Mitä merkintä f ∈ C^1(R) tarkoittaa?

Ainakin joskus tuolla tarkoitetaan kompaktikantajaisia (C^1) funktioita eli funktion kantaja (ks. wikipedia: https://fi.wikipedia.org/wiki/Kantaja_(matematiikka) ) on kompakti. Siis käytännössä funktio on nollaa kompaktin joukon ulkopuolella. Sen voisi sanoa myös että funktio on "reunalla 0".

Niin siis, nyt kun oltiin R:ssä, niin reunasta ei voida puhua. Mutta jos työskennellään jossain R:n rajoitetussa, avoimessa osajoukossa, niin sitten saatetaan puhua "reunasta", vaikka eihän avaruudella ikinä ole reunaa, jos rajoitutaan tiettyyn joukkoon ja ajatellaan sitä (topologisena/metrisenä) avaruutena itsessään.

Ok. Kiitos.

nokikana234 kirjoitti:

Niin siis, nyt kun oltiin R:ssä, niin reunasta ei voida puhua. Mutta jos työskennellään jossain R:n rajoitetussa, avoimessa osajoukossa, niin sitten saatetaan puhua "reunasta", vaikka eihän avaruudella ikinä ole reunaa, jos rajoitutaan tiettyyn joukkoon ja ajatellaan sitä (topologisena/metrisenä) avaruutena itsessään.

Lue lisää

Mitähän se tuo "reunasta ei voi puhua" oikein tarkoitti?

Kun funktiolla f on "compact support" se tarkoittaa, että joukon (x l f(x) =/ 0) sulkeuma on kompakti. Mutta R:n osajoukko on kompakti sjvs kun se on suljettu ja rajoitettu.

Olkoon joukon A sulkeuma S(A) (en osaa kirjoittaa A:ta yläviivalla joka olisi tavanomainen merkintä).

Jos A = (x l f(x) =/ 0) niin S(A) on siis kompakti, jos f-funktiolla on "compact support", eli S(A) on suljettu ja rajoitettu (se oli R:n osajoukko).

Joukon A reuna (boundary) B(A) on joukkojen S(A) ja S(R - A) leikkaus.

f on nyt tietysti = 0 joukossa R - A. Entäpä joukossa B(A)? Mitäs mieltä nokikana 234 on?

Ohman

Tarkoitin, että R:n reunasta (jota ei ole) ei voi puhua. Ja yleisemmin avaruudella (joukolla, jossa "eletään") ei ole reunaa.

Tietenkin tuosta funktion kantajan reunasta voidaan puhua. Ajattelin vaan noilla "reunapuheilla" helpompaa tapaa sanoa, että funktiolla on kompakti kantaja. R:n tapauksessahan se vain tarkoittaa, että funktio on lopulta nollaa kummassakin suunnassa, plus ja miinus äärettömyydessä.

nokikana234 kirjoitti:

Tarkoitin, että R:n reunasta (jota ei ole) ei voi puhua. Ja yleisemmin avaruudella (joukolla, jossa "eletään") ei ole reunaa.

Tietenkin tuosta funktion kantajan reunasta voidaan puhua. Ajattelin vaan noilla "reunapuheilla" helpompaa tapaa sanoa, että funktiolla on kompakti kantaja. R:n tapauksessahan se vain tarkoittaa, että funktio on lopulta nollaa kummassakin suunnassa, plus ja miinus äärettömyydessä.

Lue lisää

Jos funktiolla on kompakti kantaja niin tuo joukko S(A) (R:n osajoukko) on suljettu ja r a j o i t e t t u. Funktiolla on arvo 0 joukossa R - A,kuten jo aiemmin sanoin, eikä funktio siis ole pelkästään ¨lopulta nolla¨.

Ohman

Ohman kirjoitti:

Jos funktiolla on kompakti kantaja niin tuo joukko S(A) (R:n osajoukko) on suljettu ja r a j o i t e t t u. Funktiolla on arvo 0 joukossa R - A,kuten jo aiemmin sanoin, eikä funktio siis ole pelkästään ¨lopulta nolla¨.

Ohman

Lue lisää

Voi tietysti olla että en vain ymmärtänyt mitä tarkoitit tuolla "lopulta nollaa".

Ohman

Ohman kirjoitti:

Voi tietysti olla että en vain ymmärtänyt mitä tarkoitit tuolla "lopulta nollaa".

Ohman

"Lopulta nollaa" = "nolla jostain luvusta lähtien pos. puolella ja toisaalta neg. puolella" ts. "nolla jonkun pallon ulkopuolella".
Eli siis juuri samaa mitä sanoit tarkoitan tuolla. R:n tapauksessa siis tuo kantajan rajoittuneisuus on tärkeä. Jos oltaisiin jossain jo valmiiksi rajoitetussa joukossa, niin sitten kantajan suljettuus olisi myös tärkeää. (Kompaktius tietysti kattaa kaikki tapaukset.)

Se mitä yritän tässä nyt ilmaista on, että ei meidän tarvitse välittää siitä mikä se kantaja tismalleen ottaen on, kunhan tiedetään, että funktio menee nollaksi kun ollaan tarpeeksi kaukana (R:n tapauksessa). (Ja rajoitetussa tapauksessa, kun ollaan tarpeeksi lähellä reunaa.)