Nelikulmion maksimaalinen pinta-ala?

AriStarchos

Nelikulmion sivujen pituudet ovat a,b,c ja d ja piiri p=a b c d.
Oletetaan, että piiri p tunnetaan. Osoitettava, että tällöin nelikulmion pinta-ala A saa suurimman mahdollisen arvonsa kun kysymyksessä on neliö, jonka sivun pituus on a=b=c=d=p/4.

14

188

Äänestä

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Ohman

      Kts. Wikipedia: Quadrilateral:Maximum and minimum principles.

      Jos tuo nelikulmio on konveksi on K <= 1/16 L^2 missä K on pinta-ala ja L on a b c d.
      Yhtäsuuruus sjvs kun kyseessä on neliö eli a = b = c = d = L/4.

      Ohman

    • eiummarra

      Mitä ihmettä? Jos on annettu sivujen pituudet, et voi valita niitä enää tämän jälkeen. Ja jos sivujen pituudet ovat vaikka 1, 1, 1 ja 10, ei taatusti muodostu nelikulmiota.

      • Ohman

        Lukutaitoa! Tehtävässä sanottiin:Nelikulmion sivujen pituudet...

        Ohman


      • AriStarchos

        Voisi nimimerkki Ohmankin opetella lukemaan. Kysymys kuului, miten tuo näppärästi todistetaan.


    • Ohman

      Mitäpä sitä jo todistettuja asioita todistelemaan uudestaan?

      Ohman

    • luulisinnäin

      Jos oletetaan, että sivuista voi muodostaa nelikulmion, niin maksimaalinen ala todistetaan luullakseni seuraavasti: Piirretään lävistäjät. Nyt lävistäjät rajoittavat nelikulmion kanssa kolmioita. Mutta jos kolmion piiri on vakio ja kanta annettu, on suurin ala tasasivuisella kolmiolla. Tätä käyttämällä ja rajoittumalla lävistäjien rajaamiin kolmioihin saat, että nelikulmion tulee olla neljäkäs. Sitten osoitat, että jos piiri on annettu, suurin neljäkäs on neliö.

    • EiNiinVaikea

      Hahmotin tehtävän seuraavasti. Oletetaan nelikulmion lävistäjät jotka leikkaavat toisensa jossain pisteessä ja jossain kulmassa. Sivujen kanssa ne rajoittavat neljä kolmiota, joiden pinta-alat saadaan laskettua lävistäjien osien ja niiden välisen kulman avulla. Kun kaava sievennetään, saadaan nelikulmion pinta-alaksi (1/2)*d1*d2*sinv jossa d1 ja d2 ovat lävistäjät ja v niiden välinen kulma. Tuosta nähdään että suurin ala saadaan kun määrämittaiset lävistäjät ovat toisiaan vastassa kohtisuorassa. Edelleen todetaan että nelikulmion piirin minimoituu kun lävistäjät leikkaavat toistensa keskipisteissä (eli nelikulmion kaikki sivut ovat yhtä pitkät). Ja että kun noiden sivujen pituus on vakio, suurin ala saadaan kun lävistäjät ovat yhtä pitkät. Eli kyseessä on neliö.

    • Geometriaa

      Tämähän on helppo tentävä, kun johtaa ensin, että A^2=(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcdcos(x y/2), jossa x ja y ovat vastakkaisia kulmia. Luonnollisesti maksimissa kosinitermi on nolla, jolloin kyseessä on jännenelikulmio. Käyttämällä aritmeettis-geometrista keskiarvoa nähdään, että sivujen on oltava yhtä pitkiä. Ainoa nämä ehdot toteuttava kulmio onkin neliö.

    • Orwell-1984

      EiNiinVaikea käyttää tiettyä valmista kaavaa ja Geometriaa toista valmista kaavaa apuna. Molemmat kaavat löytyvät tuosta Ohmanin mainitsemasta wikipediajutusta ja löytyy sieltä vielä muitakin.Nimimerkit lähtevät noista kaavoista ja päättelevät sitten tuloksen.

      Eikös se nyt olisi selvempää käyttää suoraan tuota kaavaa K <= L^2/16. L^2/16 on K:n yläraja joka saavutetaan silloin ja vain silloin kun kyseessä on neliö. Mitä muuta tässä tarvitaan?Miksi olisi parempi käytää jotain välikaavaa ja siitä päätellä tulos kuin suoraan käyttää tuota epäyhtälöä? Valmiita ammoin jo todistettuja tuloksia nämä kaikki ovat.

      Ihmettelen vaan...

      • EiNiinVaikea

        Orwellin kannattaisi lukea tarkempaan. En käyttänyt suoraan kaavaa vaan totesin että pinta-ala saadaan laskettua lävistäjien osien avulla neljästä kolmiosta. Siis
        A = 1/2*(d1*d2 d2*d3 d3*d4 d4*d1)*sinv = 1/2(d2*(d1 d3) d4*(d3 d1))sinv = 1/2*(d1 d3)(d2 d4)*sinv
        Eli aika helposti johdettavissa ja siitä eteenpäin todistus on pääteltävissä.


      • Orwell-1984

        Valmis kaava on kuitenkin olemassa. Demonstroitko sinä täällä "taitojasi" johtelemalla iät ja ajat tunnettuja asioita? Ehkäpä seuraavaksi lasket ympyrän pinta-alankin peruslähtökohdista lähtien jos sellaista joissain tarvitaan. Ja lasket piin arvon. Jne.

        Et nyt näy ymmärtäneen kritiikkini sisältöä.


      • EiNiinVaikea

        Jos oletetaan että tuo on koulutehtävä; tehtävissä voidaan käyttää kaavoja jotka ovat "kaavakirjassa" eikä normiopiskelija tiedä tuota kaavaa ellei se ole kirjassa, niin kuin oletan. Siinä tapauksessa kaava on johdettava tehtävässä. Käsittääkseni kokeissa ei saa käyttää wikipediaa, ainakaan normaalisti.


      • KysykaaHeilta

        Ei tuo mikään koulutehtävä ole. Tosiasiahan on se, että tehtävä on useimmille matematiikan yliopisto-opiskelijoillekin liian vaikea. Eivätkä sitä osaisi ratkaista useimmat matematiikan aineenopettajatkaan.


    • EiNiinVaikea

      No normaaliksi lukion matematiikan tehtäväksi liian vaikea mutta sopiva esim. lukion matematiikkakilpailun tehtäväksi. Helposti ratkaistavissa ilman valmiita kaavojakin niin kuin edellä on osoitettu.

    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Hoitajalakko peruuntuu, tilalle joukkoirtisanoutumiset

      "Tehyn ja Superin hallitukset kokoontuivat tänään toteamaan, että tilanne edellyttää järeämpiä työtaistelutoimia." https://www.hs.fi/politiikka/art-2
      Maailman menoa
      739
      9297
    2. Johan tuli oikea aivopieru Britti Lordilta

      Emeritusprofessori Lordi Robert Skidelsky sanoi Suomen rikkovan YYA sopimusta joka on tehty Neuvostoliiton kanssaa 1948. Mitä pir
      Maailman menoa
      374
      8202
    3. Tehyn Rytkösellä tallessa tekstiviestit A-studiokohussa

      https://www.mtvuutiset.fi/artikkeli/a-studiosta-kohu-tehyn-rytkosen-mukaan-ministeri-linden-sai-paattaa-osallistujat-ohjelma-kiistaa-vaitteen/8407068
      Maailman menoa
      164
      6053
    4. William ja Sonja Aiello ERO

      Hyvä Sonja! Nyt etsit uudet kaverit ja jätät nuo huume- ja rahanpesu porukat haisemaan taaksesi!
      Kotimaiset julkkisjuorut
      54
      2467
    5. Oho! Seurapiirikaunotar, ex-missi Sabina Särkkä yllättää tällä harvinaisella kyvyllä: "Mulla on..."

      Sabina Särkkä on nähty monissa tv-reality-sarjoissa. Mutta tiesitkö, että Särkällä on valokuvamuisti? https://www.suomi24.fi/viihde/oho-seurapiirikaun
      Kotimaiset julkkisjuorut
      6
      2167
    6. Se siitä sitten

      Kirjoitan tänne kun en sulle voi. En vaivaa sua enää koskaan. En ikinä tarkoittanut olla ahdistava tai takertuva. Tunteet heräsi enkä osannut olla tyy
      Ikävä
      82
      1799
    7. Ohhoh! Rita Niemi-Manninen otti ison tatuoinnin - Herätti somekansan: "Täydellinen paikka!"

      Rita Niemi-Mannisen suuri, uusi tatuointi on saanut somekansan heräämään talvihorroksesta. Niemi-Manninen otti tatskan rakkauslomalla Aki-miehensä kan
      Kotimaiset julkkisjuorut
      20
      1744
    8. Harvoin julkisuudessa nähty Jari Sillanpää, 56, julkaisi uusia kuvia - Karisti Suomen pölyt jaloista

      Huumekohun jälkeen matalaa profiilia pitänyt Jari "Siltsu" Sillanpää on ollut vaitonainen elämästään. Tänä keväänä miehen some on ollut hiljainen. Nyt
      Kotimaiset julkkisjuorut
      9
      1619
    9. Ihastumisesta kertominen

      Olen päättänyt kertoa tunteistani ihastukseni kohteelle. Erityisen vaikeaksi tilanteeni tekee se, että kyseessä on ns. kielletty rakkaus. Olen jo toi
      Ihastuminen
      92
      1525
    10. Taas Venäjän tiedoittaja akka Varoitti Suomea ja Ruotsia liittymästä Natoon

      Juuri sopivasti julkaistu varoitus, kun Suomen eduskunta alkaa klo 13:50 käsitellä asiaa suorassa TV 1:n lähetyksessä. ILtasanomat.
      Maailman menoa
      441
      1422
    Aihe