Oletetaan että Maa on pallo ja homogeeninen kappale ja sen tiheys on sama kaikkialla eikä ole olemassa mitään vitsejä kivensyöjistä.
Oletetaan että Maan läpi on porattu pyöreä sylinterimäinen reikä, joka on 1 m halkaisijaltaan. Pudotetaan reikään pieni kivi niin että se on pudotettaessa 1 mm sivussa reiän akselilta. Kauanko kestää että kivi kopsahtaa reiän seinään?
Oletetaan että Maan läpi on porattu pyöreä sylinterimäinen reikä, joka on 1 m halkaisijaltaan. Pudotetaan reikään pieni kivi niin että se on pudotettaessa 1 mm sivussa reiän akselilta. Kauanko kestää että kivi kopsahtaa reiän seinään?
Vastaukset 31
Vanhimmat
Vielä oletetaan, että tehtävä kuuluu enemmän fysiikkaan kuin matematiikkaan.
Porataanko reikä napojen välille vai muualle ?
Mihin suuntaan lähtöasema on 1 mm sivussa ?
Huomioidaanko maan pyörimisliikkeen lisäksi kuun vetovoima, prekessio tai muita maan liikkeeseen vaikuttavia tekijöitä ?
Vastataan nyt että 1 sekunti, kun ei noista luvuista oikein muuta saa...
Jos lähdetään siitä että vaikuttavina voimina on vain gravitaatio ja maan pyörintäliike ja reikä on kairattu päiväntasaajalle, g = normaali keskiarvo ( noin lyhyellä matkalla g.n muutoksen vaikutus aikaan olisi olematon) ja kivi pudotetaan reiän keskelle, koska mainitun 1 mm sivun suuntaa ei ole kerrottu.
Noilla lähtökohdilla aika olisi n. 11.2 s.
Onkohan tuo laskettu pyörimismäärän säilymislain perusteella?
Ei ole.
Minä laskin. Sain 11,1 s.
Laitetaan nyt tuo laskelma näkyviin. Jos kivi putoaa syvyydelle s maan sisään, on sillä aluksi maanpinnan nopeus V mutta pyörimismäärän säilymisen takia nopeus kasvaa. Kun oletetaan että s on hyvin pieni maan säteeseen R verrattuna, tulee kiven nopeuden kasvuksi dv syvyydellä s päiväntasaajalla:
dv = (V/R)*s = (2*pii/T)*s missä T on maapallon pyörähdysaika (23,93 h)
Toisaalta reiän keskipisteen nopeus hidastuu syvyyden funktiona ja nopeuden vähenemä on yhtä kuin edellä laskettu ds. Mutta kun lasketaan kiven siirtymää reiän keskiakselin suhteen pitää ottaa keskinopeus matkalla s, joka on puolet nopeudesta syvyydellä s, eli ds.
Putoamissyyvyyttä ja putoamisaikaa yhdistää yhtälö:
s = g*t^2/2
Kiven etäisyys keskipisteestä on siten:
dv*t = (pii/T)*g*t^3
Eli t = cbrt(0,5*23,93*3600/3,14*9,81) = 11,2 (tarkkaan laskien)
Oliko tehtävän glou siinä että maan pyörähdysaika (w) ei ole 24 h, vaan lyhyempi ?
Muuten looginen liikeyhtälö johtaa suoraan kaavaan t ³ = w/(2piig)
Niin, minä johdin saman kaavan omalla tavallani.
t^3 = w/(2 pii g)
w:n dimensio on s ja g:n dimensio on m/s^2 joten suureen t^3 dimensioksi tulee s^3 / m ja ajan dimensioksi siis s/m^(1/3).
Noinkohan?
kahdeksantoista minuuttia
Lausekkeesta on jätetty kirjoittamatta kerroin 1 , jonka laatu on m.
Kun matkan lause ½gt2 =½ m esitetään kaavamaisesti t² = 1/g, niin jos siihen lisättäisi vain yhden tekijän dimensio niin sekaannus olisi vielä suurempi.
Tuossa Otetaan-nyt-lisää kaavassa tuo 1/2 tarkoittaa puolta metriä. Pitäisi kirjoittaa:
t ³ = w*r/(pii*g) missä d on tuon reiän säde.
1/2 g t2 =gt
Kyllä fysiikan kaavat on mahdollista ja pitäisi kirjoittaa ilman mitään "sekaannuksia".Pitäisi vain vaivautua vähän ajattelemaan.
Sori, piti olla r.
Entäs jo reikä onkin porattu navalta navalle? Mahtaako vaikuttaa Maan pyörähdysaika?
Siinä vaikuttaa kuun ja muiden planeettojen vetovoimat ja prekessio ja aikakin on eri mittaluokkaa, eli taitaa kivi keretä jojoilla noita 1.5 h matkoja jo useamman kerran.
Entäs auringon vetovoima? Entäs aurinkokunnan liike Linnunradan keskuksen ympäri ja Linnunradan tasoa vastaan? Entäs Linnunradan liike kohti Suurta Attraktoria?Ota nyt kaikki huomioon!
Kokeilin pudottaa 7 kerroksisen talon katolta kiven, ei liikkunut osumakohta sivusuunnassa ollenkaan. Eli kun pallo pyörii niin kivi liikkuu mukana, eli ei osu mihinkään vaan hurahtaa läpi pallosta, mutta putoaa takaisin ja tekee jojo liikettä kunnes pysähtyy boltsin ytimeen.
Kyllä se noin millin verran poikkeaa näillä leveysasteilla maahan tullessaan. Ja jos menisi maapallon läpi, menisi soikiorataa. Navalta navalle tuollinen edestakainen jojotus olisi lähempänä totuutta.
Aika kiva tehtävä !
Edellä lasketut tulokset ovat pohjautuneet siihen että suorakulmaisessa koordinaatistossa gravitaation suunta on vakio, mutta todellisuudessa maan pyöriessä suunta kiinteässä koordinaatistossa muuttuu, joten todellinen aika onkin pidempi.
Omassa laskelmassani olen kiinnittänyt koordinaatiston reiän suun liiketilaan ja tarkastellut kiven nopeuden muutoksia alkutilaan verrattuna. Kun syvyys jossa kosketus reiän seinämään tapahtuu, on 0,6 km luokkaa, ja maan säde on 6000 km, on selvää, että linearisoinnista aiheutuva virhe on mitätön. Ja sama tulos on saatu toisesta lähtökohdasta laskien.
Koska reiästä purkautuisi suurella paineella ylöspäin kuumaa lähes kaasumaista sisusta ei pallo/ kivi pääsisi koskaan perille.
Entä jos oletetaan, että Maapallo ei pyöri. Meneekö kivi suoraan Maan keskipisteen kautta toiselle puolelle Maapalloa?
Kun tarkemmin ajattelen, taisi tulla laskemissani virhe. Pyörimislain säilymislaista saadaan kiven maanpinnan suuntaisen nopeuden kasvu dv verrattuna nopeuteen maanpinnalla:
dv = (V/R)*s = (2*pii/T)*s missä T on maapallon pyörähdysaika (23,93 h) ja s on putoamissyvyys.
Toisaalta reiän keskipisteen maanpinnan suuntainen nopeus vähenee yhtä paljon, eli kiven suhteellisen nopeuden kasvu siihen verrattuna on 2*dv.
Putoamissyyvyyttä ja putoamisaikaa yhdistää yhtälö:
s = g*t^2/2
Jolloin saadaan:
2*dv = (2*pii/T)*g*t^2
Tuo kun integroidaan, saadaan kiven tenemä matka rieän keskijanalta, jonka pitää olla yhtä kuin reiän säde r.
r = (2/3)*pii*g*t^3/T
Eli t = cbrt(3*r*T/(2*pii*g))
Ja nyt tulisi t = 12,8 s.
Joo näin.
Periaatteessa käyttämäsi kulman tai sen tangentin sijaan olisi käytettävä kulman siniä dv-lausekkeessa, joskin näin pienillä kulmilla ei tulokseen ole mitään vaikutusta.
Jos Maa siis oletetaan homogeeniseksi palloksi on yhdentekevää porataanko reikä
a) Maan keskipisteen kautta
b) jostain vinosti läpi eli sivusta katsottuna reikä olisi ympyrän sekantti joka lähtisi vaikka Helsingistä ja päätyisi ulos Tukholmasta
Sama aika
Kun siis menette rannalle, ja teette pienen putken hiekkaan sanotaan syvin kohta noin vaikka 5 senttiä maan alla ja panette hiekanjyvän putken päähän se valuu toiseen päähän ja pomppaa takaisin ja aika on vajaa puolitoista tuntia
ilmanvastus ja kitka estävät teiltä tämän kokeen
VIELÄ: tämä on täsmälleen sama aika kuin kiertoaika Maan ympäri matalalla (esim. satelliitti maassa kiinni) eli 2 pi sgrt(R/g) eli R = 6 378 km, g = 9,8 m/s2, siis aika on 5068,845897 sekuntia 84,48 minuuttia
JOS TÄTÄ LÄHDETÄÄN HIENONTAMAAN siten että otetaan Maan pyörimisliike ("keskipako", Coriolis ) huomioon niin kivi törmää putken seinään ja se sitten siitä
Oletus: maa on homogeeninen pallo eikä pyöri. Putki porataan korkeudelle h keskipisteestä ja kitka putkessa = 0.Maapallon keskipiste on x,y-koordinaatiston origossa.
x'' kx = 0 missä k = GM/R^3, M = maapallon massa, R = maapallon säde.
Ratkaisu on x = sqrt(R^2 - h^2) cos(sqrt(k) * t)
Matkaan lähdetään kun t = 0 ja puolivälissä ollaan kun t = pi/(2 * sqrt(k)).
Koko matkaan kuluu aikaa T = pi/sqrt(k) = (pi * R^(3/2)) /sqrt(GM)
M = 5,9737 * 10^24 kg , G =6,67259 * 10^(- 11) N kg^(- 2) m^2, R = 6,37814 * 10^6 m
T = 2534,67 s = 42,24 minuuttia ja edestakaiseen matkaan kuluu 2T = 84,48 minuuttia.
No Hallaahon.äänestäjä? tuon luvun jo ilmoittikin mutta piti ihan itse laskea että tajusin varmasti mistä se tulee. Paninpa siis tämän laskelman nyt sitten tännekin.
Oikeasti putkessa on tietenkin kitkaa, kappaleeseen kohdistuu suoraan alaspäin eli kohtisuoraan putken pohjaa vasten gravitaation y-komponentti. Tämä aiheuttaa x-suuntaisen kitkavoiman.Mutta liikutaan nyt liukkaalla!
Ohman
Pari vuotta sitten joku esitti tämmöisen, jossa maapallon tiheyserot olisi jotenkin huomioitu: https://arxiv.org/pdf/1308.1342v1.pdf