Laskusääntöjen määritelmät

No ainakin reaaliluvuilla plus ja kertolasku olemassaolo on määritelty aksioomissa. Miinus ja jako on sitten näiden käänteisoperaatioita. Toki erilaisissa algebrallisissa rakenteissa laskutoimitukset määritellään erilailla. Esimerkiksi reaalilukujen yhteenlasku, yhteenlasku renkaassa Z/nZ ja matriisien yhteenlasku poikkeaa toisistaan. Ja yleisesti jos haluaa luoda uuden struktuurin, pitää sinne määritellä laskusäännöt jos siellä halutaan laskea.

Voita määritellä yhteen- ja kertolaskun Peanon aksioomista lähtien https://matta.hut.fi/matta/mma/peano.pdf

Veikkaisin että ainakin imaginäärilukujen keksimisestä asti on ollut välttämätöntä määritellä kaikki operaatiot jotenkin, kyseisten lukujen kanssa kun eivät normaalista elämästä johdetut abstraktiot enää auta eteenpäin yhtään.

Abstrakti yhteen- ja vähennyslasku joukossa A ovat funktioita
:AxA->A ja x :AxA->A. Lisäehtona on se, että funktion arvo ei saa riippua luokan edustajan valinnasta esim. jos käyttää murtolukuna 1/2 tai 3/6 niin pitäisi tulla sama laskutulos ts. laskutoimituksen pitää olla hyvin määritelty.

Esim. Jos määritellään abstrakti lasku rationaaliluvuilla
a/b c/d = a c /b d (eli osoittajat lasketaan keskenään ja nimittäjät keskenään)
Tämä ei ole hyvin määritelty, koska
1/3 1/5=2/8=1/4 ja toisaalta 3/9 1/5=4/14=2/7 eli saadaan eri tulokset.

Jos ajatellaan matematiikan historian kautta luonnollisten lukujen yhteenlaskua esim., niin itsestään selvyyksiä (ilman akateemista viisastelua!) nuo lienevät/ovat. Tulee siitä, että laskuoperaatiolla on pitänyt olla luonteva ja käytännön näkökulmasta järjellinen yhteys arkipäivän tarpeeseen, ja kuten alakoulussakin: 1 ja 1 on kokonaisuutena luontevasti 2 ihan intuitiivisella ajatustasolla jopa ilman muodollista matematiikkaa.

Ja kertolaskuhan luonnollisilla luvuilla on lyhennysmerkintä kertautuvasta yhteenlaskusta, ei mitään muuta. Kun laajennetaan (käsitteellistetään enemmän) lukualuetta vaikkapa murtolukuihin, toki tulee tarve säätää yhteenlaskun muodollinen prosessi niin, että yhteensopivuus luonnollisilla luvuilla laskentaan säilyy. Sitten kun keksitään irrationaaliluvut, niin tulee tarve määritellä esim.kertolaskun suhteen, mitähän sellaisten keskenään kertominen tarkoittaisi, ja miten sellainen operaatio käytännössä tehtäisiin. Joka tapauksessa niin, että eri laajennusten yhteensopivuus aiempiin rakennelman osiin on käytännön kannalta syytä säilyttää.

Tokihan matemaatikoille on tullut ajan edetessä mieleen, että mitähän jos tällaisen 'luontaisen kasvun' kautta syntyneen rakennelman määrittelisi jälkiviisaana uudelleen, vaikkapa aksioomalähtöisesti ("puhdasoppisempi", "matemaattisen kauneuden hengessä"), toki hyvin samalta näyttävänä ja saman asian ajavana kuten ennenkin, olisi kuitenkin "rakennelman runko sisäisesti ehjempi ja matemaattisesti perustellumpi".

Varmaan niin, mutta miten tahansa, ei se matematiikan luonnetta käytännön laskutarpeiden taustana muuta mitenkään.
Filosofoikaa lisää jos kiinnostaa...