Umpinainen säiliö koostuu suoran ympyrälieriön vaipasta ja kahdesta puolipallosta. Lieriön pohjaympyrän ja puolipallojen säde on 1. Lieriön korkeus on 2. Säiliön sisään laitetaan suorakulmaisen särmiön muotoinen esine, jonka pohja on neliön muotoinen. Laske särmiön suurin mahdollinen tilavuus.
Mistä pitäisi aloittaa? Olen kokeillut vaikka mitä eri kaavoja/funktioita, mutta ei. Oikea vastaus tarkalleen 128/47. Puolipallon säde on hypotenuusa kolmiossa, jonka kateetit ovat kuutin korkeus a ja kuution pohjan lävistäjän puolikas (a juuri 2)/2. Miten tuosta saisi taiteltua lausekkeen, jossa olisi vain tuo a. Särmiön korkeushan olisi 2 2a. Särmiön särmän pituus olisi r*juuri 2/3. Tuosta olen laskenut pythagoraan lausella ärrää, mutta ei tahdo millää tulla oikeaa vastausta.
Mistä pitäisi aloittaa? Olen kokeillut vaikka mitä eri kaavoja/funktioita, mutta ei. Oikea vastaus tarkalleen 128/47. Puolipallon säde on hypotenuusa kolmiossa, jonka kateetit ovat kuutin korkeus a ja kuution pohjan lävistäjän puolikas (a juuri 2)/2. Miten tuosta saisi taiteltua lausekkeen, jossa olisi vain tuo a. Särmiön korkeushan olisi 2 2a. Särmiön särmän pituus olisi r*juuri 2/3. Tuosta olen laskenut pythagoraan lausella ärrää, mutta ei tahdo millää tulla oikeaa vastausta.
Vastaukset 17
Vanhimmat
Onkohan tuo vastaus oikea ? Peraatteessahan tässä varmaan kannattaa käsitellä ensin särmiötä pallossa, jolloin särmiön avaruuslävistäjä on pallon halkaisija.
Jos siellä pelkässä pallossa olevan särmiön korkeus on y ja pohjaneliön sivu x, niin avaruuslävistäjä on: sqrt(2x^2 y^2) ja tämän on oltava pallon halkaisija =2
Sitten se kysytty tilavuus V(x,y) = yx^2 x^2*2, tämä jälkimmäinen on lieriössä olevan tilavuus ja ensimmäinen on pallossa oleva tilavuus.
Tuolta ekasta ehdosta ratkaistaan x^2 ja sijoitetaan tähän V lausekkeeseen, derivoidaan ja katsotaan mikä tulee tilavuudeksi derivaatan nollakohdassa. Sitten verrataan sitä suurimpaan mahdolliseen pelkässä lieriöputkessa olevaan särmiön tilavuuteen.
Minä tosta sain V= 128/27 ,noin 4,74 kun pelkässä lieriösssä oleva olisi 4. Lieriöputken tilavuus han on 2pi, noin 6,2.
Tuo annettu vastaus 128/47, noin 2,72 ei oikein täsmää näihin minn laskuihini. minulla on varmaan joku ajatusvirhe, mitä en nyt tietenkään näe....
Minäpäs laitan tän paperi tänne, joku varmaan siitä sen virheen löytää: http://aijaa.com/areQ6j
Tuo 128/47 = 2,7 ei voi olla oikein, sillä jos neliöpohjaisen särmiön pohjan lävistäjä = lieriön halkaisija, saadaan tilavuudeksi 4. Jos pohjaneliön sivu on x, on tilavuus:
V = 2*x^2*(1-sqrt(1-x^2/2))
Tuon kun derivoi, ratkaise x ja sijoittaa, tulee tilavuudeksi 128/27, eli sama kuin aeijalla. Kyseessä on siis kirjoitusvirhe.
En ryhdy laskemaan tätä nyt, mutta lähtisin liikkeelle seuraavasti:
Ajatellaan särmiö pystyasentoon ja asetetaan origo ylemmän puolipallon keskipisteeseen. Tällöin särmiön yksi ylänurkkapiste (x,y,z) toteuttaa ehdon x^2 y^2 z^2=1, jossa lisäksi symmetrian perusteella x=y=z. Tästä on helppo laskea särmiön sivujen pituudet ja muodostaa tilavuuden yhtälö yhden muuttujan funktiona, kunhan muistaa korkeuteen lisätä se 2.
Sori tuli ajatusvirhe yllä, " jossa lisäksi symmetrian perusteella x=y=z. " p.o " jossa lisäksi symmetrian perusteella x=y" , korkeuskoordinaatti voi olla muuta.
128/27 siis oikea, näppihäiriö. Ja sain oikean tuloksen nyt myös Noinonin vastauksen kaavalla. Jo ennen vastauksen lukemista, kun tajusin idean. o/.
Itse asiassa särmiön tilavuus on V(x) = 2 x^2 2 x^2 sqrt(1 - x^2 / 2) = 2 x^2 (1 sqrt(1 - x^2/2))
missä x on särmiön pohjaneliön sivu (Noinonilla merkkivirhe).
Kun asetetaan V'(x) = 0 saadaan x = 4/3. Tämä antaa maksimitilavuuden V(4/3) = 128/27 ja on myös 128/27 > 4.
Ohman
Tuo tilavuuden lauseke x-muuttujana tulee tusosta minunkin paperistani, jos ratkaiseekin siinä alussa y:n , eikä x^2.
Jatketaan nyt siitä sitten eeenpäin, mutta tehdäänkin yllättävästi vähän toisella tavalla kuin pitäisi, eli: V(x) = 2 x^2 2 x^2 sqrt(1 - x^2 / 2) = 2 x^2 (1 sqrt(1 - x^2/2)) , ja tosta jatkuu:
http://aijaa.com/vPTGoO
Onko se selvää, että tilavuuden maksivoivan särmiön keskiakseli on oltava sama kuin säiliön lieriöllä? Voisiko särmiö olla siellä sisällä jotenkin kallellaan?
Eihän tämä sovi siellä muuta kun pyöriin sen keskiakselin ympäri , kun nyt kaikki kahdeksan kulmaa hierasee pallopintaan kiinni. Joku tilavuudeltaan pienempi mahtuisi, muttei isompi.
Tarkemmin kun aattelee, niin onhan sillä jonkin verran liukumavaraa, niin kauan kun ne kulmat on pallopinnalla, mutta ei sinne kyllä yhtään isompi sovi.
Eli siis voi olla
Jos lieriön akseli on sen neliömäisten sivujen keskipisteiden kautta kulkeva suora, tuossa on laskettu tapaus, jossa tuo akseli yhtyy lieriön akseliin. Käsittääkseni paikallinen maksimi saadaan myös tapaukselle, jossa särmiön akseli on kohtisuorassa lieriön akselin suhteen. Mutta muille tapauksille käsittääkseni ei, eli särmiö pääsee kääntymään niin, että sen tilavuus voi kasvaa.
Niin se on, tuon kokoisena se ei kääntyile eikä liuu yhtään mihinkään.
"Lieriön akseli on sen neliömäisten sivujen keskipisteiden kautta kulkeva suora".Akselin neliömäiset sivut? Vai lieriön neliömäiset sivut?Neliömäiset sivut? Ehkäpä Noinkohan tarkoitti että särmiön akseli on särmiön neliömäisen pohjan keskipisteen kautta kulkeva suora.
Särmiöllä on kolme akselia. Eikös kaksi niistä ole aina kohtisuorassa lieriön akselia vastaan ja yksi yhtyy lieriön akseliin?
Tehtävässä oli annettu, että särmiön pohja on neliö. Voisiko joku muu pohja antaa suuremman tilvuuden särmiön ollessa kuitenkin suorakulmainen?
Kun särmiöllä on tietty korkeus niin suurimman tilavuuden antaa se särmiö jonka pohja on suurin. Kun r-säteiseen ympyrään piirretään suorakaide jonka sivut ovat x ja y niin suurin pinta-ala löytyy tutkimalla funktiota xy ehdolla x^2/4 y^2/4 = r^2 eli x^2 y^2 = (2r)^2
f(x,y) = xy - k(x^2 y^2 - (2r)^2)
df/dx = y - 2 k x = 0 ja y = 2kx. df/dy = x - 2k y = 0 ja x = 2ky = 4 k^2 x ja k = 1/2 (x = 0 ei tule kyseeseen). Siis y = x ja kyseessä on maksimi ja 2 x^2 = 4 r^2 eli x = r sqrt(2).Samankorkuisista särmiöistä neliöpohjainen on siis suurin ja näistä suurin on tuo aiemmin laskettu jonka tilavuus oli 128/27.
Ohman
Tai kaipa Noinkohan tarkoitti ,että särmiön akseli on sen neliömäisten sivujen keskipisteiden kautta kulkeva suora.
Heko-heko!
Ohman
Heko-heko. Sekoilin sanoissani, tarkoitus oli tietysti puhua särmiön akselista, joka kulkee neliösivujen keskipisteiden kautta. Alkuperäisessä tehtävässä ei ole määritelty lieriön ja särmiön maintsemani akselin asentojen suhdetta. Siksi pitäisi tutkia myös muut mahdolliset tapaukset, vaikka on ilmeistä, että absoluuttinen maksimi saavutetaan, kun akselit yhtyvät. Jos tuo särmiön akseli on kohtisuorassa lieriön akseliin nähden, saadaan laskujeni mukaan tilavuudelle paikallinen maksimi suuruudeltaan 16*sqrt3/9 = 3,1, eli selvästi pienempi kuin laskettu absoluuttinen maksimi.