Millä välillä sarja 1 x x^2 x^3 ... x^n ... suppenee?
Sarjaprobleema
Ämmä_ymmällä
26
85
Vastaukset
- nokikana234
Se on geometrinen sarja. Katsopas täältä:
https://fi.wikipedia.org/wiki/Geometrinen_sarja
Sinulla on a = 1 ja q = x.- Ymmällä_edelleen
Kysymykseni oli tarkoitukseen nähden liian pelkistetty. Vastaus on tietenkin -1 < x < 1, mutta ajoin takaa, miten tuo osoitetaan tai todistetaan?
- Ohman
Cauchyn kriteerillä. Ensinnäkin, sarja hajaantuu jos l x l = 1. Jos lxl < 1,
on
l x^(m n) - x^m l = lxl^m l lx^n - 1l. Valitaan mikä tahansa positiivinen reaaliluku epsilon. Nyt tuo äskeinen lauseke on pienempi kuin epsilon jos m (ja m n) ovat suurempia kuin tietty kokonaisluku n(epsilon). Cauchyn välttämätön ja riittävä suppenemisen ehto siis täyttyy.
Ohman - Kalle_V
Ohman kirjoitti:
Cauchyn kriteerillä. Ensinnäkin, sarja hajaantuu jos l x l = 1. Jos lxl < 1,
on
l x^(m n) - x^m l = lxl^m l lx^n - 1l. Valitaan mikä tahansa positiivinen reaaliluku epsilon. Nyt tuo äskeinen lauseke on pienempi kuin epsilon jos m (ja m n) ovat suurempia kuin tietty kokonaisluku n(epsilon). Cauchyn välttämätön ja riittävä suppenemisen ehto siis täyttyy.
OhmanOnko hajaantuva välttämättä sama kuin ei-suppeneva? Kuten toisesta kommentista näkyy, osasumma jää sahaamaan nollan ja ykkösen väliä, kun x = -1. Miten tuossa oletuksena voidaan ottaa, että sarja hajaantuu, jos | x | = 1?
- Ohman
Kalle_V kirjoitti:
Onko hajaantuva välttämättä sama kuin ei-suppeneva? Kuten toisesta kommentista näkyy, osasumma jää sahaamaan nollan ja ykkösen väliä, kun x = -1. Miten tuossa oletuksena voidaan ottaa, että sarja hajaantuu, jos | x | = 1?
Ei se ollut oletus vaan tosiasian toteaminen.
Jos x = 1 sarjan osasummat kasvavat rajatta,siis sarja ei suppene. Jos x = -1, osasummat tosiaankin "sahaavat" eikä sarja siis suppene. Suppenevan sarjan osasummathan lähestyvät jotain raja-arvoa eli sarjan summaa.
Ohman - Kalle_V
Ohman kirjoitti:
Ei se ollut oletus vaan tosiasian toteaminen.
Jos x = 1 sarjan osasummat kasvavat rajatta,siis sarja ei suppene. Jos x = -1, osasummat tosiaankin "sahaavat" eikä sarja siis suppene. Suppenevan sarjan osasummathan lähestyvät jotain raja-arvoa eli sarjan summaa.
OhmanAsia ymmärretty, mutta viilaan vielä terminogista pilkkua. Sarja ei arvolla -1 ole varmasti suppeneva, mutta onko se hajaantuva? Minusta ei ainakaan tavanomaisessa mielessä.
- jaahasjaahasii
Mahdatko pelleillä? Jos sarja ei suppene, se hajaantuu. Tämä on ihan hajaantumisen määritelmä. Vai käytätkö jotain omaa määritelmää?
- suppenee-eisuppene
Kannatta katsoa myös sarjan suppenemisen määritelmä https://fi.wikipedia.org/wiki/Suppeneva_sarja jotta voit perustella ratkaisun. Esim. kun x = -1, osasummat vuorottelevat 1 ja 0 välillä joten sarja ei suppene vaikka summa pysyy äärellisenä.
- Suppenee-eisuppene
Jos on lukiomatikkaa, nuo Cauchyn kriteerit voivat mennä yli hilseen. Riittänee että toteaa geometrisen sarjan summakaavan osoittajassa olevan termin -> 1 koska se q-termi ->0 kun n kasvaa äärettömiin.
- Ohman
Ymmällä_edelleen kysyi todistusta ja kerroin, miten todistus menee.
Ohman
- viisas.pete
Minun mielestä suippenee jos 1¤=[5] tai {3#4} ehdoin <> 7 >< tai \´olettaen että - -p - on <6
- Ohman
Niinpä! Niinku silleen.
Ohman
- Statistician
Osoittamiseen voi käyttää myös d'Alembertin testiä:
lim(n ---> ∞ ) | [Σx_(n 1)]/Σ_n | = | x |.
Tällöin siis -1 < x < 1. Testi ei kuitenkaan mahdollista suppenevuuden tutkimista arvoilla -1 ja 1.- Kalle_V
Tuohan on näppärä ja simppeli konsti! Löysin Wikipediastakin pienellä haeskelulla, löytyy sieltä otsikolla "Osamäärätesti".
- enmätajuu
Mitä ihmettä? Tarkoitatko tätä: https://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_test ? Tuolla sivulla olevassa todistuksessa käytetään juuri todistettavana olevaa kaavaa! Jotta voisit käyttää d'Alembertin testiä, sinun pitäisi todistaa d'Alembertin testi päteväksi ilman geometrisen sarjan kaavaa. Se saattaa olla mahdollista, mutta en ole koskaan vaivautunut opettelemaan muuta todistusta d'Alembertin testille kuin geometriseen sarjaan perustuvan.
- Kalle_V
enmätajuu kirjoitti:
Mitä ihmettä? Tarkoitatko tätä: https://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_test ? Tuolla sivulla olevassa todistuksessa käytetään juuri todistettavana olevaa kaavaa! Jotta voisit käyttää d'Alembertin testiä, sinun pitäisi todistaa d'Alembertin testi päteväksi ilman geometrisen sarjan kaavaa. Se saattaa olla mahdollista, mutta en ole koskaan vaivautunut opettelemaan muuta todistusta d'Alembertin testille kuin geometriseen sarjaan perustuvan.
Viittasin sivustoon https://fi.wikipedeia.org/wiki/Osamäärätesti. Siellä ei ole testin yleistä johtamista. Kun testi pätee yleisesti reaali- ja kompleksitermisille sarjoille, todistus (1700-luvulta) tuskin voi olla yhden yksinkertaisen geometrisen sarjan esimerkin varassa.
- enmätajuu
Matematiikassa on aina pidettävä huoli siitä, että ei tule kehäpäättelyä. Tuon osamäärätestin todistuksessa on käytetty juuri sen sen sarjan suppenemista, jota olet tutkimassa. Tämä aiheuttaa kehäpäättelyn, ellet todista osamäärätestiä jollain muulla tavalla, joka ei käytä geometrisen sarjan suppenemista hyödykseen. Vaikka linkittämälläsi sivulla ei olekaan todistusta, on kustakin lauseesta tiedettävä, mitä tuloksia sen todistamiseen on käytetty.
- zzztop
enmätajuu kirjoitti:
Matematiikassa on aina pidettävä huoli siitä, että ei tule kehäpäättelyä. Tuon osamäärätestin todistuksessa on käytetty juuri sen sen sarjan suppenemista, jota olet tutkimassa. Tämä aiheuttaa kehäpäättelyn, ellet todista osamäärätestiä jollain muulla tavalla, joka ei käytä geometrisen sarjan suppenemista hyödykseen. Vaikka linkittämälläsi sivulla ei olekaan todistusta, on kustakin lauseesta tiedettävä, mitä tuloksia sen todistamiseen on käytetty.
Hei, eihän tuolla egnlanninkielisellä sivustolla esitetä todistusta (proof), vaan "motivation", jonka voisi kääntää suurin piirtein idean esittelyksi, tai motiiviksi testin käytölle.
Teoksessa N. Piskunov: Differential and Integral Calculus (Mir Publishers, Moscow 1974) sivuilla 283-285 lähdetään liikkelle Abelin teoreemasta, josta päädytään s'Alembertin testiin. Koska Abel syntyi myöhemmin kuin d'Alembert kuoli, on alkuperäinen todistus tietysti jotain muuta.
- Ohman
Tosin Statistician esitti asian taas väärin. Tässä testissähän tutkitaan osamäärän lx(n 1)/x(n)l raja-arvoa eikä sitä mitä herra S esitti.
Tämän nimenomaisen sarjan kohdalla lx^(n 1)/x^nl= lxl joka on <1 kun lxl < 1
Ohman- zzztop
Ei esittänyt väärin sen enempää kuin sinäkään! Esittämäsi Cauchy'n testi ja d'Alembertin testi vastaavat toisiaan. Sivustolla https://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_test niitä jopa pidetään niitä samana testinä: "The test was published by Jean le Rond d'Alembert and is sometimes known as d'Alembert's ratio test or as the Cauchy ratio test".
Edellä mainitsemassani Piskunovin teksessa testien yhteys käy ilmi sivulla 286. - Ohman
zzztop kirjoitti:
Ei esittänyt väärin sen enempää kuin sinäkään! Esittämäsi Cauchy'n testi ja d'Alembertin testi vastaavat toisiaan. Sivustolla https://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_test niitä jopa pidetään niitä samana testinä: "The test was published by Jean le Rond d'Alembert and is sometimes known as d'Alembert's ratio test or as the Cauchy ratio test".
Edellä mainitsemassani Piskunovin teksessa testien yhteys käy ilmi sivulla 286.Katsohan nyt mitä kirjoitit! lim lSumma(x(n 1)) / Summa(n)l = lxl. Tämä lausekeko esiintyy "osamäärätestissä" ?
Piskunov kertoo positiivitermisestä sarjasta ja muodostaa lausekkeen l = lim (x(n 1) / x(n)) todeten että sarja konvergoi kun l < 1.
Kehtasit vielä inttääkin!
Ohman - Ohman
Luulin, että "puolustuspuheen oli kirjoittanut Statistician, nyt huomasin että se olikin zzztop. Mutta katsopa sinäkin, zzztop, mitä S kirjoitti. Ei siinä ollut d'Alembertin testi. Tämä testi, oikein esitettynä, on tietenkin ihan ok.
Piskunov esittää sen jälkeen Cauchyn testin joka sekin ok. Mutta tarkkoja ollaksemme minä siinä ensimmäisessä jutussani käytin Cauchyn kriteeriä, jolla on yleisempää mielenkiintoa. Esim. funktionaalianalyysissä puhutaan Cauchyn jonoista ja määritellään täydellinen avaruus sellaiseksi jossa jokainen Cauchyn jono konvergoi.
Ohman - zzztop
Ohman kirjoitti:
Luulin, että "puolustuspuheen oli kirjoittanut Statistician, nyt huomasin että se olikin zzztop. Mutta katsopa sinäkin, zzztop, mitä S kirjoitti. Ei siinä ollut d'Alembertin testi. Tämä testi, oikein esitettynä, on tietenkin ihan ok.
Piskunov esittää sen jälkeen Cauchyn testin joka sekin ok. Mutta tarkkoja ollaksemme minä siinä ensimmäisessä jutussani käytin Cauchyn kriteeriä, jolla on yleisempää mielenkiintoa. Esim. funktionaalianalyysissä puhutaan Cauchyn jonoista ja määritellään täydellinen avaruus sellaiseksi jossa jokainen Cauchyn jono konvergoi.
OhmanPiskunovilla on sattumalta yhtenä esimerkkinä juuri aloittajan sarja. Sura sitaatti sivulta 286:
"Example 1. Determine the interval of convergence of the series 1 x x^2 ... x¨n ...
Solution. Applaying d'Alembert's test directly, we get lim(n ---> ääretön) |x(n 1)/x(n)| = |x|. {suluissa alaindeksit)
Thus, the series comverges when |x| < 1 and diverges when |x| > 1. At the extremities of the interval (-1, 1) it is impossible to investigate the series by means of d'Alembert's test. However, it is immediately apparent that when x = -1 and when x = 1 the series diverges."
Pidän Piskunovin tavoin d'Alembetin testiä riitävänä vastauksena aloittajan tehtävään. - Ohman
zzztop kirjoitti:
Piskunovilla on sattumalta yhtenä esimerkkinä juuri aloittajan sarja. Sura sitaatti sivulta 286:
"Example 1. Determine the interval of convergence of the series 1 x x^2 ... x¨n ...
Solution. Applaying d'Alembert's test directly, we get lim(n ---> ääretön) |x(n 1)/x(n)| = |x|. {suluissa alaindeksit)
Thus, the series comverges when |x| < 1 and diverges when |x| > 1. At the extremities of the interval (-1, 1) it is impossible to investigate the series by means of d'Alembert's test. However, it is immediately apparent that when x = -1 and when x = 1 the series diverges."
Pidän Piskunovin tavoin d'Alembetin testiä riitävänä vastauksena aloittajan tehtävään.Miksi sinä nyt puhut asian vierestä?
Enhän minä ole epäillyt d'Alembertin testiä. Mutta sinä sanoit, että Statistician ei esittänyt mitään väärin. Etkö vieläkään näe, vaikka kirjoitin sen S:n tekstin uudestaankin kommentissani 29.10 klo 9:21, että hän ei esittänyt kaavassaan d'Alembertin osamäärätestiä vaan puuta heinää?Tai katso sitä S:n alkuperäistä juttua.
Tätähän minä kritisoin enkä osamäärätestiä.
Mikä tässä nyt kiikastaa?
- Ohman
Voisi vastata näinkin:
Sarja suppenee = sen osasummien muodostama lukujono suppenee.
Jos nyt haluaa käyttää sitä tietoa, että kyseessä on geometrinen sarja eli sen n:s osasumma on
s(n) = 1 x ... x^(n-1) = (1 -x^n) /(1-x)
nähdään, että lukujon s(n) suppenee kun lxl < 1, sehän lähestyy raja-arvoa 1/(1-x).
Kun lxl = 1 sarja ei suppene.
Ohman - fffffs
Jotta sarja voi supeta, niin sen termien pitää lähestyä nollaa.
Nyt x^n lähestyy 0 vain jos |x|<1. Koska jono x^n hajaantuu kun |x|>=1 niin silloin hajaantuu myös sarja.
Nyt pitäisi vain osoittaa, että kun |x|<1 niin sarja suppenee, on selvää että se hajaantuu muulloin.
Geometrisen sarjan summa on kuten ylläkin on sanottu (1-x^(n 1))/(1-x), x^(n 1) lähestyy 0 jos |x|<1 ja siis tuo lauseke suppenee kohti 1/(1-x). MOT.
Jos tarvitset vielä miten tuo geometrisen sarjan summa saadaan niin
merkitse S=1 x x^2 ... x^n. Nyt xS=x x^2 ... x^(n 1)
Vähennä nämä lausekkeet toisistaan saat
S-xS=1-x^(n 1) eli (1-x)S=1-x^(n 1), jakamalla 1-x saat halutun tuloksen. Ja 1-x saa jakaa koska x ei ollut 1 (vaan pienempi)
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Martinan uusi poikakaveri
Sielläpä se sitten on. Instastoorissa pienissä speedoissa retkottaa uusin kulta Martinan kanssa. Oikein sydämiä laitettu2043085Suomessa helteet ylittää vasta +30 astetta.
Etelä-Euroopassa on mitattu yli +40 asteen lämpötiloja. Lähi-Idässä +50 on ylitetty useasti Lämpöennätykset rikkoutuva2391590Laita mulle viesti!!
Laita viesti mesen (Facebook) kautta. Haluan keskustella mutta sinun ehdoilla en halua häiriköidä tms. Yhä välitän sinus921442- 881342
Vanhemmalle naiselle
alkuperäiseltä kirjoittajalta. On olemassa myös se toinen joka tarkoituksella käyttää samaa otsikkoa. Ihan sama kunhan e461304Fazer perustaa 400 miljoonan suklaatehtaan Lahteen
No eipä ihme miksi ovat kolminkertaistaneen suklaalevyjensä hinnan. Nehän on alkaneet keräämään rahaa tehdasta varten.1481206Ajattelen sinua tänäkin iltana
Olet huippuihana❤️ Ajattelen sinua jatkuvasti. Toivottavasti tapaamme pian. En malttaisi odottaa, mutta odotan kuitenkin121168Ökyrikkaat Fazerit saivat 20 MILJOONAA veronmaksajien varallisuutta!
"Yle uutisoi viime viikolla, että Business Finland on myöntänyt Fazerille noin 20 miljoonaa euroa investointitukea. Faze120992Miehelle...
Oliko kaikki mökötus sen arvoista? Ei mukavalta tuntunut, kun aloit hiljaisesti osoittaa mieltä ja kohtelit välinpitämät89912Tuntuu liian hankalalta
Lähettää sulle viesti. Tarvitsen apuasi ottaa koppi tilanteesta. Miehelle meni.44793