Miten ratkaistaan 4x-15y=3? En ymmärrä miten saan tästä oikean ratkaisun ja olisi mukava ymmärtää miten saan tämän laskun loppuun asti. Olen laskenut, että syt(4,-15)=1, mutta en sen enempää osaa.
Diofantoksen yhtälö
Anonyymi987
8242
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 8
Vanhimmat
Tässä en esitä yleistä ratkaisutappa, vaan miten tämän ratkaisee 10:ssä sekunnissa päässälaskuna:
Mieti ensin yhtälöä 4p-15k=1, jossa k=1, eli 4p-15=1. Näet heti, että p:n arvo neljä on tämän ratkaisu. No, jos arvoksi halutaan kolme tuon ykkösen sijasta, niin tietenkin kerrotaan kolmella.
Joten siis x = 3*4 = 12 ja y on 3*1 = 3.
4x - 15 y = 3
SYT(4,15) = 1 ja 1 jakaa luvun 3 joten yhtälöllä on ratkaisu.
4*4 1*(- 15) = 1 ja( 4*3, 1 * 3) = (12, 3) on erkoisratkaisu.
(12 t(- 15), 3 - t* 4) on yleinen ratkaisu, kaikki ratkaisut saadaan eri t:n arvoilla.
4(12 t (- 15)) - 15 (3 - t *4) = 48 - 60 t - 45 60 t = 3.
Ohman
Yllä siis t on mikä tahansa kokonaisluku.
Selitän vähän ratkaisun metodia. Olkoon lukujen a(1),a(2),...,a(n) syt = (a(1),a(2),...,a(n)).
Yhtälöllä
(1) a(1) x(1) a(2) x(2) ... a(n) x(n) = b
on ratkaisu sjvs kun (a(1),a(2),...,a(n)) l b (a l b tarkoittaa, että a jakaa b:n, b on jaollinen a:lla).
Näin siksi, etttä koska yhtälön (1) vasen puoli on jaollinen tuolla syt:llä niin oikea puolikin on.
Lukujen a ja b syt (a,b) löytyy Euklideen algoritmilla.
Lukujen a(i) syt saaadaan laskemalla ensin vaikkapa (a(n-1),a(n)), sitten (a(n-2), (a(n-1),a(n))) jne.
Tämä menettely johtaa siihen, että noiden a(i)-lukujen syt voidaan lausua niiden lineaarisena yhdistelmänä:
(2) (a(1),...,a(n)) = c(1) a(1) c(2) a(2) --- c(n) a(n)
Koska (a(1),...,a(n)) l b niin b = d * (a(1),...,a(n))
Kun (2) kerrotaan puolittain luvulla d saadaan
(3) d c(1) a(1) ... d c(n) a(n) = b
joten luvut d c(1), d c(2) ,..., d c(n) toteuttavat yhtälön (1).
Jos x(1), x(2),...,x(n) ja y(1),y(2),....,y(n ) ovat ratkaisuja on myös x(1) - y(1), x(2) - y(2),...,x(n) - y(n) yhtälön (1) ratkaisu.
Kahden muuttujan yhtälössä edellisessä kommentissani yleinen ratkaisu saatiin muotoon jossa esiintyi parametri t. n:n muuttujan yhtälön yleisessä ratkaisussa on n - 1 parametriä t(1),t(2),...,t(n-1). Enpä nyt rupea kuluttamaan lauantaiaamua kirjoittamalla sen esityksen näkyville!
Ohman
Ja sitten lukiossa esitettävä ratkaisutapa:
Suurimman yhteisen tekijän osasitkin jo laskea.
-15 = 4•(-4) 1
4 = (-4)•(-1) 0
siis syt(-15,4)=1
Sitten lähdetään samaa reittiä takaisin päin
-15 - 4•(-4) = 1
-15• 1 4 • 4 = 1 ||kerrotaan molemmat puolet 3:lla
-15 • 3 4 • 12 = 3
Vertaamalla alkuperäiseen yhtälöön huomataan, että yksi ratkaisu on
x = 3, y = 12
Kaikki ratkaisut:
x = 3 n • (-15)/1 = 3 -15n
y = 12 - n • 4/1 = 12 - 4n, missä n on kokonaisluku.
Lukioratkaisusi on virheellinen. Yhtälö oli 4x - 15 y = 3.
Kyllä tämän erikoisratkaisu ja yleinen ratkaisu ovat nuo minun viestissäni 19.5 klo 22:47 antaman
x = 12, y = 3 ja
x = 12 - 15 t, 3 - 4 t.
Huomaat kai itsekin etteivät antamasi ratkaisut tpteuta yhtälöä.
Kun rupeaa antamaan neuvoja pitäiusi vähän tarkastaa ovatko ne oikeita!
Ohman
Tulipa nyt taas kirjoitusvirheitä:
p.o. : antamani, x = 12 - 15 t, y = 3 - 4 t, toteuta, pitäisi.
Olisi ollut helppo tarkastaa toteuttavatko ratkaisusi yhtälön.
Ohman
Eihän tuossa muuta virhettä ollut, kun x ja y kopioitu väärin. Ratkaisutapana muuten selkeä.
Katsopas tuota yleistä ratkaisua. Akselsson antaa
x = 3 - 15 n ja y = 12 - 4n.
Oikeat ovat
x = 12 - 15 n ja y = 3 - 4 n.
Tarkkailehan tarkemmin!
Ohman