Nyt joku ei aukea... ei ainakaan paraabeli sinne eikä tänne nimittäin ei alkua pidemmälle päästä.
Eli siis: Matti Meikeläinen on päättänyt rajata koirilleen aitauksen talonsa yhdelle sivulle niin, että aitaus muodostaa suorakulmaisen kolmion. Aitauksen yksi seinä on talon seinä (hypotenuusa). Aitaa Matilla on 25 metriä. Miten kolmion sivut tulee valita, jotta aitauksen pinta-ala on mahdollisimman suuri? Kuinka suuri pinta-ala tällöin on?
Eli siis: Matti Meikeläinen on päättänyt rajata koirilleen aitauksen talonsa yhdelle sivulle niin, että aitaus muodostaa suorakulmaisen kolmion. Aitauksen yksi seinä on talon seinä (hypotenuusa). Aitaa Matilla on 25 metriä. Miten kolmion sivut tulee valita, jotta aitauksen pinta-ala on mahdollisimman suuri? Kuinka suuri pinta-ala tällöin on?
Vastaukset 25
Vanhimmat
A=½x(25-x)=-½x^2 (25/2)x
derivointi
-x (25/2) = 0 <=>
x=25/2
Olkoon seinää vasten olevan sivun (hypotenuusa,tässä siis aitaa ei tarvita) pituus x y siten, että kolmion kärjestä tälle sivulle piirretty korkeusjana (pituus h) jakaa tuon sivun suhteessa x:y. Tuon x:n puoleisen hypotenuusanosan ja kolmion vastaavan kateetin välinen kulma olkoon u.
x/h = cot(u) ja y/h = cot(pi/2 - u) = tan(u).
Kolmion ala on
A = 1/2 h (x y) = 1/2 h^2 (cot(u) tan(u)) = 1/2 h^2 (cos(u)/sin(u) sin(u) /cos(u)) =
1/2 h^2 /(sin(u) cos(u)).
Aitaa oli 25 m joten
25 = sqrt(x^2 h^2) sqrt(y^2 h^2) = h( sqrt(cot^2(u) 1) sqrt(tan^2(u) 1)
= h((1/sin(u) 1/ cos(u)) joten h = 25 / (1/ sin(u) 1/ cos(u)).
A =( 625/2) /(((1/sin(u) 1/ cos(u))^2 * sin(u) cos(u) )
= (625/2) * 1/((1/sin^2(u) 1/ cos^2(u) 2 * 1/sin(u) * 1/ cos(u)) * sin(u) cos(u))
= (625/2) * 1 / (1/(sin(u) cos(u)) 2).
dA/du = - (625/2) * ( 1/ (1/(sin(u) cos(u)) 2)^2) * (- 1/(sin^2(u) cos^2(u)) * (cos^2(u) - sin^(u))) = 0.
Lausekkeesta näkyy, että dA/du = 0 kun u = pi/4. Kun u kullkee tätä pienemmästä arvosta sitä suurempaan arvon, dA/du vaihtaa merkin positiivisesta negatiiviseksi joten kyseessä on maksimi.Muita A:n derivaatan nollakohtia ei ole välillä 0 < u < pi/2 sillä cos^2(u) - sin^2(u) =(cos(u) sin(u)) * (cos(u) - sin(u)).
h = 25/(sqrt(2) sqrt(2)) = 25/(2 sqrt(2).
x= y = h joten x y = 2h = 25/sqrt(2) kuten pitääkin, sillä molempien kateettien pituus on sqrt(h^2 h^2) = 25 * sqrt(1/8 1/8) = 25/2 ja hypotenuusan pituus on siis 25* sqrt(1/4 1/4) = 25/sqrt(2).
A(max) = 1/2 * 25/(2 sqrt(2)) * 25/sqrt(2)) = 625/8.
Tämähän on puolet sellaisen neliön pinta-alasta jonka sivun pituus on 25/2.
Sulkumerkkejäö tuli paljon joten lukijan on ehkä parasta kirjoittaa kynällä ja paperilla kaavoja helpommin luettavaan muotoon jakoviivaa käyttäen.
En tässä halunnut vedota mihinkään geometrian valmiisiin tuloksiin vaan halusin kysyjälle näyttää miten tämä asia ihan laskemalla voidaan selvittää. Sitä, olisiko joku toinen muuttujien valinta johtanut helpommin tulokseen, en ole pohtinut. Minulle riittää jo tämä raapustaminen. Hidasta hommaa ainakin minulle noiden sulkumerkkikaavojen kirjoittaminen tällaiseen kommenttiin.
Ohman
Tuosta lausekkeesta dA/du näkyy viimeisestä sinistä puuttuvan eksponentti, p.o.
cos^2(u) - sin^2(u).Liekö sitten muita kirjoitusvirheitä, enpä nyt rupea tarkastamaan.
Ohman
missä se matti on tuossa kaavassa
Ei missään, kunhan nyt vaan vähän sekoilin. Tietenkin tuo nimimerkin "eikösnoin" laskelma on ihan oikein. Ja lyhyt.
Ohman
Lyhyin ja yksinkertaisin ratkaisu:
Kolmion ala on ab/2.
Aritmeettis-geometrisen epäyhtälön nojalla ab =< (a b/2)^2.
Koska a b= 25, saavuttaa pinta-ala maksiminsa (25^2)/4, vain kun a=b=12.5. (epäyhtälön yhtäsuuruusehto)
ja pinta-alan maksimi oli tietysti ab/2 eli 25^2/8 :)
ja aritmeettis-geometrisen yhtälön todistus kahden muuttujan tapauksessa on yksinkertainen. ab =< ((a b)/2)^2 on ekvivalentti epäyhtälön (a-b)^2 >=0, kun a>0 ja b>0. Tästä nähdään, että yhtäsuuruus (a-b)^2 =0 pätee tasan, kun a = b.
Jos se kolmio on suorakulmainen, niin kolmion kateetit sijaitsevat puoliympyrällä, koska puoliympyrän kehäkulma on aina suora kulma. Kolmion hypotenuusa kun on ympyrän halkaisija.
Kolmion ala kun on ½kanta*korkeus, niin tällaisen kolmion suurin ala, jonka kanta on ympyrän halkaisija ja kateetit sijaitsevat puoliympyrän kehällä, saavutetaan silloin kun korkeus on suurin. Suurin mahdollinen korkeus on tietysti ympyrän säde, ja silloin kolmio on tasakylkinen. Sen voi todeta piirtämällä, jos ei sitä muuten näe.
Tässä tapauksessa kateettien yhteispituus kun oli 25, niin yhden kateetin pituus on 12,5. Ala tietysti ½*12,5*12,5*sin(90).
Alan sijaintia ei tässä kysytty, mutta jos olisi, niin pitäisi pohtia voiko se olla myös talon sisäpuolella, eikä tietenkään voi väliseiniä purkamatta olla.
kun korkeutta kasvattaa, niin kanta lyhenee. mielestäni asiaei siksi ole noin selvä.
Kantahan on koko ajan vakio, eli seinä, eli hypotenuusa, eli ympyrän halkaisija.
Tuossa on kuvaakin: https://fi.wikipedia.org/wiki/Thaleen_lause
Jos kanta on vakio, niin silloinhan on vain yksi suorakulmainen kolmio, jonka kateettien pituuksien summa on 25, eikä mitään optimointia tarvita. Sinä oletat laskuissasi, että seinän pituus on sqrt(2)*12.5m mutta mistä olet tämän tiedon repinyt?
Siis: Jos ympyrältä, jonka halkaisija on seinä valitaan piste, niin aidan pituudeksi tulee 25 m vain yhdessä kohtaa, jos peilauksia ei lasketa.
Minä en tähän hetkeen mennessä vielä ole tiennyt seinän pituutta.
Tehtävässä sanotaan, että pinta-alaltaan mahdollisimman suuri suorakulmainen aitaus on tehtävä, siten että seinä on sen hypotenuusa.
Alaltaan suurin mahdollinen suorakulmainen kolmio saadaan kun kateetit ovat yhtä pitkiä.
Kateettien yhteispituus kun tiedetään, niin se jaetaan kahdella, ja siinä on yhden kateetin pituus. Ala on sitten ½*kateetti*kateetti*sin(90).
Missään vaiheessa en ole määrännyt seinälle minkäänlaista pituutta, enkä edes laske sitä. Olkoon mikä on, kun ei sitä edes kysytä.
"Tehtävässä sanotaan: Suorakulmainen aitaus on tehtävä, siten että seinä on sen hypotenuusa."
Tämä lause edellyttää sitä, että kolmion kateettien kärjet ovat puoliympyrällä ja ympyrän halkaisija on sen hypotenuusa. (Thaleenin lause).
Sitten halutaan alasta mahdollisimman suuri.
Koska ala on ½*hypotenuusa*korkeus, ja hypotenuusa on koko ajan vakio, eli seinä, niin puoliympyrän sisään piirretyn edellä mainittujen vaatimusten täyttävän kolmion ala on suurin silloin kun korkeus on suurin, eli R.
Silloin kateetit ovat yhtä pitkiä, eli 12,5.
Ala toisella tavalla laskettuna on ½*kateetti*kateetti*sin(90).
puoliympyrän koko muuttuu, koska √[(25-x)^2 x^2)] ei ole vakio.
Ei olemassa oleva seinä voi muuttua.
Ei seinän koko pituutta käytetä hyväksi.
Muuten matematiikassa seinän pituus on vakio ⌇T
Oletat joka tapauksessa, että seinän pituus on ympyrän halkaisija, ja että kolmion korkeus on ympyrän säde eli puolet ympyrän halkaisijasta. Jos nyt seinän pituus on d, on kolmion ala A=0.5*kanta*korkeus. Kanta on oletuksiesi nojalla d ja korkeus puolet tästä eli 0.5 d. Lisäksi pinta-ala on laskujesi nojalla "½*12,5*12,5*sin(90)". tästä saadaan yhtälö
½*12,5*12,5*sin(90)=0.5*d*0.5d eli
½*12,5*12,5*sin(90)=0.25 d^2 eli
2*12,5*12,5=d^2.
Siten oletat seinän pituudeksi 17.7 metriä. Kuitenkin jos tiedettäisiin, että seinän pituus on esimerkiksi 100 metriä, on vastauksesi ristiriidassa tämän kanssa, joten päättelyketju on väärä. Koko seinää ei siis ole välttämättä syytä käyttää (eikä se välttämättäole edes mahdollista), jolloin kanta ei ole vakio.
Myös jos seinä on lyhyempi kuin 17.7 m, isoin alue on 0.25d^2.
En minä käytä (½*hypotenuusa*korkeus) koirien aitauksen pinta-alan laskemiseen, sillä ei ole itse asiassa edes mitään tekemistä koirien aitauksen kanssa, vaan yleisesti pätee:
Minkä tahansa puoliympyrän sisään piirretyn suorakulmaisen kolmion, sellaisen kolmion, jonka kanta = hypotenuusa =puoliympyrän halkaisija, ja kateetit puoliympyrän kehällä, suurin mahdollinen ala saavutetaan kun kateetit ovat yhtä pitkiä.
Myönnän kyllä, että tuo hyvin tärkeä pointti on huonosti sanottu, pidin sitä itsestään selvänä.
Tämän jälkeen käytetään tietoa, että kateettien yhteispituus =25.
Sen jälkeen lasketaan tämän kyseisen koirien aitauksen max pinta-ala= ½kateetti^2*sin90
Tehtävässä selvästi sanotaan, että aituksen yksi seinä on talon seinä(hypotenuusa), mutta jos nyt oletetaan niin kuin haluatte, että hypotenuusa sijaitsee 100 metriä pitkällä seinustalla, niin se ei muuta tilannetta mitenkään.
Edelleenkin, kun hypotenuusan ympärille asetellaan suorakulmaista kolmiota, niin kateettien kärjet piirtävät puoliympyrän, ja edelleenkin aitauksen maksimipinta-ala saadaan kun kateetit ovat yhtä pitkiä, ja edelleenkin max pinta-ala =
½kateetti^2*sin90.
Et tainnut vieläkään ymmärtää pointtia.
Kolmion ei tarvitse alunperin olla suorakulmainen. Olkoon seinäsivun vastainen kulma u, 0 < u < pi.Muut sivut ovat a ja b, a b = 25.
Kolmion ala on A = 1/2 ab sin(u) = 1/2 a (25 - a) sin(u) = 1/2 (25 a - a^2) sin(u).
dA/du = 1/2(25 a - a^2) cos(u) = 0 joten u = pi/2.
dA/da = 1/2(25 - 2a) sin(u) = 0 joten a = 25/2 , b = 25/2 ja A = 625/8.
Hessen matriisin determinantti d(2) on pisteessä (pi/2,25,2) >0 joten (-1)^2 d(2) > 0 ja d(1) = d^2A/du^2 < 0 joten (-1)^1 d(1) > 0. Kyseessä on siis tarkka relatiivinen maksimi (strict relative maximum).Muita kriittisiä pisteitä ei alueella 0 < u < pi ja 0 < a < 25 ole joten kyseessä on myös globaali maksimi.Alueeen reunoja lähestyttäessä A -> 0 joten tuo 625/8 on A:n suurin arvo.
Ohman
p.o. "pisteessä (pi/2, 25/2)". Koko ajan näkyy tulevan noita näppäilyvirheitä.
Ohman
Valitaan kateettien pituuksiksi 12,5 x ja 12,5-x. Silloin A = 156,25-x^2, maksimi kun x=0.
Siis kolmion ala on puolet tuosta.
Tämähän on nerokas ratkaisu! Olipas nokkelasti keksitty!