Miten ratkaistaan 4x-15y=3? En ymmärrä miten saan tästä oikean ratkaisun ja olisi mukava ymmärtää miten saan tämän laskun loppuun asti. Olen laskenut, että syt(4,-15)=1, mutta en sen enempää osaa.
Diofantoksen yhtälö
Anonyymi987
8
145
Vastaukset
- laskee
Tässä en esitä yleistä ratkaisutappa, vaan miten tämän ratkaisee 10:ssä sekunnissa päässälaskuna:
Mieti ensin yhtälöä 4p-15k=1, jossa k=1, eli 4p-15=1. Näet heti, että p:n arvo neljä on tämän ratkaisu. No, jos arvoksi halutaan kolme tuon ykkösen sijasta, niin tietenkin kerrotaan kolmella.
Joten siis x = 3*4 = 12 ja y on 3*1 = 3. - Ohman
4x - 15 y = 3
SYT(4,15) = 1 ja 1 jakaa luvun 3 joten yhtälöllä on ratkaisu.
4*4 1*(- 15) = 1 ja( 4*3, 1 * 3) = (12, 3) on erkoisratkaisu.
(12 t(- 15), 3 - t* 4) on yleinen ratkaisu, kaikki ratkaisut saadaan eri t:n arvoilla.
4(12 t (- 15)) - 15 (3 - t *4) = 48 - 60 t - 45 60 t = 3.
Ohman- Ohman
Yllä siis t on mikä tahansa kokonaisluku.
Selitän vähän ratkaisun metodia. Olkoon lukujen a(1),a(2),...,a(n) syt = (a(1),a(2),...,a(n)).
Yhtälöllä
(1) a(1) x(1) a(2) x(2) ... a(n) x(n) = b
on ratkaisu sjvs kun (a(1),a(2),...,a(n)) l b (a l b tarkoittaa, että a jakaa b:n, b on jaollinen a:lla).
Näin siksi, etttä koska yhtälön (1) vasen puoli on jaollinen tuolla syt:llä niin oikea puolikin on.
Lukujen a ja b syt (a,b) löytyy Euklideen algoritmilla.
Lukujen a(i) syt saaadaan laskemalla ensin vaikkapa (a(n-1),a(n)), sitten (a(n-2), (a(n-1),a(n))) jne.
Tämä menettely johtaa siihen, että noiden a(i)-lukujen syt voidaan lausua niiden lineaarisena yhdistelmänä:
(2) (a(1),...,a(n)) = c(1) a(1) c(2) a(2) --- c(n) a(n)
Koska (a(1),...,a(n)) l b niin b = d * (a(1),...,a(n))
Kun (2) kerrotaan puolittain luvulla d saadaan
(3) d c(1) a(1) ... d c(n) a(n) = b
joten luvut d c(1), d c(2) ,..., d c(n) toteuttavat yhtälön (1).
Jos x(1), x(2),...,x(n) ja y(1),y(2),....,y(n ) ovat ratkaisuja on myös x(1) - y(1), x(2) - y(2),...,x(n) - y(n) yhtälön (1) ratkaisu.
Kahden muuttujan yhtälössä edellisessä kommentissani yleinen ratkaisu saatiin muotoon jossa esiintyi parametri t. n:n muuttujan yhtälön yleisessä ratkaisussa on n - 1 parametriä t(1),t(2),...,t(n-1). Enpä nyt rupea kuluttamaan lauantaiaamua kirjoittamalla sen esityksen näkyville!
Ohman
- Akselsson
Ja sitten lukiossa esitettävä ratkaisutapa:
Suurimman yhteisen tekijän osasitkin jo laskea.
-15 = 4•(-4) 1
4 = (-4)•(-1) 0
siis syt(-15,4)=1
Sitten lähdetään samaa reittiä takaisin päin
-15 - 4•(-4) = 1
-15• 1 4 • 4 = 1 ||kerrotaan molemmat puolet 3:lla
-15 • 3 4 • 12 = 3
Vertaamalla alkuperäiseen yhtälöön huomataan, että yksi ratkaisu on
x = 3, y = 12
Kaikki ratkaisut:
x = 3 n • (-15)/1 = 3 -15n
y = 12 - n • 4/1 = 12 - 4n, missä n on kokonaisluku.- Ohman
Lukioratkaisusi on virheellinen. Yhtälö oli 4x - 15 y = 3.
Kyllä tämän erikoisratkaisu ja yleinen ratkaisu ovat nuo minun viestissäni 19.5 klo 22:47 antaman
x = 12, y = 3 ja
x = 12 - 15 t, 3 - 4 t.
Huomaat kai itsekin etteivät antamasi ratkaisut tpteuta yhtälöä.
Kun rupeaa antamaan neuvoja pitäiusi vähän tarkastaa ovatko ne oikeita!
Ohman - Ohman
Ohman kirjoitti:
Lukioratkaisusi on virheellinen. Yhtälö oli 4x - 15 y = 3.
Kyllä tämän erikoisratkaisu ja yleinen ratkaisu ovat nuo minun viestissäni 19.5 klo 22:47 antaman
x = 12, y = 3 ja
x = 12 - 15 t, 3 - 4 t.
Huomaat kai itsekin etteivät antamasi ratkaisut tpteuta yhtälöä.
Kun rupeaa antamaan neuvoja pitäiusi vähän tarkastaa ovatko ne oikeita!
OhmanTulipa nyt taas kirjoitusvirheitä:
p.o. : antamani, x = 12 - 15 t, y = 3 - 4 t, toteuta, pitäisi.
Olisi ollut helppo tarkastaa toteuttavatko ratkaisusi yhtälön.
Ohman - Tarkkail1ja
Eihän tuossa muuta virhettä ollut, kun x ja y kopioitu väärin. Ratkaisutapana muuten selkeä.
- Ohman
Tarkkail1ja kirjoitti:
Eihän tuossa muuta virhettä ollut, kun x ja y kopioitu väärin. Ratkaisutapana muuten selkeä.
Katsopas tuota yleistä ratkaisua. Akselsson antaa
x = 3 - 15 n ja y = 12 - 4n.
Oikeat ovat
x = 12 - 15 n ja y = 3 - 4 n.
Tarkkailehan tarkemmin!
Ohman
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Miksi jollain jää "talvi päälle"
Huvittaa kastoa ullkona jotain vahempaa äijää joka pukeutuu edelleen kun olisi +5 astetta lämmittä vaikka on helle keli3083137Mitä et hyväksy miehessä/naisessa josta olet kiinnostunut?
Itse en halua, että miehellä olisi lapsia!2221967Se katse silloin
Oli hetki, jolloin katseemme kohtasivat. Oli talvi vielä. Kerta toisensa jälkeen palaan tuohon jaettuun katseeseen. Tunt591602Tiesitkö? Farmi Suomi Kirsikka Simberg on tämän julkkisnaisen tytär - Katso tyrmäävät mallikuvat!
Oho, aikamoinen ylläri. Tiesitkö?! Kirsikka Simberg on yksi tämän kauden Farmi Suomi -kisaajista. Hänellä ei ole tuttu t41404- 811288
Tuhdit oluet kauppoihin. Miksi vastustaa?
8% oluet kauppoihin mutta mikä siinä on että osa politikoista vstustaa ? Kauppa kuitenkin hinnoittelee vahvan oluen ni2721213- 811064
Sinua tulen kyllä ikävöimään pitkään nainen
mutta oli pakko tehdä päätös oman mielenrauhan vuoksi. Toivottavasti saat elämältä kaiken mitä haluat.521051- 80991
Asiallinen lähestyminen
Mitä on asiallinen lähestyminen?? Tietääkö tai tajuaako kukaan, varsinkaan miehet??? Eilen NELJÄNNEN kerran jouduin isk145867