a)
Ihmisjoukko (n kpl) valitsee itsestään satunnaisen suuruisen osan ja tämä osa menee satunnaiseen järjestykseen. Tämä tapahtuu siten, että kaikki mahdollisuudet (kaikkien osien kaikki järjestykset) ovat yhtä todennäköisiä. Mikä on todennäköisyys, että valitussa joukossa on kaikki n ihmistä?
b)
Ihmisjoukko (n kpl) menee johonkin satunnaiseen järjestykseen. Kaikki järjestykset ovat yhtä todennäköisiä. Mikä on todennäköisyys, että yksikään ihminen ei ole samalla paikalla kuin hän olisi, jos ihmisjoukko olisi mennyt pituusjärjestykseen?
Ihmisjoukko (n kpl) valitsee itsestään satunnaisen suuruisen osan ja tämä osa menee satunnaiseen järjestykseen. Tämä tapahtuu siten, että kaikki mahdollisuudet (kaikkien osien kaikki järjestykset) ovat yhtä todennäköisiä. Mikä on todennäköisyys, että valitussa joukossa on kaikki n ihmistä?
b)
Ihmisjoukko (n kpl) menee johonkin satunnaiseen järjestykseen. Kaikki järjestykset ovat yhtä todennäköisiä. Mikä on todennäköisyys, että yksikään ihminen ei ole samalla paikalla kuin hän olisi, jos ihmisjoukko olisi mennyt pituusjärjestykseen?
Vastaukset 3
Vanhimmat
b) n!\sum_{k=0}^n (-1)^k/k!.
C(n,k) = n! /(k! (n-k)!). Myös tyhjä joukko hyväksytään eli se että eivät valitse ketään.
n:n elementin joukossa on C(n,k) osajoukkoa joissa on täsmälleen k elementtiä. Mutta nämä alkiot voivat tässä laskuesimerkissä olla vielä k! eri järjestyksessä, joten kaikkiaan mahdollisuuksia on
N = Summa( 0<= k <= n ) ( k!* C(n,k)) = Summa (0 <= k <= n) (n! / (n-k)!)
a ) (n!/(n-n)!) /N = n! / N
Ohman
Oikeat vastaukset tuli :D. Tai kysyttiin todennäköisyyttä joten tuo bnsainlaskettua:n vastaus pitää vielä jakaa n!:lla, jolloin saadaan
sum_{k=0}^n (-1)^k/k!.
Ohmanin vastausta a-kohtaan voi vielä sieventää:
n! / ( sum_{k=0}^n n! / (n-k)! )
= 1 / sum_{k=0}^n 1/(n-k)!
= 1 / sum_{k=0}^n 1/k!
Mitä lukua nämä molemmat todennäköisyydet lähenevät, kun n kasvaa rajatta?
Onko tämä jotenkin nähtävissä tehtävistä, että todennököisyydet lähenevät toisiaan suurilla n?