Nelikulmion maksimaalinen pinta-ala?

Kts. Wikipedia: Quadrilateral:Maximum and minimum principles.

Jos tuo nelikulmio on konveksi on K <= 1/16 L^2 missä K on pinta-ala ja L on a b c d.
Yhtäsuuruus sjvs kun kyseessä on neliö eli a = b = c = d = L/4.

Ohman

Mitä ihmettä? Jos on annettu sivujen pituudet, et voi valita niitä enää tämän jälkeen. Ja jos sivujen pituudet ovat vaikka 1, 1, 1 ja 10, ei taatusti muodostu nelikulmiota.

Mitäpä sitä jo todistettuja asioita todistelemaan uudestaan?

Ohman

Jos oletetaan, että sivuista voi muodostaa nelikulmion, niin maksimaalinen ala todistetaan luullakseni seuraavasti: Piirretään lävistäjät. Nyt lävistäjät rajoittavat nelikulmion kanssa kolmioita. Mutta jos kolmion piiri on vakio ja kanta annettu, on suurin ala tasasivuisella kolmiolla. Tätä käyttämällä ja rajoittumalla lävistäjien rajaamiin kolmioihin saat, että nelikulmion tulee olla neljäkäs. Sitten osoitat, että jos piiri on annettu, suurin neljäkäs on neliö.

Hahmotin tehtävän seuraavasti. Oletetaan nelikulmion lävistäjät jotka leikkaavat toisensa jossain pisteessä ja jossain kulmassa. Sivujen kanssa ne rajoittavat neljä kolmiota, joiden pinta-alat saadaan laskettua lävistäjien osien ja niiden välisen kulman avulla. Kun kaava sievennetään, saadaan nelikulmion pinta-alaksi (1/2)*d1*d2*sinv jossa d1 ja d2 ovat lävistäjät ja v niiden välinen kulma. Tuosta nähdään että suurin ala saadaan kun määrämittaiset lävistäjät ovat toisiaan vastassa kohtisuorassa. Edelleen todetaan että nelikulmion piirin minimoituu kun lävistäjät leikkaavat toistensa keskipisteissä (eli nelikulmion kaikki sivut ovat yhtä pitkät). Ja että kun noiden sivujen pituus on vakio, suurin ala saadaan kun lävistäjät ovat yhtä pitkät. Eli kyseessä on neliö.

Tämähän on helppo tentävä, kun johtaa ensin, että A^2=(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcdcos(x y/2), jossa x ja y ovat vastakkaisia kulmia. Luonnollisesti maksimissa kosinitermi on nolla, jolloin kyseessä on jännenelikulmio. Käyttämällä aritmeettis-geometrista keskiarvoa nähdään, että sivujen on oltava yhtä pitkiä. Ainoa nämä ehdot toteuttava kulmio onkin neliö.

EiNiinVaikea käyttää tiettyä valmista kaavaa ja Geometriaa toista valmista kaavaa apuna. Molemmat kaavat löytyvät tuosta Ohmanin mainitsemasta wikipediajutusta ja löytyy sieltä vielä muitakin.Nimimerkit lähtevät noista kaavoista ja päättelevät sitten tuloksen.

Eikös se nyt olisi selvempää käyttää suoraan tuota kaavaa K <= L^2/16. L^2/16 on K:n yläraja joka saavutetaan silloin ja vain silloin kun kyseessä on neliö. Mitä muuta tässä tarvitaan?Miksi olisi parempi käytää jotain välikaavaa ja siitä päätellä tulos kuin suoraan käyttää tuota epäyhtälöä? Valmiita ammoin jo todistettuja tuloksia nämä kaikki ovat.

Ihmettelen vaan...

No normaaliksi lukion matematiikan tehtäväksi liian vaikea mutta sopiva esim. lukion matematiikkakilpailun tehtäväksi. Helposti ratkaistavissa ilman valmiita kaavojakin niin kuin edellä on osoitettu.