Osoita, että a**0 = 1

Lisätään vielä, että vanha Casion funktiolaskin ilmoittaa 0**0 olevan ---E---. Sen sijaan tietokneen laskin antaa arvoksi 1.

1 = a^1/a^1 = a^(1-1) = a^0

x^x raja-arvo =1 kun x->0 mutta ei päde kaikissa tapauksissa jossa lähestytään 0^0.

Wikipedia:
Potenssin tulkinta kertolaskun kautta ei kerro, mitä luvun nollas potenssi olisi: eihän ole olemassa tuloa, jossa on 0 tulon tekijää. Mikäli halutaan, että luku voidaan korottaa myös nollanteen potenssiin, täytyy sopia, mitä nollannella potenssilla tarkoitetaan. Periaatteessa tämä sopimus voitaisiin tehdä täysin mielivaltaisesti, mutta useimmissa tapauksissa edellä esitetyt potenssin laskusäännöt eivät pätisi nollansilla potensseilla. Kun sovelletaan laskusääntöä potenssiin a^0, jossa a on nollasta eroava reaaliluku, saadaan:
a^0 = a^(1-1) = a^1/a^1 = a/a = 1.
Siis luvun nollannen potenssin on oltava aina 1, mikäli halutaan laskusäännön a^m/a^n = a^(m-n) pätevän myös tapauksessa m = n. Siksi määritellään
a^0 = 1
kaikilla nollasta eroavilla reaaliluvuilla a. Näin määritellen myös muut potenssin laskusäännöt ovat voimassa nollansille potensseille

Jos luonnollisten lukujen joukko N = (1,2,3,...) ja x on reaaliluku niin reaaliluku x^n määritellään jokaiselle luonnolliselle luvulle n näin:

x^1 = x ja x^(n 1) = x*x^n

Jos x on reaaliluku ja x=/0 niin x^n =/ 0. Todistus: Koska x =/ 0 ja x^1 = x niin x^1 =/ 0.Koska x^2 = x^(1 1) = x*x^1 = x*x niin x^2 =/ 0 . Nyt reaalilukujen aksioomeista voidaan todistaa että jos ab = 0 niin joko a=0 tai b=0 (en nyt esitä tässä sitä) . Siis jos olisi x^2 = x*x = 0 niin olisi x= 0 vastoin oletusta.

Oletetaan nyt että siitä, että x^n =/ 0 seuraa x^(n 1) =/ 0. Tämä siis pätee kun n = 1.Tällöin x^(n 2) = x*x^(n 1) =/ 0 ja induktiolla seuraa että kaikille luonnollisille luvuille n pitää paikkansa että jos x=/ 0 niin x^n =/ 0.

Nyt seuraa määritelmä:

Jos n on kokonaisluku, x on reaaliluku ja x=/ 0 niin x^0 = 1 ja x^(-n)= (x^n)^(-1) missä tämä jälkimmäinen merkintä tarkoittaa luvun x^n käänteislukua kertolaskussa.

Tuo x^0 = 1 on siis määritelmä.

Nyt voidaan todistaa ettäjos n ja m ovat kokonaislukuja ja x =/ 0 niin


x^n * x^m = x^(n m) ja x^n/x^m = x^(n-m)

En rupea tätäkään tässä nyt todistamaan.Mutta todistuksen se vaatii.

On kuitenkin jo aiemmin määritelty että x^0 = 1.Sitä ei todisteta.


Jos taas puhuttaisiin potenssifunktiosta x^r missä r on reaaliluku niin modernilla tavalla esitettynä ensin määritellään funktio luonnollinen logaritmi ln: (0,inf) -> R näin:

ln(x) = Int(1,x) (1/t) dt.

Tämän jälkeen määritellään eksponentiaalifunktio exp: R -> (0,inf) tuon ln-funktion käänteisfunktiona: exp = ln^(-1).

Nyt potenssi x^r missä r on reaaliluku määritellään siten että se on funktio p(r, ): (0,inf) -> (0,inf) ja p(r,x) = exp(r ln(x)) kun x kuuluu väliin (0,inf).

Tämä määritelmä on yhtäpitävä tuon aiemman määritelmän kanssa silloin kun neksponentti r on kokonaisluku.

Määritelmästä tietenkin seuraa että jos x=/ 0 niin x^0 = p(0,x) = exp(0*ln(x)) = exp(0) = exp(ln(1)) = 1. Tietenkin taas on ensin todistettava että ln(1) = 0.

En nyt rupea setvimään tuota tapausta x= 0. Voidaan tietysti yksinkertaisesti määritellö 0^r = 0 kun r =/ 0. Mutta 0^0 on epämääräinen muoto.

Silloin kun on tilanne että f(a) ei ole määritelty mutta lim(x -> a) f(x) on olemassa voidaan määritellä, että f(a) on tuo limes. Mutta se on siis määritelmä, määritelty funktion arvo. 0^0-tapauksessa tällaista limestä ei ole.

Siinäpä sitä "saivartelua". Enkä nytkään saivarrellut ihan jokaista yksityiskohtaa vaan jätin joitain todistuksia vain maininnalle "voidaan todistaa".

Ohman

Ohman: "Jos aksioomista lähtien on todistettava jotain, esim. tuo a^0 = 1 kun a > 0 niin ei siinä todistuksessa voi esiintyä muita todistamattomia lauseita kuin aksioomat. Muut on todistettava. Sinun todistuksesi ei ole tällainen."

Ohman: "Nyt seuraa määritelmä:Jos n on kokonaisluku, x on reaaliluku ja x=/ 0 niin x^0 = 1 ja x^(-n)= (x^n)^(-1) missä tämä jälkimmäinen merkintä tarkoittaa luvun x^n käänteislukua kertolaskussa.Tuo x^0 = 1 on siis määritelmä."

Koeta nyt päättää todistetaanko a^0=1 vai määritelläänkö niin!

Huomasin hauskasti, että ei on likimain "2,7 kertaa neliöjuuri -1".

Jukka-Pekka vs Matti Kyllönen

Jukka-pekka ja matti olivat samassa selostamossa, jukapekka selosti jalkapallo-ottelua mansester sity vs suomen leijonat, ja matti selosti Formula GB-kisaa.

Yht'äkkiä Jukka-Pekka hyppäsi pöydälle ja otti kuri asennon. Matti jatkoi selostamista eikä reagoinut mitä Juka-Pekka aikoo. JUkka-pekka potkaisi kuusi kertaa mavalla mattia päähän. Viimeisellä pitkulla Matti lensi 16 metriä peräseinään, ja pökertyi.

Jukka-Pekka käytti matin tiedottomuuden hyväksi, ja potki Mattia nurkkaa vasten niin, että Matilta tuli oksennus. Kun Matti heräsi niihin yrjöihin, hän sanoi Jukka-Pekalle, että teen sinusta koiranmakkaraa.

Matti ponkaisi yloös, ja otti zenkutsudashin (eräär asiantuntijat ovat sanoneet, että tästä asennosta voi hyökätä jopa 97 boforin voinalla), Niinpä Matti hyökkäsi ja veti oisukilla jukka-pekkaa sydämmeen. Jukka-pekka kuoli iskusta saamiinsa vammoihin.

Kun jukka-pekka makasi elottomana lattialla, >Matti potki Jukka-Pekan ruumiin käytännössä jauhelihalle, jota voi tajota koirille.