta on sqrt(c^2-x^2) x*(-2*x)/2*sqrt(c^2-x^2). Nollakohta kun x=c/sqrt2.
- 7+19
9+13 kirjoitti:
Miksi noin monimutkaisesti? Suorakulmion sivut ovat x ja y ja lävistäjä (hypotenuusa) c=sqrt(52). Saadaan x^2 y^2=c^2. Maksimoidaan x*y eli x*sqrt(c^2-x^2). Derivaatta on sqrt(c^2-x^2) x*(-2*x)/2*sqrt(c^2-x^2). Nollakohta kun x=c/sqrt2.
Koitti varmaan miettiä ilman tuttua derivoimista
- amatööri
"Kärki B on janan AC suuntaisella suoralla."
Tämä on ihan turha lause. Jokaisen pisteen kautta voidaan piirtää AC:n kanssa yhdensuuntainen suora.
"Määritä suoran yhtälö, kun suorakulmion ala on mahdollisimman suuri."
Hmm. Eikös vastakkaisten kärkien antaminen kiinnitä suorakulmion muut kärjet ja siten ala on vakio?- 94376589170248975890
"Tämä on ihan turha lause. Jokaisen pisteen kautta voidaan piirtää AC:n kanssa yhdensuuntainen suora"
Lause ei ole turha, koska tehtävässä kysytään suoran yhtälöä. Tuon tiedon avulla saadaan selville kulmakerroin, joka on tässä tapauksessa 2/3.
Näin ollen suora on muotoa y = (2/3)x b. - munummelli
Itseasiassa ei "kiinnitä". Voisihan kärjet olla pisteissä (0, 4) ja (6, 0). Tällöin kappale ei - yllätys yllätys - olisi neliö, eikä täten alaltaan suurin mahdollinen, mutta neliö-oletusta ei voi käyttää ilman osoitusta, joten se ei teoriassa ole "varmaa", missä muut kärjet sijaitsevat.
- Fibonakki
Kiitos! Tapa tuokin - ehkä käytännöllisempikin kuin esittämäni.
- 6+4
ihan vaan muuten, tossa on väärä vastaus. Oikein laskemalla tulee x=1 ja y=5, ja kysytyksi suoraksi y=2/3x 13/3
- aeija
6+4 kirjoitti:
ihan vaan muuten, tossa on väärä vastaus. Oikein laskemalla tulee x=1 ja y=5, ja kysytyksi suoraksi y=2/3x 13/3
Minä teen näköjään aina jonkun munauksen, mutta siitäkin huolimatta lasken tätä vielä yhdellä tavalla, ja kun kerran tässä suoran yhtälöä kysytään, niin haetaan sitten heti sitä yhtälöä:
http://aijaa.com/MRdgIq
- 8+4
Keskustelu antaa aika masentavan kuvan tämän palstan tasosta.
- Fibonakki
Ensikertalaissubmittaajalle kieltämättä. Mut oli joukossa hyviiki vastauksia!
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Kansalla on oikeus tietää miksi persut pettävät
Koko kulunut hallituskausi on kysytty persuilta, minkä vuoksi he ovat pettäneet käytännössä jokaisen vaalilupauksen, ain597474Venäjän armeijan evp-upseeri: Armeija surkeassa tilassa, jonka läpäisee kaiken kattava
valehtelu. Venäläiset alkaneet pohtia julkisesti maan todellisia tappioita. Z-bloggari ja 3. luokan kapteeni (evp.) Mak1232906- 1421746
Kansalla on oikeus tietää mikä on SDP:n talousohjelma jolla maan talous
saadaan nousuun? Miksi puolue piilottelee sitä, vai eikö sitä ole? Tähän asti olemme vaan saaneet kuulla hallituksen ha651639Ammattiliitto 900 euroa/vuosi - Työttömyyskassa 72 euroa/vuosi
Ammattiliitosta eroamalla voi säästää jopa 800 euroa vuodessa. Mitä enemmän tienaat, sitä enemmän maksat liitolle. Esim1151448Miten voit olla niin tyhmä
että et tajunnut että sua vedätettiin? Tietäisitpä miten hyvät naurut on saatu. Naiselle1671384- 1291116
- 73817
Kyriake=Kirkko
Kirkko, Kyriake Kirkko-sana tulee kreikankielen sanasta Kyriake=Herran omat, Kristuksen omaksi kastettujen suuri joukko47802- 51707