Olkoon yhden koivunlehden pinta-ala 10 cm^2. Näitä varisee aarin alalle satunnaisiin paikkoihin niin, että maapinta-alasta 80 % on koivunlehtien peitossa. Mikä on näiden koivunlehtien yhteenlaskettu pinta-ala?
koivunlehtien pinta-ala
differentaalikko
25
612
Vastaukset
Ei voi laskea.Kysytty pinta-ala on tässä satunnaismuuttuja. Kun lehtiä varisee satunnaisesti niin niistä suuri osa voisi olla vaikka yhdessä kasassa ja loput peittäisivät sitten tuon alueen siten että peitto olisi yhteensä tuo 80 %.Kasassa voisi taas olla vaikka kuinka paljon lehtiä.
Jonkinlaisena satunnaismuuttujiin liittyvänä tehtävänä tätä ehkä voisi käsitellä, laskea tuon kysytyn pinta-alan odotusarvoa.Mikä olisi tuo lehtien "satunnainen" jakauma? Tasainen? Mutta todennäköisyystehtävänä et tätä kysynyt, sillä et kysynyt odotusarvoa . Enkä lähde tuota nyt laskeskelemaan.- Juutinraumaa
Lehtien peittämä ala on 80% kyseisestä maapinta-alasta ja lehtien yhteispinta-ala on ihan sama. Hassu kysymys.
- PythonillaHelppoa
Lehtien pinta-ala on n. 1,6159 aaria. (Tarkuudesta en vielä tiedä paljoakaan.)
Tein pienen python ohjelman. Skaalasin lehtien pinta-alaksi 1 cm2 ja neliömäisen (n*n) alueen kooksi 10 m2 = 3,162 mm x 3162 mm . Oletan lehtien olevan neliön muotoisia ja niiden putovan aina suorassa kulmassa alueen rajoihin nähden. Alue sijaitsee x,y-koordinaatistossa. Lehden sijainnin määrittelee sen vasen alanurkka. Aluksi nollataan peitetty alue (n*n matriisi tai oikeammin pitkä lista) 1 mm2 palasina. Ohjelma pudottee lehtiä satunnaisiin paikkoihin (x,y) arpomalla x:lle ja y:lle arvoja väliltä 0...n-10. (ranint(0,n-10)).
Ohjelma kasvattaa jokaisen pudotetun lehden peittämän sadan 1 mm2 alueen arvoja yhdellä.
Ohjelma pudottaa valitun määrän lehtiä, ja laskee sitten montako 1 mm2 palasta on vielä nollana eli peittämättömänä. Aika nopeasti päädyin lukuun 161590 mm2. Tuolla luvulla testamaalla aina sata kertaa peräkkäin, tulee peittämättömän alueen pinta-alaksi n. 2,00 m2.
Valitulla tarkkuudella ohjelma toimii todella nopeasti. Helppo tarkentaa toimimaan vaikka 100 mm x 100 mm lehdilä ja 1000 m2 aluella (1 mm2 tarkkuudella. Näkyy myös montako lehteä on maksimissaan päällekkäin.
Onko simulointitavassa jotain pahasti pielessä? Jos on, voisiko parantaa helposti?- PythonillaHelppoa
Kokeilin skaalata lehdet 25 cm2:ksi (50 mm x 50 mm) ja alueen kooksi vastavasti 2,5 aaria (15811 mm x 15811 mm).
Tarvittava lehtien määrä pysyttelee koko ajan lähes samana eli on nyt n. 161650. Testikertojen määrää on tietysti pakko pudottaa. Ja muistin tarve alkaa rajoittamaan samanaikaisten prosessien määrää.
Jos lehdet muuttaa suorakaiteen 25 mm x 100 mm kokoisiksi ja pudottaa ne joko vaaka- tai pystysuoraan, ei tulos muutu miksikään. Eikä muutu vaikka joka toisen pudottaa vaakasuoraan ja joka toisen pystysuoraan.
Kyse on varmasti ihan yleisestä peittämisongelmasta, ja siihen löytynee taulukoita ja kaavoja joka lähtöön. Pitää vain keksiä miltä tieteenalalta niitä hakee.
Vastaus kysymykseen on riittävällä varmuudella n. 1,62 aaria.
- NoinhanSeMenee
Jos yhden lehden pinta-ala on 1, on peitettävän alueen pinta-ala 10^5. Satunnaisesti pudotessaan perättäiset lehdet kumulatiivisesti peittävät seuraavat alat:
A1 = 1
A2 = A1 1*(1-A1/10^5)
A3 = A2 1*(1-A2/10^5)
Jne. Pitäisi määrätä lehtien lkm, joka antaa alaksi 80 000. Vähän monimutkaiseksi taitaa mennä tuo summaaminen.- NoinhanSeMenee
Wolfram alpha antaa tuolle palautuskaavalle ratkaisuksi funktion:
A(n) = 100000 - 99999*(99999/100000)^n
Kun n=160 942, saadaan ratkaisuksi 80 000, eli 80 % pinta-alasta. Eli lähellä PythonillaHelppoa saamaa ratkaisua. Lehtien kokonaispinta-ala on siis 160 % aarin alasta. NoinhanSeMenee kirjoitti:
Wolfram alpha antaa tuolle palautuskaavalle ratkaisuksi funktion:
A(n) = 100000 - 99999*(99999/100000)^n
Kun n=160 942, saadaan ratkaisuksi 80 000, eli 80 % pinta-alasta. Eli lähellä PythonillaHelppoa saamaa ratkaisua. Lehtien kokonaispinta-ala on siis 160 % aarin alasta.Et näköjään ymmärtänyt kommenttiani. Siinähän laskeskelet .
- NoinhanSeMenee
Fysikaalinen tilanne on luonnollisesti erilainen kuin matemaattinen idealisointi. Tässä ketjussa kaksi on ymmärtänyt tehtävän siten kuin aloittaja on sen nähtävästi tarkoittanut, ja saanut eri menetelmillä yhtäpitävän tuloksen. Jospa on niin, että sinä ohman et ymmärtänyt tehtävää.
- Ohman4
NoinhanSeMenee kirjoitti:
Fysikaalinen tilanne on luonnollisesti erilainen kuin matemaattinen idealisointi. Tässä ketjussa kaksi on ymmärtänyt tehtävän siten kuin aloittaja on sen nähtävästi tarkoittanut, ja saanut eri menetelmillä yhtäpitävän tuloksen. Jospa on niin, että sinä ohman et ymmärtänyt tehtävää.
Tiedä häntä.
Eiköhän tehtävien antajien pitäisi kirjoittaa tehtävänsä niin ettei tarvitse arvailla mitä tehtävässä oikein tarkoitetaan. Kun näin ei ole, jotkut ryhtyvät arvailemaan tehtävän tarkoitusta ja siitähän sitten saa vaikka minkälaisia tehtäviä kunkin arvaajan luulojen mukaan. Tämä kuvio toistuu turhan usein.
Jos lehdet kerran putoavat satunnaisesti niin eikö lopputulos ole satunnaismuuttuja? Jos lehdet sattuvat jakautumaan ihan tasaisesti, pieni määrä lehtiä riittää. Toisaalta voisi syntyä valtavia kekoja joiden välissä on sen verran lehtiä että alue peittyy. Nyt lehtiä olisi hyvin paljon ja niiden yhteenlaskettu pinta-ala hyvinkin suuri.
Lisäksi: ei matemaattisen tehtävän ratkaisun oikeellisuutta ratkaista huutoäänestyksellä.
Jospa moni onkin käsittänyt tehtävän väärin ja saa sitten "eri menetelmillä yhtäpitävän tuloksen". - PythonillaHelppoa
NoinhanSeMenee kirjoitti:
Wolfram alpha antaa tuolle palautuskaavalle ratkaisuksi funktion:
A(n) = 100000 - 99999*(99999/100000)^n
Kun n=160 942, saadaan ratkaisuksi 80 000, eli 80 % pinta-alasta. Eli lähellä PythonillaHelppoa saamaa ratkaisua. Lehtien kokonaispinta-ala on siis 160 % aarin alasta.Miten tuossa tulee reuna-alueet huomioitua? Vai toimisiko tuo kaava aina, vaikka alue olisi yhden tai kahden lehden levyinen pitkä suikale ja lehdet minkä muotosia vain? Alue on kuitenkin suhteelisen pieni. Tulisiko reuna-alueiden huomioimisesta pieni korjauskerroin?
Ihmetyttää, miten simuloinnin virhe lehtikoolla 50 mm x 50 mm ja 2,5 aarin alalla hiukan kasvoi, vaika tarkkuuden luulisi parantuneen? Neliön muotoisten suorassa kulmassa olevien lehtien luulisi peittävän alueen reunatkin optimaalisesti ja niitä tarvittaisiin siis yleistä tapausta vähemmän, ei enemmän. Ja kaikki on aina tarkasti samassa 1 mm:n rasterissa. - NoinhanSeMenee
Ohman4 kirjoitti:
Tiedä häntä.
Eiköhän tehtävien antajien pitäisi kirjoittaa tehtävänsä niin ettei tarvitse arvailla mitä tehtävässä oikein tarkoitetaan. Kun näin ei ole, jotkut ryhtyvät arvailemaan tehtävän tarkoitusta ja siitähän sitten saa vaikka minkälaisia tehtäviä kunkin arvaajan luulojen mukaan. Tämä kuvio toistuu turhan usein.
Jos lehdet kerran putoavat satunnaisesti niin eikö lopputulos ole satunnaismuuttuja? Jos lehdet sattuvat jakautumaan ihan tasaisesti, pieni määrä lehtiä riittää. Toisaalta voisi syntyä valtavia kekoja joiden välissä on sen verran lehtiä että alue peittyy. Nyt lehtiä olisi hyvin paljon ja niiden yhteenlaskettu pinta-ala hyvinkin suuri.
Lisäksi: ei matemaattisen tehtävän ratkaisun oikeellisuutta ratkaista huutoäänestyksellä.
Jospa moni onkin käsittänyt tehtävän väärin ja saa sitten "eri menetelmillä yhtäpitävän tuloksen".Lopputulos on luonnollisesti satunnaismuuttuja, mutta ymmärrät kai ohman, että jos kappalemäärä on luokkaa 160 000, silloin hajonta on suhteellisen pieni.
- ööötäh
Tehtävän kuvauksessa ilmeisesti oletetaan jotain, mitä ei kuitenkaan kerrota. Jos on oletettu, ettei lehdet mene ollenkaan päällekkäin, niin koivunlehtihöpinät on vain harhautusta, ja kysymys kuuluu oikeastaan, paljonko on 80% yhdestä aarista. Mutta ilman tuollaista oletusta lehtien putoilulla aarin alalle ei ole mitään merkitystä. Avoimeksi jää vain kysymys, montako niitä lehtiä on, jotta voitaisiin laskea tulos, putoilipa ne minne vaan tai olivatpa vaikka putoilematta.
- PythonillaHelppoa
Simuloimalla 50 % peitto saadaan n. 69350 lehdellä. Max 10 lehteä päällekkäin usean sadan kerran simuloinnissa.
90 % peitto vaatii n. 232050 lehteä. Muutaman sadan kerran simuloinnissa pahimmillaan 16 lehteä jollakin kohtaa päällekkäin. Voi olla tietysti paljon enemmänkin, mutta erittäin harvoin.
Jos simuloisi pyöreillä lehdillä ja eri muotoisilla alueilla, tulos muuttuisi varmasti hiukan. Rasteria pitäisi pienentää ja aikaa kuluisi paljon ja tulisi pyöristysongelmia.
Noita aarin alueita oletetaan luonnollisesti olevan miljoonia ja niille sataa lehtiä satojen vuosien aikana monta kertaa. Voidaan lähes aina olettaa kyseen olevan keskiarvoista, ellei selvästi kysytä jotain muuta. - lehtimies
Fundeerasin näin:
Peiton lisä dA lehteä kohti, kun x on lehtien lukumäärä
dA(x)/dx = a*(A0-A(x))/A0 # ala per lehti * peittotodennäköisyys pinta-alojen avulla
a on pintala per lehti
A(x) on peitetty pinta-ala, A0 alueen pinta-ala.
Diffyhtälön ratkaisuna saadaan
x = - (A0/a) ln(1-A/A0), josta annetuilla arvoilla
x = 160943,79 kpl eli lehtien pinta-ala 1.61 aaria.
Tulos edustaa lähinnä odotusarvoa.- lehtimies
Eli 50 % peitto vaatii 69315 lehteä ja 90 % peitto 230259 lehteä.
- PythonillaHelppoa
Miten kaavassa huomioidaan lehden olevan joku yhtenäinen pinta, eikä iso joukko erilaisia pintoja? Jos lehdet olisivat pyöreitä, ja alue suorakaide, miten alueen reunat huomioituu?
Ymmärrän hyvin, että kaava toimii tarkasti mielivaltaisen muotoisilla alueilla ja mielivaltaisen muotoisilla lehdillä, jos alue on todella iso ja lehdet pieniä. - lehtimies
PythonillaHelppoa kirjoitti:
Miten kaavassa huomioidaan lehden olevan joku yhtenäinen pinta, eikä iso joukko erilaisia pintoja? Jos lehdet olisivat pyöreitä, ja alue suorakaide, miten alueen reunat huomioituu?
Ymmärrän hyvin, että kaava toimii tarkasti mielivaltaisen muotoisilla alueilla ja mielivaltaisen muotoisilla lehdillä, jos alue on todella iso ja lehdet pieniä.Tuo lähtee vain siitä ajatuksesta, että puhtaalle tontille ensimmäinen lehti peittää täydellä pinnalla a. Siten kun peitto A kasvaa, niin lehden lisääminen peittää enää vähemmän, koska osa lehdestä osuu jo peitetyn alueen päälle. Kun A=A0, niin lehden lisääminen ei enää vaikuta ollenkaan.
- PythonillaHelppoa
Leikkasin jokaisen lehden kahtia ja sijoitin kummankin puoliskon erikseen satunnaiseen paikkaan. Tulokset alkoivat lähestyä täällä esitetyistä kaavoista saatuja arvoja.
Leikkaamalla lehdet viiteen osaan, ja sijoittamalla osat taas satunnaisiin paikkoihin, simulointi alkaa vastata kaavoja. Eli kaavat olettavat silppurin käyttöä.
Tehtävässä lehtien oletettiin varisevan kokonaisina, ei silputtuina. - PythonillaHelppoa
lehtimies kirjoitti:
Tuo lähtee vain siitä ajatuksesta, että puhtaalle tontille ensimmäinen lehti peittää täydellä pinnalla a. Siten kun peitto A kasvaa, niin lehden lisääminen peittää enää vähemmän, koska osa lehdestä osuu jo peitetyn alueen päälle. Kun A=A0, niin lehden lisääminen ei enää vaikuta ollenkaan.
Kaava antaa kuitenkin vääriä arvoja. Virhe kasvaa isommilla peittoprosenteilla. Arvot ovat kuitenkin riittävän hyviä puutarhahommiin.
Ihan hyvä opettavainen tehtävä.
- differentaalikko
Olen pahoillani tehtävän vaillinaisesta muotoilusta. Toki se pinta-ala on satunnaismuuttuja, mutta voidaan laskea odotusarvo lehtien määrälle. Nimim. lehtimies oivalsikin ratkaisemiseen tarvittavan differentiaaliyhtälön.
- PythonillaHelppoa
Kaava toimii vain, jos silppuaa jokaisen lehden vähintään 1 mm2 palasiksi ja sijoittaa jokaisen palan erikseen satunnaiseen paikkaan. Tätäkö tarkoitit?
Jaoin simuloinnissa kaikki 50 mm x 50 mm lehdet 2500 osaan (1 mm2) ja ravistelin ne 2,5 aarin alalla. Tulos vastaa jo viiden numeron tarkkudella kaavoista saatuja arvoja. Ne on kait tarkoitettu "ruiskumaalaukseen" tai johonkin muuhun, missä tiedetään mitä ollaan tekemässä.
- Kanootti3
Minä yritän vielä selventää tehtävää itselleni :-):
Meillä on jakauma f_{n} (x) peitetylle alalle, missä n on parametri kuinka monta lehteä on varissut ja x=peitetyn alan koko.
Onko asia, jota kysytään, suurimman uskottavuuden estimaatti parametrille n, kun on data x=80%?
Kun n=1, niin jakauma on pelkkä yksi Diracin delta piikki kohdassa a (yksi lehti peittää varmasti alan a). Jos on mahdollisuus, että lehdet ei mene ollenkaan päällekkäin (A_0>2a, tai minkä muotoisia ne nyt onkaan riippunee tosiaan myös siitä ja mihin kohdin ensimmäinen putoaakaan), niin niitä piikkejä taitaa jäädä sinne olemaan kaikilla n mutta lyhenevät kyllä nollaan.- PythonillaHelppoa
Ongelma selviää parhaiten aloittamalla ratkaisemaan sitä ihan käytännön ongelmana. 80 %:n peittoon tarvitaan vähintään 80000 lehteä. Tuon luvun suuruus kertoo jokaiselle tilastomatemaatikolle jotain. Jos ei kerro, helppo laskea todennäköisyys tuolle. Ja turha keskittyä tehtävän lyhennettyihin yksinkertaisiin sanamuotoihin tällä palstalla.
Tehtävään voi lisätä itselle: Millä lehtimääräällä saavutetaan 99 %:n varmuudella 80 %:n ( -1 %) peittoaste? Tehtävän lähöarvot eivät olleet kovin tarkkoja.
Jos ja kun lehtiä tarvitaan n. 160000 kpl, tilastolliset poikeamat ovat erittäin pieniä. Kun tuo selviää, niin tehtävän (99 %:n varmuudella 80 %:n ( -1 % peittoaste) prosenttilukuja pitää muutttaa johonkin suuntaan. Varmasti! Ne voi ja ehkä pitääkin kertoa täydellisessä vastauksessa. Eli turha lähteä kehitämään kaavoja ennen kuin jonkun yksittäisen tehtävän varsinainen yksinkertainen perusongelma on selvillä. Käy niinkuin siinä lampputehtävässä. Oppii "turhaan" kaikkea uutta ja ihmeellistä muita tehtäviä varten.
99 %:n peitto saavutetaan n. 484300 kokonaisella lehdellä. - PythonillaHelppoa
PythonillaHelppoa kirjoitti:
Ongelma selviää parhaiten aloittamalla ratkaisemaan sitä ihan käytännön ongelmana. 80 %:n peittoon tarvitaan vähintään 80000 lehteä. Tuon luvun suuruus kertoo jokaiselle tilastomatemaatikolle jotain. Jos ei kerro, helppo laskea todennäköisyys tuolle. Ja turha keskittyä tehtävän lyhennettyihin yksinkertaisiin sanamuotoihin tällä palstalla.
Tehtävään voi lisätä itselle: Millä lehtimääräällä saavutetaan 99 %:n varmuudella 80 %:n ( -1 %) peittoaste? Tehtävän lähöarvot eivät olleet kovin tarkkoja.
Jos ja kun lehtiä tarvitaan n. 160000 kpl, tilastolliset poikeamat ovat erittäin pieniä. Kun tuo selviää, niin tehtävän (99 %:n varmuudella 80 %:n ( -1 % peittoaste) prosenttilukuja pitää muutttaa johonkin suuntaan. Varmasti! Ne voi ja ehkä pitääkin kertoa täydellisessä vastauksessa. Eli turha lähteä kehitämään kaavoja ennen kuin jonkun yksittäisen tehtävän varsinainen yksinkertainen perusongelma on selvillä. Käy niinkuin siinä lampputehtävässä. Oppii "turhaan" kaikkea uutta ja ihmeellistä muita tehtäviä varten.
99 %:n peitto saavutetaan n. 484300 kokonaisella lehdellä.Simuloin standardikokoisella 25 mm x 40 mm (10 cm2) lehdellä ja aarin standarditestialuella (10000 mm x 10000 mm) 80000 lehden varisuttamista 600 eri kertaa. Rasteri 1 mm, x- ja y-akselilla molemmilla erikseen arvottava satunnaisluku 0...9975 ja 0...9960.
Joka ikinen kerta peitto 55,00 %, vaihtelu max -0,2 % ja lähes aina alle -0,1 %. Pällekkäisten lehtien max määrä oli useimmiten 8 tai 9, joskus 10 ja 5 kertaa 11 ja vain kerran 7. (Kaavasta 55,068 %, eli aika lähellä pienehköillä peittoarvoilla.)
En tiedä minkä tieteenalan tilastomatematiikan oppikirjoissa on taulukoita vastaavista satunnaisilmiöistä isoilla toistomäärillä.
Kannattaa pohdiskella, miksi samalla isolla lehtimäärällä tulee aina lähes sama tulos ja kuinka äärimmäisen harvinaisia ovat isot poikkemat keskiarvosta? Onko mitään mieltä kuluttaa aikaa käytännössä täysin mahdottomien tapausten miettimiseen? - lehtimies
PythonillaHelppoa kirjoitti:
Simuloin standardikokoisella 25 mm x 40 mm (10 cm2) lehdellä ja aarin standarditestialuella (10000 mm x 10000 mm) 80000 lehden varisuttamista 600 eri kertaa. Rasteri 1 mm, x- ja y-akselilla molemmilla erikseen arvottava satunnaisluku 0...9975 ja 0...9960.
Joka ikinen kerta peitto 55,00 %, vaihtelu max -0,2 % ja lähes aina alle -0,1 %. Pällekkäisten lehtien max määrä oli useimmiten 8 tai 9, joskus 10 ja 5 kertaa 11 ja vain kerran 7. (Kaavasta 55,068 %, eli aika lähellä pienehköillä peittoarvoilla.)
En tiedä minkä tieteenalan tilastomatematiikan oppikirjoissa on taulukoita vastaavista satunnaisilmiöistä isoilla toistomäärillä.
Kannattaa pohdiskella, miksi samalla isolla lehtimäärällä tulee aina lähes sama tulos ja kuinka äärimmäisen harvinaisia ovat isot poikkemat keskiarvosta? Onko mitään mieltä kuluttaa aikaa käytännössä täysin mahdottomien tapausten miettimiseen?Kaava ei huomioi sitä, että lehti putoaa "rajalle". Siinä oletetaan, että se putoaa kokonaan joko peitetylle tai peittämättömälle alueelle. Oletus pätee sitä paremmin mitä pienempiä lehdet ovat tai mitä pienempi peittoalue on. Suurilla lehdillä tai peittoalueilla virhe alkaa sitten näkyä. Simuloinnit vahvistavat ilmiön.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Theermannilla kulkee!
Vouti vie kaiken mikä mieheltä irti lähtee ja palstan naiset syyttävät tilanteesta kilpaa eri naisia. Miehellä on elämän1137400- 495541
Esivaihdevuodet, menopaussi
https://www.pihlajalinna.fi/palvelut/yksityisasiakkaat/terveys/esivaihdevuodet-eli-premenopaussi Täällä kun puhutaan pa603070Tänään taas tuli pari-kolme juttua
Jotka niin mielelläni jakaisin sun kanssa. Niin paljon elämää jaettavana ja niin selkeä paikka sinulle. Mutta ymmärrän72573Kuhmo tekisi perässä
Lomauttakaa kaupungin talolta turhat lattiankuluttajat pois, kuten naapuripitäjä101588Suomi julkaisi varautumisoppaan
Että sellanen tappaus. Kun kriisitilanne iskee, niin on mentävä nettiin ja luettava ohjeet suomi.fi -sivuilta. Onkohan j2001427Olen jälleen pahoillani
Harjoittamastani henkisestä väkivallasta palstan välityksellä. Kyllä ne voi vaikuttaa jotenkin mieleen, vaikka ei itsell931119Ukraina sai luvan vastata ohjuksin Venäjän lueelle
Mediatietojen mukaan Yhdysvallat on antanut Ukrainalle luvan iskeä pitkän kantaman ohjuksilla Venäjälle. Ylen kirjeenvai3251067Miksi putin ei valinnut ensimmäiseksi kohteekseen Suomea?
Olisiko ollut sittenkin helpompi kohde?2441037Oot vaan niin hellä
Ja lämmin luonteeltasi, että rakastan sitä yli kaiken. Oot ehkä tietämättäsi auttanut mua todella paljon. Auttaisit tämä30926