Miten ratkaistaan 4x-15y=3? En ymmärrä miten saan tästä oikean ratkaisun ja olisi mukava ymmärtää miten saan tämän laskun loppuun asti. Olen laskenut, että syt(4,-15)=1, mutta en sen enempää osaa.
Diofantoksen yhtälö
Anonyymi987
8
188
Vastaukset
- laskee
Tässä en esitä yleistä ratkaisutappa, vaan miten tämän ratkaisee 10:ssä sekunnissa päässälaskuna:
Mieti ensin yhtälöä 4p-15k=1, jossa k=1, eli 4p-15=1. Näet heti, että p:n arvo neljä on tämän ratkaisu. No, jos arvoksi halutaan kolme tuon ykkösen sijasta, niin tietenkin kerrotaan kolmella.
Joten siis x = 3*4 = 12 ja y on 3*1 = 3. - Ohman
4x - 15 y = 3
SYT(4,15) = 1 ja 1 jakaa luvun 3 joten yhtälöllä on ratkaisu.
4*4 1*(- 15) = 1 ja( 4*3, 1 * 3) = (12, 3) on erkoisratkaisu.
(12 t(- 15), 3 - t* 4) on yleinen ratkaisu, kaikki ratkaisut saadaan eri t:n arvoilla.
4(12 t (- 15)) - 15 (3 - t *4) = 48 - 60 t - 45 60 t = 3.
Ohman- Ohman
Yllä siis t on mikä tahansa kokonaisluku.
Selitän vähän ratkaisun metodia. Olkoon lukujen a(1),a(2),...,a(n) syt = (a(1),a(2),...,a(n)).
Yhtälöllä
(1) a(1) x(1) a(2) x(2) ... a(n) x(n) = b
on ratkaisu sjvs kun (a(1),a(2),...,a(n)) l b (a l b tarkoittaa, että a jakaa b:n, b on jaollinen a:lla).
Näin siksi, etttä koska yhtälön (1) vasen puoli on jaollinen tuolla syt:llä niin oikea puolikin on.
Lukujen a ja b syt (a,b) löytyy Euklideen algoritmilla.
Lukujen a(i) syt saaadaan laskemalla ensin vaikkapa (a(n-1),a(n)), sitten (a(n-2), (a(n-1),a(n))) jne.
Tämä menettely johtaa siihen, että noiden a(i)-lukujen syt voidaan lausua niiden lineaarisena yhdistelmänä:
(2) (a(1),...,a(n)) = c(1) a(1) c(2) a(2) --- c(n) a(n)
Koska (a(1),...,a(n)) l b niin b = d * (a(1),...,a(n))
Kun (2) kerrotaan puolittain luvulla d saadaan
(3) d c(1) a(1) ... d c(n) a(n) = b
joten luvut d c(1), d c(2) ,..., d c(n) toteuttavat yhtälön (1).
Jos x(1), x(2),...,x(n) ja y(1),y(2),....,y(n ) ovat ratkaisuja on myös x(1) - y(1), x(2) - y(2),...,x(n) - y(n) yhtälön (1) ratkaisu.
Kahden muuttujan yhtälössä edellisessä kommentissani yleinen ratkaisu saatiin muotoon jossa esiintyi parametri t. n:n muuttujan yhtälön yleisessä ratkaisussa on n - 1 parametriä t(1),t(2),...,t(n-1). Enpä nyt rupea kuluttamaan lauantaiaamua kirjoittamalla sen esityksen näkyville!
Ohman
- Akselsson
Ja sitten lukiossa esitettävä ratkaisutapa:
Suurimman yhteisen tekijän osasitkin jo laskea.
-15 = 4•(-4) 1
4 = (-4)•(-1) 0
siis syt(-15,4)=1
Sitten lähdetään samaa reittiä takaisin päin
-15 - 4•(-4) = 1
-15• 1 4 • 4 = 1 ||kerrotaan molemmat puolet 3:lla
-15 • 3 4 • 12 = 3
Vertaamalla alkuperäiseen yhtälöön huomataan, että yksi ratkaisu on
x = 3, y = 12
Kaikki ratkaisut:
x = 3 n • (-15)/1 = 3 -15n
y = 12 - n • 4/1 = 12 - 4n, missä n on kokonaisluku.- Ohman
Lukioratkaisusi on virheellinen. Yhtälö oli 4x - 15 y = 3.
Kyllä tämän erikoisratkaisu ja yleinen ratkaisu ovat nuo minun viestissäni 19.5 klo 22:47 antaman
x = 12, y = 3 ja
x = 12 - 15 t, 3 - 4 t.
Huomaat kai itsekin etteivät antamasi ratkaisut tpteuta yhtälöä.
Kun rupeaa antamaan neuvoja pitäiusi vähän tarkastaa ovatko ne oikeita!
Ohman - Ohman
Ohman kirjoitti:
Lukioratkaisusi on virheellinen. Yhtälö oli 4x - 15 y = 3.
Kyllä tämän erikoisratkaisu ja yleinen ratkaisu ovat nuo minun viestissäni 19.5 klo 22:47 antaman
x = 12, y = 3 ja
x = 12 - 15 t, 3 - 4 t.
Huomaat kai itsekin etteivät antamasi ratkaisut tpteuta yhtälöä.
Kun rupeaa antamaan neuvoja pitäiusi vähän tarkastaa ovatko ne oikeita!
OhmanTulipa nyt taas kirjoitusvirheitä:
p.o. : antamani, x = 12 - 15 t, y = 3 - 4 t, toteuta, pitäisi.
Olisi ollut helppo tarkastaa toteuttavatko ratkaisusi yhtälön.
Ohman - Tarkkail1ja
Eihän tuossa muuta virhettä ollut, kun x ja y kopioitu väärin. Ratkaisutapana muuten selkeä.
- Ohman
Tarkkail1ja kirjoitti:
Eihän tuossa muuta virhettä ollut, kun x ja y kopioitu väärin. Ratkaisutapana muuten selkeä.
Katsopas tuota yleistä ratkaisua. Akselsson antaa
x = 3 - 15 n ja y = 12 - 4n.
Oikeat ovat
x = 12 - 15 n ja y = 3 - 4 n.
Tarkkailehan tarkemmin!
Ohman
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Työsuhdepyörän veroetu poistuu
Hallituksen veropoliittisen Riihen uutisia: Mitä ilmeisimmin 1.1.2026 alkaen työsuhdepyörän kuukausiveloitus maksetaan864540Ruumis kanavassa
Mikä juttu eilen ollut poliisit palokunta ambulanssi ja ruumis auto sillalla. Tekikö itsemurhan333299- 1712661
- 142228
Onko tässä paljon lääkettä..
Keski-ikäselle 43v Ketipinor 100mg Brintellix 10mg Venlafaxin 75mg Xanor 1mg Propral 40mg Xatral CR 10mg Esomepratsol 42281512Ei mitään menetettävää
Arvostin ja kunnioitin sun tunteita. Menit nyt liian pitkälle. Mulla ei ole enää mitään menetettävää ja sä tulet sen huo1631386Oi! Jorma Uotinen ja Helena Lindgren paljastivat yllätysuutisen: "Rakkaudella"
Professori, tanssija, koreografi, Tanssii Tähtien Kanssa -tuomari Jorma Uotinen ja Suomen meikkitaiteen pioneeri, laulaj131170- 741019
Pakko tulla tänne
jälleen kertomaan kuinka mahtava ja ihmeellinen sekä parhaalla tavalla hämmentävä nainen olet. En ikinä tule kyllästymää38970Riittäisi juoruakkoille puhumista tässä kylässä
On mennyt mahottomaksi touhut. Taksi renki kuskaa akkaansa töihin lienekkö mitään lupaa yrittäjältä tähän touhuun. Kylän13892