Halutaan laskea käyrän f(x)=x^3-2x pituus vaikka välillä 1...2.
Siihen on kaava int (1 [f'(x)]^2)^0.5
f'(x)=3x^2-2
[f'(x)]^2=(3x^2-2)(3x^2-2)=9x^4-12x^2 4
eli pitäisi integroida (9x^4-12x^2 5)^0.5
Miten tuolle saadaan integraalifunktio?
Siihen on kaava int (1 [f'(x)]^2)^0.5
f'(x)=3x^2-2
[f'(x)]^2=(3x^2-2)(3x^2-2)=9x^4-12x^2 4
eli pitäisi integroida (9x^4-12x^2 5)^0.5
Miten tuolle saadaan integraalifunktio?
Vastaukset 12
Vanhimmat
kyseessä on yhdistetty funktio ja opetusvideo löytyy youtubesta
https://www.youtube.com/watch?v=iwkv5gCRkeo
Noihin kaikkiin löytyy kaavat taulukkokirjoista ja derivoimalla voi aina tarkistaa.
Ei tuo yhdistetyn funktion menetelmä auta. Jos oletetaan, että integraali funktio on g(h(x)), pitäisi g olla muotoa (2/3)(h(x))^3/2. Tuon kun derivoi ja merkkaa alkuperäisen funktion kanssa yhtäpitävksi, tullaan diffisyhtälöön, jossa olisi integroitava alkuperäinen lauseke.
No kertokaapa sitten vastaus.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate sqrt(9x^4-12x^2 5)
Meinaan tuossa on WAn ratkaisu.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate sqrt(9x^4-12x^2 5)
Mahtaakohan linkitys onnistua nyt.
Mutta tässä funktiossa mulla tulee ongelmaksi se, kun lisään eteen sisäfunktion derivaattaa, pitäisi integroimismerkin toiselle puolelle lisätä saman käänteisluku, mutta vain vakion saa eristää? Tuossa opetusvideossa oli vain esimerkkejä siitä, kun sisäfunktion derivaatassa ei ole muuttujaa.
Katsoin tuon WA:n ratkaisun. Siinä oli joku i. Tarkoittaako se kompleksilukua? Tarvitseeko lukiolaisen osata integroida tämmöistä funktiota?
Geogebran mukaan tämän funktion integraalifunktiota ei ole määritetty...
Eli ei reaalimuotoista ratkaisua.
Numeerisesti sekä Wolfram Alpha että Integral Calculator kyllä laskevat. Ja W-A antaa integraalifunktionkin joka tosin on melkomoinen!
Ettei tulisi elliptisiä integraaleja?
sqrt(5) - (6 x^2)/sqrt(5) (9 x^4)/(10 sqrt(5)) (27 x^6)/(25 sqrt(5)) (243 x^8)/(200 sqrt(5)) (3159 x^10)/(2500 sqrt(5)) (59049 x^12)/(50000 sqrt(5)) (115911 x^14)/(125000 sqrt(5)) (4796091 x^16)/(10000000 sqrt(5)) O(x^18)
(Taylor series)