Moi. Tähän asti meni kuin vettä vaan, mutta tämä pudotti. En löytänyt yhtään vastaavaa tehtävää internetin syövereistä:
Millä vakion a arvoilla funktio g(x) = 1/3 x^3 a/2 • x^2 ax on aidosti kasvava?
Osaan kyllä tuon derivoida, mutta jotenkin alkaa töksimään. Löytyiskö vinkkiä tai ihan ratkaisua?
Millä vakion a arvoilla funktio g(x) = 1/3 x^3 a/2 • x^2 ax on aidosti kasvava?
Osaan kyllä tuon derivoida, mutta jotenkin alkaa töksimään. Löytyiskö vinkkiä tai ihan ratkaisua?
Vastaukset 13
Vanhimmat
Funktio on aidosti kasvava jos sen derivaatta on epänegatiivinen eikä ole nollaa millään välillä. Osaatko ratkaista, milloin saamase derivaatta on epänegatiivista?
Derivaattafunktion arvo kertoo funktion kasvun/muutoksen nopeuden kussakin pisteessä.
"Funktio f(x) on aidosti kasvava, jos f(a) > f(b) aina, kun a > b."
Eli derivaattan arvo pitää olla aina suurempi kuin nolla.
D g(x) > 0
x^2 ax x > 0
Toisen aseteen yhtälön kaavaan sijoittamalla pitäisi epäyhtälö ratketa
Aidosti kasvavuus tarkoittaa, että f(x₂) > f(x₁), kun x₂ > x₁. Tämä on totta, kun f'(x) > 0 eli käyrän kulmakerroin on positiivinen kyseisellä alueella. Täytyy vain sitten määrittää, millä a:n arvoilla tämä on totta.
Eli x^2 ax a > 0
0Äänestä
Saadaan (-a - sqrt(a^2 - 4a) )/2
Joka määritelty lukiolaisille kun a=0 tai a=4.
Miten tästä päästään vastaukseen, jossa funktio on aidosti kasvava välillä 0
Näet, että tuolla derivaatalla x^2 ax a ei ole nollakohtaa kun 0 < a < 4 sillä tuo diskriminantti on tuolloin negatiivinen: a^2 -4a = a(a-4) < 0 tuolla välillä.
Koska derivaatta on kaikilla arvoilla x määritelty ja jatkuva funktio se ei voi vaihtaa merkkiään käymättä arvon 0 kautta joten se on kaikkialla negatiivinen tai kaikkialla positiivinen.
x^2 ax a = (x a/2)^2 (a - a^2/4) kuten laskemalla voit todeta (tämä johtuu siitä tutusta kaavasta (a b)^2 = a^2 2 a b b^2). Nyt (x a/2) ^2 >= 0 aina ja
a - a^2/4 = a(1 - a/4) > 0 kun 0 < a < 4 eli tuolla samalla välillä jossa derivaatalla ei ollut nollakohtia. Näin ollen tuo derivaatta on positiivinen kun 0 < a < 4 eli se funktio 1/3 x^3 a/2 x^2 ax on aidosti kasvava kun 0 < a < 4.
Ohman
Annoin näköjään edellisten kirjoittajien johdatella itseäni mutta aamu on iltaa viisaampi.Todistin kyllä, että f on aidosti kasvava kun 0 < a < 4. Mutta tämä ei riitä.
Ei pidä paikkaansa että funktio f on aidosti kasvava silloin ja vain silloin kun f'(x) > 0. Esimerkiksi käy juuri tämän tehtävän f joka arvolla a = 0 on muotoa f(x) = 1/3 x^3. Tämän derivaatta on f'(x) = x^2 ja f'(0) = 0 mutta kyllä f silti on aidosti kasvava eli x1 > x2 -> f(x1) > f(x2).
Derivaatalla on yksi nollakohta myös kun a = 4, tällöin x= -2.Koska f'(x) = (x a/2)^2 (a - a^2/4) on, silloin kun a = 4,
f'(x) = (x 2)^2 ja tämä on siis 0 kun x = -2 mutta > 0 muilla x:n arvoilla.f on aidosti kasvava myös tällöin. Kaiken kaikkiaan siis f on aidosti kasvava ainakin silloin kun 0 <= a <= 4.
Mutta tämäkään tutkimus ei vielä riitä. Vaikka derivaatalla olisi kaksi nollakohtaa voisihan se silti olla funktio joka muualla saa vain positiivisia arvoja. Tällöin f olisi aidosti kasvava myös tuon äskeisen välin ulkopuolella. Jotta f olisi aidosti kasvava vain kun 0 <= a <= 4 olisi osoitettava, että muilla a:n arvoilla f' saa negatiivisiakin arvoja. Jos ei ole näin niin f voi olla aidosti kasvava muuallakin kuin välillä 0 <= a <= 4. Jätänpä tuon nyt ainakin toistaiseksi muiden lukijoiden selvitettäväksi.
Olisikohan tehtävälle helpompi ratkaisu kuin tämä derivaatan tutkiminen?
Tämähän osoittautuu aika työlääksi.
Ohman
Tehtävän voisi pelkistää siihen että millä a:n arvoilla x^2 ax a >= 0 kaikissa pisteissä x.Kyseessä paraabeli...
Ohman
No,päästän lukijat pulasta vaikka varmaan moni tuon keksisi.
Kun kirjoitetaan f'(x) muotoon
f'(x) = (x a/2)^2 a(1- a/4) nähdään, että tuo jälkimmäinen termi on negatiivinen sjvs kun a < 0 tai a > 4. Mutta jos se on negatiivinen niin koko lauseke on negatiivinen kun x on tarpeeksi lähellä arvoa -a/2. Välillä 0 <= a <= 4 tuo derivaatta on ei-negatiivinen sillä 1. termi on aina ei-negatiivinen ja jälkimmäinen termi on myös ei-negatiivinen tuolla välillä.
Tämä siis riittää koko tehtävän todistukseksi.Muita tutkimuksia ei tarvita, sillä tuo derivaatta ei ole 0 millään intervallilla vaan ainoastaan yksittäisissä pisteissä eli f' > = 0 riittää tuohon aidosti kasvamiseen.
Ohman
Sama saadaan tuolla edellä Huhuh'in laskemasta diskriminantista. Tuolla välillä D on negatiivinen joten derivaatan 0-kohtaa ei ole, ja derivaattafunktion muusta kulusta voidaan päätellä sen olevan > 0.
Derivaatalla saa olla 0-kohtakin ja silti f on aidosti kasvava. Et nyt lukenut juttujani ihan tarkkaan. Otin esimerkinkin, arvolla a = 0 tuo f(x) = 1/3 x^3 joka on aidosti kasvava vaikka f'(0) =) 0.
Kyllä se väli on 0 <= a <= 4 ja sitä "derivaattafunktion muuta kulkuahan" minä juuri jutussani tarkastelin.
Mutta tämä asia siis selviää ilman tuota diskriminanttiakin.
Ohman
Tuli taas kirjoitusvirhe, p.o. "vaikka f'(0) = 0".
http://www.math.jyu.fi/matyl/propedeuttinen/kirja/index-34.html
video
http://opetus.tv/maa/maa2/toisen-asteen-epayhtalo/
Onko varmasti AIDOSTI kasvava? Kysyn vaan. Mistä voi tietää, ettei vaan ESITÄ kasvavaa? Ja sit oikeesti ei ookkaan.