Gödelin epätäydellisyyslause - Mistä kyse?

En osaa selittää lyhyesti paremmin kuin wikipedia:

https://fi.wikipedia.org/wiki/Gödelin_epätäydellisyyslause

Kyse on lähinnä siitä että mikään matemaattinen järjestelmä ei ole itseriittoinen eikä siis ole selitettävissä itsellään vaan vaatii aina jotain sen ko. matemaattisen järjestelmän ulkopuolista.

"Olen kuullut, että on olemassa myös Gödelin täydellisyyslause. "

Tuo liittyy siihen ideaan että matemaattiset lauseet voitaisiin kääntää logiikan lauseiksi.

https://fi.wikipedia.org/wiki/Logiikka

"Täydellistä ja epätäydellistä, ristiriitaistako siis?"

Ei sitä noin voi tulkita.

"Tarkoitan tällä, että osoittaako lause ihmisellä olevan mentaalisia kykyjä, joita mekaanisella systeemillä ei voi periaatteessakaan olla."

Kyseessä on edelleen hyvin kiistanalainen asia. Vahvan tekoälyn kannattajat voivat uskoa että keinoäly kykenee kehittämään tietoisuuden ja päihittämään ihmisen kaikessa.

Tässä linkissä on mukana hauska video kahden tekoälyn keskinäisestä rupattelusta joka aika äkkiä muuttuu melko koomiseksi:

https://phys.org/news/2017-08-mind-killer-robots-good-scarily.html

Turha vielä pelätä tappajarobotteja kun ne ne "hyvätkin" robotit voivat alkaa käyttäytyä aika kaoottisesti. Ongelmana on että tekoäly ei ymmärrä merkityksiä vaan seuraa mekaanisesti sääntöjä.

”Osaako joku selittää mistä Gödelin epätäydellisyyslauseessa on kyse?”

Gödelin epätäydellisyyslauseita on kaksi. Ensimmäinen teoreema osoittaa, että sellaisissa aksiomaattisissa systeemeissä, joissa kyetään kuvaamaan kokonaislukujen aritmetiikka, esiintyy lauseita, jotka ovat tosia jos ja vain jos ne eivät ole systeemin aksioomista käsin todistettavissa. Eli sellaisiin aksiomaattisiin systeemeihin välttämättä sisältyy aksioomista käsin todistamattomissa olevia tosia lauseita (nk. ”Gödelin lauseita”), ja näitä lauseita on ääretön määrä.

Toinen teoreema osoittaa, että yo. kaltainen aksiomaattinen systeemi on ristiriidaton jos ja vain jos sen ristiriidattomuus ei ole systeemin aksioomista käsin todistettavissa. Eli jos sellainen systeemi voidaan systeemin omista aksioomista käsin todistaa ristiriidattomaksi, systeemi ei ole ristiriidaton vaan päinvastoin ristiriitainen.

Aksiomaattiseen systeemiin liittyviä Gödelin lauseita ja systeemin ristiriidattomuuskin voidaan kyllä todistaa laajemmasta systeemistä käsin, johon on lisätty uusia aksioomia, mutta tällä laajemmalla systeemillä on jälleen omat Gödelin lauseensa, jne ad infinitum. Jokainen formaali systeemi on tässä mielessä 'epätäydellinen'.

”Olen kuullut, että on olemassa myös Gödelin täydellisyyslause. Täydellistä ja epätäydellistä, ristiriitaistako siis?”

Käsitteellä 'täydellisyys' on täydellisyyslauseessa ja epätäydellisyyslauseissa eri merkitykset, joten kyseessä ei ole ristiriita. Täydellisyyslauseen 'täydellisyys' tarkoittaa sitä, että tietynlaisen, melko suppean formaalin systeemin kaikki tautologiat ovat todistuvia. Tässä mielessä 'täydellisiä' systeemejä on olemassa. Gödel todisti täydellisyystuloksen tietyille systeemeille ennen epätäydellisyysteoreemojen todistusta.

”Lopuksi kysyn, että onko lause vain logiikan tulos, vai onko sillä todella syvällisempää merkitystä ihmiskuvan kannalta. Tarkoitan tällä, että osoittaako lause ihmisellä olevan mentaalisia kykyjä, joita mekaanisella systeemillä ei voi periaatteessakaan olla.”

Kyllä sillä sikäli on syvempää merkitystä, että ihminen voi loogisella intuitiollaan nähdä jotkin lauseet tosiksi vaikkei ole niitä todistanutkaan minkään aksioomajoukon pohjalta. Tähän ei mikään tajuton mekaaninen laskennallinen kone pysty, vaan totuuksien mekaaninen johtamisohjelma on tuloksissaan aina sisältämiensä aksioomien rajaama.

Lisäksi, mitä mentaalisuuteen tulee, niin kaikki aksiomaattisten systeemien sisältämät aksioomat ovat tulosta vain ihmisen loogisesta intuitiosta; ihmisen looginen intuitio on aksioomiin kirjattu. Jos koneelle ei olisi ihmisen loogisen intuition pohjalta annettu ainoatakaan aksioomaa tai sääntöä, jota kone voisi käyttää todistamaan tai tarkistamaan, onko jokin lause tosi, se ei voisi todistaa ainoatakaan totuutta. Itse asiassa kone ei tiedä mitään, ja ilman ihmisen kekseliäisyyteen ja loogiseen intuitioon pohjautuvaa ratkaisualgoritmia (ohjelmaa) se ei myöskään tee mitään. Ohjelmiin on koodattu ihmisen loogista tietämystä, ja kone raksuttaa annettua algoritmia täsmälleen sillä tavoin kuin ohjelmoija on sen pannut toimimaan. Ilman sitä kone ei pysty tarkistamaan edes sitä, onko lause ”tuulee tai ei tuule” tosi. Eipä sikäli, että nuo symbolit ja käsitteet mentaalisuuden ja ymmärryksen puuttuessa koneelle mitään edes merkitsisivät, mutta ihmiselle merkitsevät. Ihmisellä on intuitiota, näkemystä ja ”mielipiteitäkin”, koneelta ne puuttuvat täysin. Edes koneessa, jossa ajetaan huiman edistynyttä ratkaisualgoritmia, ei esiinny minkäänlaista käsitystä aihealueesta, johon ohjelma liittyy, eli koneessa ja ohjelman ajosuorituksessa ei ole minkäänlaista loogisen intuition sisäistä tuntua.

Kuitenkaan Gödelin epätäydellisyyslauseet, jotka osoittavat, että systeemin kaikki totuudet eivät ole laskennallisia, eivät liity varsinaisesti koneiden ”mentaalisen elämän” olemassaoloon millään lailla, vaan vain siihen, voidaanko kaikki aksiomaattisessa systeemissä formalisoitavissa olevat totuudet ratkaista mekaanisesti (esim. ohjelmalla). Gödel osoittaa, että ei voida. Tietoisen subjektin loogista näkemystä (loogista intuitiota) tullaan systeemin todistamiskyvyn tuolla puolen olevissa tehtävissä aina tarvitsemaan.

Lyhyesti sanottuna: Gödel tarkoitti, ja todisti, ettei ole mahdollista todistaa, ettei aksiomaattisesti muotoiltu teoria ole sisäisesti ristiriidaton.
(Ja hirtt... älkää hirttäkö jos nyt en muistanut oikein)
Aksiomaattisesti muotoiltuja teorioita ovat periaatteessa kaikki loogisesti muotoillut
teoriat: jopa matematisoitu logiikka itsessään, mikä panee pääni kiemuralle koska Gödel
käyttää logiikkaa ja se taas saattaa siis olla sisäisesti ristiriitainen!

Ööh, en ole asiantuntija tässä asiassa ja koko kirjoitus saattaa olla ristiriitainen
mutta jotenkin näin muistelen Gödelin teoreeman olevan.

Joka tapauksessa 1900-luvun top-5:n kuuluva matemaatikko (täysin ristiriidattomasti)

Ihmiselämässä vastaava asia on se, että välillä täytyy vaan elää ja välillä pysähtyä miettimään omaa elämäänsä. Jos vaan koko ajan toimiessaan analysoi omaa elämäänsä, ei varsinaisesta elämisestä tule mitään.

Jokainen looginen systeemi vaatii systeemin tarkastelun. Metalogiikan itselleen. Samoin ankkuroinnin todellisuuteen, mitkä asiat lauseiksi ja numeroiksi milläkin tavoin laitetaan. Sitten voidaan johtaa ja laskea asioita puhtaan loogisesti, mutta itse aparaatti ei voi ratkaista onko asiat oikein laitettu numeroiksi ja käsitteiksi. Se tutkitaan systeemin ulkopuolelta, tieteellisellä ymmärryksellä ja tajulla.

Tämä menee hieman logiikan ulkopuolelle, sen soveltamiseen, mutta jotenkin sama asia siinä soveltamisessa.

Luin jostain lehdestä vuosia sitten, kenties Hesari, Valitut Palat tms, joskus pariin esimerkkilausekkeeseen puristettuna todisteen Gödelin löytämästä epäjatkumosta.

Nyt en löydä tuollaista esimerkkiä mistään, en englanniksi enkä suomeksi. Noin 99,5%:ssa kaikista Gödel-kirjoitelmista hypätään suoraan syvään päähän allasta, eli matemaattinen symboliikka on siellä jo aivan omaansa.

Etsin sitä yksinekertaistettua, pariin keskeenään ristiriitaiseen loogiseen lausekkeeseen puristettua Gödel-esimerkkiä.

Yksinkertaistettuna: on kyse siitä, että et voi nostaa itseäsi tukasta ilmaan loogisesti.

Ihminen on niin ihminen, eikä muuksi muutu. Kun ihmiselle kehittyy älykkyys, sekä käsitteellinen todellisuuskäsitys, alkaa muodostumaan kysymyksiä ja niihin vastauksia. Kun vastaukset ajan mittaan menettävät uskottavuutensa, löytyy aina uusia vastauksia, ja uusia, ja uusia. Lopulta ollaan tilanteessa, jossa ihminen käy itsensä kanssa väittelyä, mikä hänen luomassaan todellisuuskuvassa on oikein ja mikä väärin. Matematiikka ei ole muuta kuin yksi kieli muiden joukossa, jossa yhtälöt ja niiden tulokset ovat "sanoja" ja "lauseita", joilla on merkitys. Joskus se merkitys tuntuu jossain tapauksessa ns. loogiselta ja joskus epäloogiselta. Vuonna 20021, jos ihmiskunta on vielä elossa ja voi hyvin, on todennäköisesti sama tilanne kuin nyt, mutta uusilla teorioilla, hypoteeseilla ja yhtälöillä, muinaishistoriallisia vastaavia naureskellen ja ihmetellen. Eikä totuutta siltikään ole vielä löytynyt.