Maa 6 - 669 (funktio aidosti kasvava)

Näet, että tuolla derivaatalla x^2 ax a ei ole nollakohtaa kun 0 < a < 4 sillä tuo diskriminantti on tuolloin negatiivinen: a^2 -4a = a(a-4) < 0 tuolla välillä.

Koska derivaatta on kaikilla arvoilla x määritelty ja jatkuva funktio se ei voi vaihtaa merkkiään käymättä arvon 0 kautta joten se on kaikkialla negatiivinen tai kaikkialla positiivinen.

x^2 ax a = (x a/2)^2 (a - a^2/4) kuten laskemalla voit todeta (tämä johtuu siitä tutusta kaavasta (a b)^2 = a^2 2 a b b^2). Nyt (x a/2) ^2 >= 0 aina ja
a - a^2/4 = a(1 - a/4) > 0 kun 0 < a < 4 eli tuolla samalla välillä jossa derivaatalla ei ollut nollakohtia. Näin ollen tuo derivaatta on positiivinen kun 0 < a < 4 eli se funktio 1/3 x^3 a/2 x^2 ax on aidosti kasvava kun 0 < a < 4.

Ohman

Ohman kirjoitti:

Näet, että tuolla derivaatalla x^2 ax a ei ole nollakohtaa kun 0 < a < 4 sillä tuo diskriminantti on tuolloin negatiivinen: a^2 -4a = a(a-4) < 0 tuolla välillä.

Koska derivaatta on kaikilla arvoilla x määritelty ja jatkuva funktio se ei voi vaihtaa merkkiään käymättä arvon 0 kautta joten se on kaikkialla negatiivinen tai kaikkialla positiivinen.

x^2 ax a = (x a/2)^2 (a - a^2/4) kuten laskemalla voit todeta (tämä johtuu siitä tutusta kaavasta (a b)^2 = a^2 2 a b b^2). Nyt (x a/2) ^2 >= 0 aina ja
a - a^2/4 = a(1 - a/4) > 0 kun 0 < a < 4 eli tuolla samalla välillä jossa derivaatalla ei ollut nollakohtia. Näin ollen tuo derivaatta on positiivinen kun 0 < a < 4 eli se funktio 1/3 x^3 a/2 x^2 ax on aidosti kasvava kun 0 < a < 4.

Ohman

Lue lisää

Annoin näköjään edellisten kirjoittajien johdatella itseäni mutta aamu on iltaa viisaampi.Todistin kyllä, että f on aidosti kasvava kun 0 < a < 4. Mutta tämä ei riitä.

Ei pidä paikkaansa että funktio f on aidosti kasvava silloin ja vain silloin kun f'(x) > 0. Esimerkiksi käy juuri tämän tehtävän f joka arvolla a = 0 on muotoa f(x) = 1/3 x^3. Tämän derivaatta on f'(x) = x^2 ja f'(0) = 0 mutta kyllä f silti on aidosti kasvava eli x1 > x2 -> f(x1) > f(x2).

Derivaatalla on yksi nollakohta myös kun a = 4, tällöin x= -2.Koska f'(x) = (x a/2)^2 (a - a^2/4) on, silloin kun a = 4,

f'(x) = (x 2)^2 ja tämä on siis 0 kun x = -2 mutta > 0 muilla x:n arvoilla.f on aidosti kasvava myös tällöin. Kaiken kaikkiaan siis f on aidosti kasvava ainakin silloin kun 0 <= a <= 4.

Mutta tämäkään tutkimus ei vielä riitä. Vaikka derivaatalla olisi kaksi nollakohtaa voisihan se silti olla funktio joka muualla saa vain positiivisia arvoja. Tällöin f olisi aidosti kasvava myös tuon äskeisen välin ulkopuolella. Jotta f olisi aidosti kasvava vain kun 0 <= a <= 4 olisi osoitettava, että muilla a:n arvoilla f' saa negatiivisiakin arvoja. Jos ei ole näin niin f voi olla aidosti kasvava muuallakin kuin välillä 0 <= a <= 4. Jätänpä tuon nyt ainakin toistaiseksi muiden lukijoiden selvitettäväksi.

Olisikohan tehtävälle helpompi ratkaisu kuin tämä derivaatan tutkiminen?
Tämähän osoittautuu aika työlääksi.

Ohman

Tehtävän voisi pelkistää siihen että millä a:n arvoilla x^2 ax a >= 0 kaikissa pisteissä x.Kyseessä paraabeli...

Ohman

Ohman kirjoitti:

Tehtävän voisi pelkistää siihen että millä a:n arvoilla x^2 ax a >= 0 kaikissa pisteissä x.Kyseessä paraabeli...

Ohman

No,päästän lukijat pulasta vaikka varmaan moni tuon keksisi.

Kun kirjoitetaan f'(x) muotoon

f'(x) = (x a/2)^2 a(1- a/4) nähdään, että tuo jälkimmäinen termi on negatiivinen sjvs kun a < 0 tai a > 4. Mutta jos se on negatiivinen niin koko lauseke on negatiivinen kun x on tarpeeksi lähellä arvoa -a/2. Välillä 0 <= a <= 4 tuo derivaatta on ei-negatiivinen sillä 1. termi on aina ei-negatiivinen ja jälkimmäinen termi on myös ei-negatiivinen tuolla välillä.

Tämä siis riittää koko tehtävän todistukseksi.Muita tutkimuksia ei tarvita, sillä tuo derivaatta ei ole 0 millään intervallilla vaan ainoastaan yksittäisissä pisteissä eli f' > = 0 riittää tuohon aidosti kasvamiseen.

Ohman

Sama saadaan tuolla edellä Huhuh'in laskemasta diskriminantista. Tuolla välillä D on negatiivinen joten derivaatan 0-kohtaa ei ole, ja derivaattafunktion muusta kulusta voidaan päätellä sen olevan > 0.

AikaSimppeliä kirjoitti:

Sama saadaan tuolla edellä Huhuh'in laskemasta diskriminantista. Tuolla välillä D on negatiivinen joten derivaatan 0-kohtaa ei ole, ja derivaattafunktion muusta kulusta voidaan päätellä sen olevan > 0.

Lue lisää

Derivaatalla saa olla 0-kohtakin ja silti f on aidosti kasvava. Et nyt lukenut juttujani ihan tarkkaan. Otin esimerkinkin, arvolla a = 0 tuo f(x) = 1/3 x^3 joka on aidosti kasvava vaikka f'(0) =) 0.

Kyllä se väli on 0 <= a <= 4 ja sitä "derivaattafunktion muuta kulkuahan" minä juuri jutussani tarkastelin.

Mutta tämä asia siis selviää ilman tuota diskriminanttiakin.

Ohman

Ohman kirjoitti:

Derivaatalla saa olla 0-kohtakin ja silti f on aidosti kasvava. Et nyt lukenut juttujani ihan tarkkaan. Otin esimerkinkin, arvolla a = 0 tuo f(x) = 1/3 x^3 joka on aidosti kasvava vaikka f'(0) =) 0.

Kyllä se väli on 0 <= a <= 4 ja sitä "derivaattafunktion muuta kulkuahan" minä juuri jutussani tarkastelin.

Mutta tämä asia siis selviää ilman tuota diskriminanttiakin.

Ohman

Lue lisää

Tuli taas kirjoitusvirhe, p.o. "vaikka f'(0) = 0".