Lipputangon, jonka poikkileikkauksen halkaisija on 20 cm, ympäri on kierretty
maasta huippuun ulottuva naru,joka nousee 60° kulmassa ja kiertää tangon 12 kertaa.
Mikä on narun pituus? Mikä on lipputangon korkeus? kertokaa mulle miten lasketaan
vanha yo tehtävä
niinnaa
42
1896
Vastaukset
- Sinnepäinkään
No joo, saat hetken mietittyäsi suorakulmaisen kolmion, jonka sivut h/12 ja p=20πt.
Saadaan tan60 = (h/12) / 20pii, josta korkeudeksi h = 20pii sqrt(3) • 12
Samasta kolmiosta kun kertoo hypotenuusan kierrosten määrällä, saadaan narun pituus. - Lippitankonnuppi
Levitä se salko 1/12 osalta auki, jolloin tulee suorakaide, jonka kanta on 20 pii ja korkeus h/12, lävistäjä L/12 ja lävistäjän kulma 60 astetta.
- EiNiinVaikea
Usein auttaa jos keksii analogisen tapauksen. Ajattele että on ohut läpinäkyvä suorakulmainen paperi jonka toinen sivu = lipputangon halkaisija 12 kertaa ja korkeus = lipputangon korkeus. Paperiin piirretään viiva jonka kulma on 60 asetta ensin mainittuun sivuun nähden. Sitten tuo paperin kierrettään lipputangon ympärille 20 kertaa. Tuo viiva kulkee nyt samalla tavalla kuin naru lipputangon ympärillä. Korkeus on nyt helppo laskea kun tunnetaan tuon suorakulmaisen kolmion yhden sivun pituus ja kulman suuruus.
- Ohman
Johan tuo on laskettu yo-kirjoitusten tasoa vastaavalla tavalla ja helposti.. Näytän nyt kuitenkin, miten asia selvitettäisiin differentiaaligeometrialla.
Naru muodostaa käyrän (helix):
x= R cos (u) , y= R sin (u) ja z = uR tg (pii/3)
dx = - R sin(u) , dy = R cos(u) ja dz = R tg(pii/3)
ds = sqrt(dx^2 dy^2 dz^2) = R sqrt(1 tg^2(pii/3)) = 2 R
Narun pituus s(24 pii) = 2 R Int( 0 <= u <= 24 pii) du = 48 pii R ja kun R = 0,1 m on narun pituus 4,8 pii = 15,1 m.
Tangon korkeus on z = 24 pii R tg(pii/3) = 24x3,1416x0,1x 1,732 = 13,1 m.
Kun näistä on tapana viisastella ja pilkkuja viilata, niin eikös ne lipputangot soukkene ylöspäin mentäessä? Ei ne kai ole tasapaksuja sylintereitä?
Ohman- Luulen_vain
Mutta väitän, että ainakin 95 prosentilla kokelaista lasku jäisi laskematta, mikäli tangon sanottaisiin olevan katkaistu ympyräkartio, jonka tyvihalkaisija on 20 cm ja latvahalkaisija 8 cm.
- Nostonaruko
Minä olen aina tämän tehtävän yhteydessä todennut, että tuon narun pituus pitää kertoa kahdella, siis jos se lipputangon lipun salkoon nostonaru on, eli kaksinkertainen.
Voi se tietysti olla joku yksinkertainen muu naru vaan. - EiNiinYksinkertaista
Luulen_vain kirjoitti:
Mutta väitän, että ainakin 95 prosentilla kokelaista lasku jäisi laskematta, mikäli tangon sanottaisiin olevan katkaistu ympyräkartio, jonka tyvihalkaisija on 20 cm ja latvahalkaisija 8 cm.
Todennäköisesti vieläkin suuremmalta osalta jäisi tuo suippenevan tangon versio ratkaisematta. Mutta ensin pitäisi määritellä tarkemmin: nouseeko naru vakiomäärän joka kierroksella vai kulloiseenkin säteeseen suhteessa vakiomäärän.
- Nostonaruko
Luulen_vain kirjoitti:
Mutta väitän, että ainakin 95 prosentilla kokelaista lasku jäisi laskematta, mikäli tangon sanottaisiin olevan katkaistu ympyräkartio, jonka tyvihalkaisija on 20 cm ja latvahalkaisija 8 cm.
Ei varmaankaan jäisi , sillä ihan pelkästään kahden tapauksen keskiarvolla yrittäisi moni, ja sitten aritmeettisella sarjalla loput. (Taitaa tulla sama)
- Luulen_vain
EiNiinYksinkertaista kirjoitti:
Todennäköisesti vieläkin suuremmalta osalta jäisi tuo suippenevan tangon versio ratkaisematta. Mutta ensin pitäisi määritellä tarkemmin: nouseeko naru vakiomäärän joka kierroksella vai kulloiseenkin säteeseen suhteessa vakiomäärän.
Tietysti narun nousu olisi sellainen, että narun kohtisuora projektio tangon keskiakselin kohdalla akselin sisältävälle tasolle muodostaa aina 60 asteen kulman pohjatason suuntaisen tason kanssa. Näin naru näyttäisi sivusta katsottuna nousevan jatkuvasti 60 asteen kulmassa kuten alkuperäisessäkin tehtävässä.
Siinäpä sitä on miettimistä, mikä onkaan narun parametrinen yhtälö ja kuinka narun pituus yhtälöstä lasketaan. - EiNiinYksinkertaista
No ei tuo vieläkään ihan selväksi tullut; on mielestäni kaksi vaihtoehtoa. Jos tarkastellaan tangon horisontaalista leikkausviivaa (ympyrää), voi naru muodostaa 60 asteen kulman joko ympyrätason suhteen tai tuon ympyrän kehäviivan suhteen. Jos tanko on tasapaksu, ovat nuo samat mutta eivät kartiomaisessa tapauksessa. Ääritapauksena 60 asteen kartio, silloin naru nousee kiertymättä ylös ja näyttää sivusta muodostavan 60 asteen kulman pohjatason kanssa, mutta pohjaympyrän kehään nähden kulma on suora.
- Tässä_alkua
Luulen_vain kirjoitti:
Tietysti narun nousu olisi sellainen, että narun kohtisuora projektio tangon keskiakselin kohdalla akselin sisältävälle tasolle muodostaa aina 60 asteen kulman pohjatason suuntaisen tason kanssa. Näin naru näyttäisi sivusta katsottuna nousevan jatkuvasti 60 asteen kulmassa kuten alkuperäisessäkin tehtävässä.
Siinäpä sitä on miettimistä, mikä onkaan narun parametrinen yhtälö ja kuinka narun pituus yhtälöstä lasketaan.Katkaistun ympyräkartion (tyven halkaisija D, latvan d) ympärille N kierrosta kierretyn narun parametrinen yhtälö on
r(u) = ρ(u)·cos(u) i ρ(u)·sin(u) j u·L/(2πN) k,
missä ρ(u) = ½·D·(1 - u/(2πN)) ½·d·u/(2πN) ja u parametri (0 ≤ u ≤ 2πN), L kartion korkeus, D sen alapään halkaisija ja d yläpään halkaisija, N kierrosten lukumäärä sekä i, j k koordinaattiakseleiden suuntaisia yksikkövektoreita.
Joku muu saa nyt miettiä, mikä yhteys 60 asteen ja L:n välillä on. - EiNiinVaikeaa
Jos on se tapaus että lanka muodostaa 60 asteen kulman pohjatasoon nähden, voitaisiin ajatella että lanka joka on pingoitettu niin että sen toinen pää on kiinni pohjatasossa, toinen pää on korkeudella L ja lanka muodostaa kulman 60 astetta pohjatason kanssa. Nyt asetetaan katkaistu kartio niin että alakehä on kiinni pingoitetun langan alapäässä. Kartiota lähdetään pyörittämään liukumatta lankaa pitkin kohti sen yläpäätä. Lanka piirtää kartioon viivan jonka nousu on 60 astetta. Tuon viivan pituus 2*L/sqrt(3).
- EiNiinHelppoa
Tässä_alkua kirjoitti:
Katkaistun ympyräkartion (tyven halkaisija D, latvan d) ympärille N kierrosta kierretyn narun parametrinen yhtälö on
r(u) = ρ(u)·cos(u) i ρ(u)·sin(u) j u·L/(2πN) k,
missä ρ(u) = ½·D·(1 - u/(2πN)) ½·d·u/(2πN) ja u parametri (0 ≤ u ≤ 2πN), L kartion korkeus, D sen alapään halkaisija ja d yläpään halkaisija, N kierrosten lukumäärä sekä i, j k koordinaattiakseleiden suuntaisia yksikkövektoreita.
Joku muu saa nyt miettiä, mikä yhteys 60 asteen ja L:n välillä on.Tässä_alkua nikin kaava lähtee siitä että naru nousee joka kierroksella saman matkan pystysuunnassa. Silloin narun kulma tangon horisontaaliseen leikkaukseen nähden ei voi olla vakio.
- Suorakaava
Luulen_vain kirjoitti:
Mutta väitän, että ainakin 95 prosentilla kokelaista lasku jäisi laskematta, mikäli tangon sanottaisiin olevan katkaistu ympyräkartio, jonka tyvihalkaisija on 20 cm ja latvahalkaisija 8 cm.
Tuommoinen se pituus kai on, ja korkeus 12*108.8 = noin 13 m
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate sqrt(4 6x/(2pi)^2 6/(2pi)^2 (108.8/(2pi))^2) from 0 to 24pi - Suorakaava
Suorakaava kirjoitti:
Tuommoinen se pituus kai on, ja korkeus 12*108.8 = noin 13 m
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate sqrt(4 6x/(2pi)^2 6/(2pi)^2 (108.8/(2pi))^2) from 0 to 24piTuli liitettyä väärä linkki, tuossa on viimeisin versio:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate sqrt((4 0.5x/(2pi))^2 (0.5/(2pi))^2 (108.8/(2pi))^2) from 0 to 24pi - aeija
Tuossa on vähän suttupaperiakin. Muutin sitä vieläkin sen verran, että nyt lähdetään tangon juuresta, eikä nupista päin:
http://aijaa.com/HcJHYJ
Tuossa sitten vielä se integrointikin koneella:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate sqrt((10-0.5x/(2pi))^2 (0.5/(2pi))^2 (108.8/(2pi))^2) from 0 to 24pi
- piletti
2. kysymys
Minkä kokoinen lippu tuohon tankoon on sopiva. - EiNiinYksinkertaista
Lähdin tuota kartiotankotapausta ratkomaan sylinterikoordinaatistossa (r,u,z) narun pituuden s differentiaalista:
ds = sqrt(dr^2 (rdu)^2 dz^2)
Jos narulla on 60 asteen kulma tangon vaakasuoraan ympyräkehäviivaan nähden, on
ds/(rdu) = 2
Jos narulla on 60 asteen kulma tangon vaakasuoraan leikkaustasoon nähden, on
ds/dz = 2/sqrt(3)
Noita kun ratkoo, ottaa huomioon parametrien väliset riippuvuudet ja reunaehdot, saadaan eksponenttimuotoisia ratkaisuja r(u):lle ja z(u):lle. Turhan monimutkaisia tähän kirjoitettavaksi.- Etsivä_löytää
Kuten arvata saattaa, valmiita yhtälöitä löytyy, kun etsii. Termeillä "helix with constant slope on a cone" löytyy useitakin lähteitä.
Mutta ollaan jo varsin kaukana ylioppilaskokelaiden osaamistason tuolla puolen... - Orwell-1984
"Etsivä löytää"?
Tuolla hakutermillä ainut löytämäni juttu jossa annetaan selkeästi oikein yhtälökin löytyy kohdasta Encyclopaedia of Mathematics. Siinä annetaan tuolle käyrälle yhtälö
x= c e^(mt) cos(t) y= c e^(mt) sin(t) z = c e^(mt) cotan(a)
missä t on "perusympyrän kulma", a = kartion akselin ja jonkin generaattorin välinen kulma ja m = sin(a)/tan(b) missä b on viivan tangentin ja vastaavan generaattorin välinen kulma .
Mutta voiko tuo yhtälö olla oikein? Kun t kasvaa niin x ja y kasvavat. Pitää kiertää negatiiviseen suuntaan (0 > t) että x ja y pienenisivät kun l t l kasvaa. Mutta tällöin myös z pienenee! Lisäksi z ei saa arvoa 0 kun t = 0 vaikka sieltä x,y-tason korkeudeltahan sen narun pitäisi lähteä.
Missä vika? Löydätkö "etsivä löytää" parempaa tietolähdettä tai sitten selitystä tuolle äskeiselle pulmalle. - aeija
En tosta juuri mitään ymmärrä, mutta jos tuo kulma (a) on ruuviivan ja z-akselin välinen kulma , niin lähtöhetkellä ruuviviivan tangentti on pohjatason suuntainen ja muodostaa suoran kulman z-akselin kanssa ja cot(90)=0
(Minä olen näköjään pähkäillyt ihan eri tehtävää) - Orwell-1984
aeija kirjoitti:
En tosta juuri mitään ymmärrä, mutta jos tuo kulma (a) on ruuviivan ja z-akselin välinen kulma , niin lähtöhetkellä ruuviviivan tangentti on pohjatason suuntainen ja muodostaa suoran kulman z-akselin kanssa ja cot(90)=0
(Minä olen näköjään pähkäillyt ihan eri tehtävää)Mutta kun sen artikkelin mukaan kulma a on kartion akselin ja kartion generaattoriviivan välinen kulma eli jos kartion huipussa on kulma 2 a niin a on sen puolikas. Ja sehän on vakio.Artikkelissa tuo a oli alpha ja b oli fii.
Tosin tässä lipputankotehtävässä sen arvoa ei tiedetä suoraan alkutiedoista, nuo 20 cm ja 8 cm eivät määrää sitä ennenkuin tiedetään laskemalla millä korkeudella tuo 8 cm halkaisijaltaan oleva ympyrä on.(Oli kartio minkä korkuinen tahansa ja se leikataan x,y-tason suuntaisella tasolla, niin alussa leikkauksen halkaisijan pitää olla tuo 20 cm ja sitten ylöspäin noustessa leikkauksen halkaisija pienenee lopulta nollaan siellä kärkipisteessä joten välissä on aina korkeus jossa leikkauksen halkaisija on 8 cm.) - aeija
aeija kirjoitti:
En tosta juuri mitään ymmärrä, mutta jos tuo kulma (a) on ruuviivan ja z-akselin välinen kulma , niin lähtöhetkellä ruuviviivan tangentti on pohjatason suuntainen ja muodostaa suoran kulman z-akselin kanssa ja cot(90)=0
(Minä olen näköjään pähkäillyt ihan eri tehtävää)Tämä on se mitä minä olen yrittänyt: http://mathworld.wolfram.com/ConicalSpiral.html
Jokin tossakin kyllä ihmetyttää. - aeija
Orwell-1984 kirjoitti:
"Etsivä löytää"?
Tuolla hakutermillä ainut löytämäni juttu jossa annetaan selkeästi oikein yhtälökin löytyy kohdasta Encyclopaedia of Mathematics. Siinä annetaan tuolle käyrälle yhtälö
x= c e^(mt) cos(t) y= c e^(mt) sin(t) z = c e^(mt) cotan(a)
missä t on "perusympyrän kulma", a = kartion akselin ja jonkin generaattorin välinen kulma ja m = sin(a)/tan(b) missä b on viivan tangentin ja vastaavan generaattorin välinen kulma .
Mutta voiko tuo yhtälö olla oikein? Kun t kasvaa niin x ja y kasvavat. Pitää kiertää negatiiviseen suuntaan (0 > t) että x ja y pienenisivät kun l t l kasvaa. Mutta tällöin myös z pienenee! Lisäksi z ei saa arvoa 0 kun t = 0 vaikka sieltä x,y-tason korkeudeltahan sen narun pitäisi lähteä.
Missä vika? Löydätkö "etsivä löytää" parempaa tietolähdettä tai sitten selitystä tuolle äskeiselle pulmalle.Tossa taitaa olla Goncho-spiraalista, minä en jaksa sitä edes yrittää selvittää:
http://xahlee.info/SpecialPlaneCurves_dir/EquiangularSpiral_dir/_p/Khristo_Boyadzhiev_CMJ-99.pdf - kape2017
Näyttää olevan päättynyt tuo keskustelu jo yli vuosi sitten. Tuo alkuperäinen tehtävä tuli vastaan myös fb:ssa ja minuakin alkoi kiinnostaa tapaus katkaistusta kartiosta. Lähdin itse liikkeelle katkaistun kartion tasoon levitetystä vaipasta, jossa voidaan asettaa likiarvoinen suhde differentiaaleille, joka raja-arvonaan pitänee tarkasti paikkaansa. Merkitään vaipan levitetyssä sektorissa R = säde ja u keskuskulma. Nyt narulle on voimassa säteen muutoksen suhde kaarenpituuteen on likimain tan(a) eli dR/(R du)=-tan(a), josta alkuehdolla R(0)=R1 saadaan R(u)=R1*exp(-u tan(a)). Tämä käyrä napakoordinaateissa tai parametrimuotoisena {R(u) cos(u), R(u) sin(u)} näyttäisi kuvaavan tarkasti kartion ympärille kiertyvää narua. Tuosta selviää myöskin, että peräkkäisten kierrosten narunpituudet, kuten myöskin kierroksien korkeudet ja sivujanan pituudet muodostavat geometrisen jonon. Mutta en löytänyt keinoa, miten pelkästään kartion ympyröiden säteet ja toisaalta kulma alpha ja kierrosten lkm yhdessä määrittäisivät levitetyn vaipan keskuskulman ja sektorien säteiden arvot, vaikka siihen yhtälö löytyykin, mutta sen verran hankala ratkaistavaksi. Kokeilemalla lipputangon korkeudeksi tuli noin 11.7 m (10 cm ja 8 cm, 12 kierrosta). Korkeus lähenee järkevästi oikeaa arvoa, kun kartio lähenee lieriötä. Langan pituutta en vielä ehtinyt laskea
- Huutiukko
kape2017 kirjoitti:
Näyttää olevan päättynyt tuo keskustelu jo yli vuosi sitten. Tuo alkuperäinen tehtävä tuli vastaan myös fb:ssa ja minuakin alkoi kiinnostaa tapaus katkaistusta kartiosta. Lähdin itse liikkeelle katkaistun kartion tasoon levitetystä vaipasta, jossa voidaan asettaa likiarvoinen suhde differentiaaleille, joka raja-arvonaan pitänee tarkasti paikkaansa. Merkitään vaipan levitetyssä sektorissa R = säde ja u keskuskulma. Nyt narulle on voimassa säteen muutoksen suhde kaarenpituuteen on likimain tan(a) eli dR/(R du)=-tan(a), josta alkuehdolla R(0)=R1 saadaan R(u)=R1*exp(-u tan(a)). Tämä käyrä napakoordinaateissa tai parametrimuotoisena {R(u) cos(u), R(u) sin(u)} näyttäisi kuvaavan tarkasti kartion ympärille kiertyvää narua. Tuosta selviää myöskin, että peräkkäisten kierrosten narunpituudet, kuten myöskin kierroksien korkeudet ja sivujanan pituudet muodostavat geometrisen jonon. Mutta en löytänyt keinoa, miten pelkästään kartion ympyröiden säteet ja toisaalta kulma alpha ja kierrosten lkm yhdessä määrittäisivät levitetyn vaipan keskuskulman ja sektorien säteiden arvot, vaikka siihen yhtälö löytyykin, mutta sen verran hankala ratkaistavaksi. Kokeilemalla lipputangon korkeudeksi tuli noin 11.7 m (10 cm ja 8 cm, 12 kierrosta). Korkeus lähenee järkevästi oikeaa arvoa, kun kartio lähenee lieriötä. Langan pituutta en vielä ehtinyt laskea
No eikös tämä tehtävä ole jo ratkaistu ja ihan riittävästi käsitelty?
- kape2017
kape2017 kirjoitti:
Näyttää olevan päättynyt tuo keskustelu jo yli vuosi sitten. Tuo alkuperäinen tehtävä tuli vastaan myös fb:ssa ja minuakin alkoi kiinnostaa tapaus katkaistusta kartiosta. Lähdin itse liikkeelle katkaistun kartion tasoon levitetystä vaipasta, jossa voidaan asettaa likiarvoinen suhde differentiaaleille, joka raja-arvonaan pitänee tarkasti paikkaansa. Merkitään vaipan levitetyssä sektorissa R = säde ja u keskuskulma. Nyt narulle on voimassa säteen muutoksen suhde kaarenpituuteen on likimain tan(a) eli dR/(R du)=-tan(a), josta alkuehdolla R(0)=R1 saadaan R(u)=R1*exp(-u tan(a)). Tämä käyrä napakoordinaateissa tai parametrimuotoisena {R(u) cos(u), R(u) sin(u)} näyttäisi kuvaavan tarkasti kartion ympärille kiertyvää narua. Tuosta selviää myöskin, että peräkkäisten kierrosten narunpituudet, kuten myöskin kierroksien korkeudet ja sivujanan pituudet muodostavat geometrisen jonon. Mutta en löytänyt keinoa, miten pelkästään kartion ympyröiden säteet ja toisaalta kulma alpha ja kierrosten lkm yhdessä määrittäisivät levitetyn vaipan keskuskulman ja sektorien säteiden arvot, vaikka siihen yhtälö löytyykin, mutta sen verran hankala ratkaistavaksi. Kokeilemalla lipputangon korkeudeksi tuli noin 11.7 m (10 cm ja 8 cm, 12 kierrosta). Korkeus lähenee järkevästi oikeaa arvoa, kun kartio lähenee lieriötä. Langan pituutta en vielä ehtinyt laskea
Niin tuossa edellä käytin kartion säteitä 10 ja 8 cm, jos säteet ovat 10 ja 4, niin korkeudeksi muodostuu n 8.6 m
- kape2017
Huutiukko kirjoitti:
No eikös tämä tehtävä ole jo ratkaistu ja ihan riittävästi käsitelty?
no minulta jäi mainoksien vuoksi nuo loppukommentit ensin lukematta, näkyypä olevan, sorry vaan Huutiukko vaivaamisesta
- EiNiinYksinkertaista
Laskeskelin tuota tasaisesti suippenevan tangon tapausta, tyvihalkaisija 20 cm, huippuhalkaisija 8 cm, korkeus h. Oletin että 60 asteen kulma on kussakin pisteessä langan tangentin ja tangon vaakatangentin välinen (eli sylinterikoordinaatistossa ds/(rdu)=2). Sain langan korkeuskoordinaatin x ja kiertymäkulman u väliseksi yhteydeksi:
z = 0,6*h*(1-e^(-k*u)), k = 0,114/h
Kun oletetaan kiertymäksi 12 kierrosta eli 24*pii, saadaan tangon korkeudeksi 9,4 m.- Orwell-1984
Onko se "korkeuskoordinaatti" nyt x vai z?
Jos se on z ja koko korkeus on h eikö pitäisi olla kun u= 24 pii voimassa z = h.
Mutta yhtälösi mukaan tämä on mahdotonta, termin 0,6 * h kerroin on < 1 eli z < 0,6 h. Lisäksi z -> 0,6 h kun u kasvaa rajatta.
En nyt ymmärtänyt tarkoitustasi. - EiNiinYksinkertaista
Joo, olet oikeassa, on tullut kopiointivirhe, yhtälön pitää olla:
z = (h/0,6)*(1-e^(-k*u)), k = 0,114/h
Tuo 0,6 = (0,2-0,08)/0,2. Eli kun z=h, pitää eksponentin sisältävän lausekkeen arvon olla 0,6 ja siitä voidaan määrittää h, kun u=24*pii. - EiNiinYksinkertaista
Niin ja korkeuskoordinaatti on z, ei x.
- aeija
Noin se varmaankin on, ja ihan sama lähtökohtahan meillä oli, mutta minä aloin huolettomasti vaan integroimaan koko salkoa kerralla, kun olisi pitänyt integroida kierros kerrallaan ja laskea yhteen. Ja samoin tangon korkeuskin yhteenlaskemalla pätkä kerrallaan.
Lainaan tota sun "kuvaasi" ja korjaan tuon omani, ja nyt saa sitten lipputangon nupit putoilla...tämä riitti tästä:
http://aijaa.com/5KpVrb
- EiNiinYksinkertaista
Lipputangon keskihalkaisija on 14 cm. Jos lasketaan tuollaiselle tasahalkaisijaiselle tangolle, on tulos 9,2. Ei kovin suuri mutta kuitenkin havaittava ero.
- 0pöhkö
Onko narun paksuudella merkitystä? Oletetaanko tässä, että naru on äärettömän ohut?
- Ohman
Mainitsin viestissäni /27.1.2016 13:04 .että tanko kapenee ja Luulen_vain esitti klo 14.35 pohjaympyrän halkaisijaksi 20 cm ja ylimmän ympyrän halkaisijaksi 8 cm.Kun ei parempiakaan tehtäviä lähiaikoina ole esiintynyt niin palaanpa tähän.
Meillä on kartio jonka pohja on x,y-tason ympyrä keskipisteenä origo ja säteenä r(0) Kartion huippu on z-akselin pisteessä z(inf) = h.Pisteestä r(0) i lähtee käyrä joka kiertyy ylöspäin kartion pinnalla . Nousukulma on
pi/2 - v ja käyrän tangentin ja kartion generaattoriviivojen välinen kulma on siis v.Jos kartio leikataan z-akselin sisältävällä tasolla syntyy huippukulma jonka suuruus olkoon 2 a.
Vektorien A ja B sisätulo (pistetulo) on (A,B).
x(t) = r(0) e^(-mt) cos(t), y(t) = r(0) e^(-mt) sin(t), z(t) = r(0) (1 - e^(-mt)) cot(a) = h(1 - e^(-mt)) ja
(1) m = sin(a)/tg(v)
Käyrän yhtälö on
(2) R(t) = x(t) i y(t) j z(t) k
Nähdään, että (h - z(t))/h = e^(-mt) = (r(0) e^(-mt))/r(0) kuten pitääkin.
Olkoon S = - r(0) cos(t) i - r(0) sin(t) j h k
Täytyy olla (dR/dt,S) /( l dR/dt l * l S l) = cos(v) ja näin onkin, olen kyllä laskenut.
Käyrän kaarenpituus lasketaan siitä, että
(3) (ds)^2 = (dR/dt,dR/dt) (dt)^2
Saadaan (ds)^2 = b e^(- 2mt) (dt)^2 missä b = m^2 r(0)^2 r(0)^2 m^2 h^2)
Kun kierroksia on 20 on t = 40 pi
ja
s(40 pi) - s(0) = sqrt(b) Int(0 <= t <= 40 pi) e^(- mt) dt =
(sqrt(b)/m) * (1 - e^(-40 pi m)
Koska ylimmän ympyrän säde on r(40 pi) täytyy olla
x(40 pi) = r(0) e^(- 40 pi m) = r(40 pi) joten
r(0) / r(40 pi) = e^(40 pi m) josta
m = ln(r(0) / r(40 pi))/(40 pi). Tästä ja yhtäöstä (1) seuraa kulman a arvo.
Kun v = 30 astetta = pi/6, r(0) = 10 cm ja r(40 pi) = 4 cm on lipputangon korkeus 14,25 m ja koko kartion korkeus olisi 23,75 m.
Nähdään, että (23,75 - 14,25) / 23,75 = 0,4 = 4/10 kuten pitääkin.
Käyrän pituus (narun pituus) s(40 pi ) =16,47 m.
Jos käyrä jatkuisi kartion huippuun asti sen pituus olisi s(inf) = sqrt(b)/m = 27,44 m.
Ohman - Ohman
Laskin epähuomiossa käyttäen kahtakymmentä kierrosta. Niitä pitikin olla 12. Lasken joskus uudestaan jos viitsin.
Ohman- Ohman
Jos nyt oikein laskin niin h = 14,25 m ja z(24 pi) = 8,55 m ja käyrän (narun ) pituus
s(24 pi) = 9,87 m.
h oli koko kartion korkeus ja z(24 pi) katkaistun kartion korkeus (lipputangon korkeus).
Kierroksia 12.
Ohman - Ohman
Ja s(inf) = 16,45 m.
Ohman
- EiNiinYksinkertaista
Ohman sai siis tangon korkeudeksi 8,55 m. Itse laskin tuota tammikuussa ja sain lausekkeen h = -0,114*24*pii/ln0,4 = 9,38 m. Myös aeija sai suunnilleen saman suuruisen tuloksen.
Voisi hieman pähkäillä, kumpi on lähempänä totuutta. Jos oletan tasapaksun tangon jonka halkaisija on tuon katkaistun kartion keskiarvo eli 14 cm, saan korkeudeksi ketjun alussa olevalla kaavalla laskemalla 9,14 cm. Eki enemmän kuin Ohmannin laskelmassa mutta vähemmän kuin minun laskelmassani. Seuraavaksi lasken tehtävän pätkittäin tasapaksulle tangolle, joka on alaosastaan 20 cm ja yläosastaan 8 cm niin että kulmaehto ja kierrosehto täyttyy. Tulos on silloin 9,14 cm eli sama kuin 14 cm halkaisijaiselle tangolle. Naru kuitenkin hieman pitenee koska sen pitää hypätä 6 cm leveän vaakasuoran osuuden yli.
Sama saadaan jos tanko on tehty vaikkapa sadasta päällekkäisestä sylinteristä joiden halkaisija vähenee peräkkäisissä sylintereissä aina 1,2 mm. Jos tuollaisen tangon vaippa olisi tehty muovautuvasta materiaalista, voitaisiin kuvitella että siitä saataisiin tuollainen katkaistu kartio päistä vetämällä niin että tangon pituus kasvaa hieman.- Ohman
Koetahan nyt miettiä ovatko käyrälle ja sen kaarenpituudelle antamani yhtälöt oikein. Jos eivät,osoita virhe Jos ovat, laskuni on oikein jos nyt numerolaskuissa ei tullut virhettä.
Minä olen kertonut, mikä on käyrän lauseke ja miten kaarenpituus differentiaaligeometriassa lasketaan.
Lisäksi minä tein ne tarkastukset Tietty verranto toteutuu ja antamani käyrä tosiaan leikkaa nuo kartion generaattoriviivat 30 asteen kulmassa.
Ei matemaattisen tehtävän ratkaisua mutu-äänestyksellä selvitetä.
Ohman
- EiNiinYksinkertaista
Vähän seurata toisen laskelmaa, varsinkin kun nuo eksponenttifunktiot on vedetty tuohon ilman enempiä perusteluja. Yritän seuraavassa tehdä uudelleen omia laskelmiani. Käytän napakoordinaatteja: r säde tangon pintaan, u kiertokulma tangon ympäri ja z korkeus tangon juuresta. Tarkastellaan differentiaaleja. r*du on tangon vaakatangentin suuntainen differentiaali. Naru muodostaa sen kanssa 60 asteen kulman ja sen pituuden differentiaali on siis ds=2*r*du. Niiden muodostama kolmio on samassa tasossa tangon pinnan pystyviivan (generaattoriviivan) kanssa ja sen differentiaali on sqrt3*r*du. Vertikaalikoordinaatti z muodostaa kulman a sen kanssa siten dz=sqrt3*r*du*cosa.
Koordinaattien r ja z välillä on yhtälö:
r = 0,1-0,06*z/h, missä h on tangon korkeus; sijoittamalla dz lausekkeeseen saadaan:
dz/du = sqrt3*cosa*(0,1-0,06*z/h)
Tuon differentiaaliyhtälön ratkaisuksi voidaan johtaa:
z = (h/0,6)*(1-e^(-k*u/h)), k = sqrt3*cosa/h
cosa = h/sqrt(h^2 0,06^2) ja nähdään että käytännössä se on 1. Siten saadaan k=0,104. Aiemmin olin saanut 0,114 eli laskelmissani oli virhe.
Kun 1-e^(-k*u/h) = 0,6 ja u=24*pii, saadaan ratkaistua korkeus h = 8,56 m, eli sama kuin Ohmannilla.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Moikka rakas
Oon miettinyt meidän välistä yhteyttä viime aikoina. En ihan osaa pukea sanoiksi, mitä kaikkea tunnen, mutta halusin vaa216705Malmin tapaus on järkyttävä
Kolme ulkomaalaistaustaista miestä raiskasi nuoren tytön tavalla, jota ei meinaa uskoa todeksi. Mikä voisi olla oikeampi5562303- 1471867
- 851261
HS: Kuka vielä uskaltaa mennä sairaalan ensiapuun?
https://www.hs.fi/mielipide/art-2000011212025.html Tässä on hyvin ajankohtainen mielipidekirjoitus koskien Malmin sairaa981055- 72980
Ökyrikas Kurkilahti mussuttaa veroistaan
Pakeni aikoinaan veroja Portugaliin mutta joutui palaamaan takaisin kun Suomi teki verotussopimuksen Portugalin kanssa.89953Jos tämän vaan sulkee ja avaa 5 vuoden päästä
Täällä on luultavasti edelleen näitä ihan samoja juttuja. On kuin kauniit ja rohkeat samat jutut junnaa. Heips. 👋🏻 E10843- 32840
Yhdysvalloissa työllisyys paranee, Suomessa työttömyys kasvaa, missä vika?
Miten tämä on mahdollista että 177 000 uutta työllistä tuli USAssa yhdessä kuukaudessa, vaikka Trump on ruorissa? Orpon147767