Olkoon yhden koivunlehden pinta-ala 10 cm^2. Näitä varisee aarin alalle satunnaisiin paikkoihin niin, että maapinta-alasta 80 % on koivunlehtien peitossa. Mikä on näiden koivunlehtien yhteenlaskettu pinta-ala?
koivunlehtien pinta-ala
differentaalikko
25785
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 25
Vanhimmat
Ei+voi+laskea.Kysytty+pinta-ala+on+tässä+satunnaismuuttuja.+Kun+lehtiä+varisee+satunnaisesti+niin+niistä+suuri+osa+voisi+olla+vaikka+yhdessä+kasassa+ja+loput+peittäisivät+sitten+tuon+alueen+siten+että++peitto++olisi+yhteensä+tuo+80+%.Kasassa+voisi+taas+olla+vaikka+kuinka+paljon+lehtiä.
Lehtien+peittämä+ala+on+80%+kyseisestä+maapinta-alasta+ja+lehtien+yhteispinta-ala+on+ihan+sama.+Hassu+kysymys.
Lehtien pinta-ala on n. 1,6159 aaria. (Tarkuudesta en vielä tiedä paljoakaan.)
Tein pienen python ohjelman. Skaalasin lehtien pinta-alaksi 1 cm2 ja neliömäisen (n*n) alueen kooksi 10 m2 = 3,162 mm x 3162 mm . Oletan lehtien olevan neliön muotoisia ja niiden putovan aina suorassa kulmassa alueen rajoihin nähden. Alue sijaitsee x,y-koordinaatistossa. Lehden sijainnin määrittelee sen vasen alanurkka. Aluksi nollataan peitetty alue (n*n matriisi tai oikeammin pitkä lista) 1 mm2 palasina. Ohjelma pudottee lehtiä satunnaisiin paikkoihin (x,y) arpomalla x:lle ja y:lle arvoja väliltä 0...n-10. (ranint(0,n-10)).
Ohjelma kasvattaa jokaisen pudotetun lehden peittämän sadan 1 mm2 alueen arvoja yhdellä.
Ohjelma pudottaa valitun määrän lehtiä, ja laskee sitten montako 1 mm2 palasta on vielä nollana eli peittämättömänä. Aika nopeasti päädyin lukuun 161590 mm2. Tuolla luvulla testamaalla aina sata kertaa peräkkäin, tulee peittämättömän alueen pinta-alaksi n. 2,00 m2.
Valitulla tarkkuudella ohjelma toimii todella nopeasti. Helppo tarkentaa toimimaan vaikka 100 mm x 100 mm lehdilä ja 1000 m2 aluella (1 mm2 tarkkuudella. Näkyy myös montako lehteä on maksimissaan päällekkäin.
Onko simulointitavassa jotain pahasti pielessä? Jos on, voisiko parantaa helposti?
Kokeilin skaalata lehdet 25 cm2:ksi (50 mm x 50 mm) ja alueen kooksi vastavasti 2,5 aaria (15811 mm x 15811 mm).
Tarvittava lehtien määrä pysyttelee koko ajan lähes samana eli on nyt n. 161650. Testikertojen määrää on tietysti pakko pudottaa. Ja muistin tarve alkaa rajoittamaan samanaikaisten prosessien määrää.
Jos lehdet muuttaa suorakaiteen 25 mm x 100 mm kokoisiksi ja pudottaa ne joko vaaka- tai pystysuoraan, ei tulos muutu miksikään. Eikä muutu vaikka joka toisen pudottaa vaakasuoraan ja joka toisen pystysuoraan.
Kyse on varmasti ihan yleisestä peittämisongelmasta, ja siihen löytynee taulukoita ja kaavoja joka lähtöön. Pitää vain keksiä miltä tieteenalalta niitä hakee.
Vastaus kysymykseen on riittävällä varmuudella n. 1,62 aaria.
Jos yhden lehden pinta-ala on 1, on peitettävän alueen pinta-ala 10^5. Satunnaisesti pudotessaan perättäiset lehdet kumulatiivisesti peittävät seuraavat alat:
A1 = 1
A2 = A1 1*(1-A1/10^5)
A3 = A2 1*(1-A2/10^5)
Jne. Pitäisi määrätä lehtien lkm, joka antaa alaksi 80 000. Vähän monimutkaiseksi taitaa mennä tuo summaaminen.
Wolfram+alpha+antaa+tuolle+palautuskaavalle+ratkaisuksi+funktion:
Et näköjään ymmärtänyt kommenttiani. Siinähän laskeskelet .
Fysikaalinen tilanne on luonnollisesti erilainen kuin matemaattinen idealisointi. Tässä ketjussa kaksi on ymmärtänyt tehtävän siten kuin aloittaja on sen nähtävästi tarkoittanut, ja saanut eri menetelmillä yhtäpitävän tuloksen. Jospa on niin, että sinä ohman et ymmärtänyt tehtävää.
Tiedä häntä.
Eiköhän tehtävien antajien pitäisi kirjoittaa tehtävänsä niin ettei tarvitse arvailla mitä tehtävässä oikein tarkoitetaan. Kun näin ei ole, jotkut ryhtyvät arvailemaan tehtävän tarkoitusta ja siitähän sitten saa vaikka minkälaisia tehtäviä kunkin arvaajan luulojen mukaan. Tämä kuvio toistuu turhan usein.
Jos lehdet kerran putoavat satunnaisesti niin eikö lopputulos ole satunnaismuuttuja? Jos lehdet sattuvat jakautumaan ihan tasaisesti, pieni määrä lehtiä riittää. Toisaalta voisi syntyä valtavia kekoja joiden välissä on sen verran lehtiä että alue peittyy. Nyt lehtiä olisi hyvin paljon ja niiden yhteenlaskettu pinta-ala hyvinkin suuri.
Lisäksi: ei matemaattisen tehtävän ratkaisun oikeellisuutta ratkaista huutoäänestyksellä.
Jospa moni onkin käsittänyt tehtävän väärin ja saa sitten "eri menetelmillä yhtäpitävän tuloksen".
Miten tuossa tulee reuna-alueet huomioitua? Vai toimisiko tuo kaava aina, vaikka alue olisi yhden tai kahden lehden levyinen pitkä suikale ja lehdet minkä muotosia vain? Alue on kuitenkin suhteelisen pieni. Tulisiko reuna-alueiden huomioimisesta pieni korjauskerroin?
Ihmetyttää, miten simuloinnin virhe lehtikoolla 50 mm x 50 mm ja 2,5 aarin alalla hiukan kasvoi, vaika tarkkuuden luulisi parantuneen? Neliön muotoisten suorassa kulmassa olevien lehtien luulisi peittävän alueen reunatkin optimaalisesti ja niitä tarvittaisiin siis yleistä tapausta vähemmän, ei enemmän. Ja kaikki on aina tarkasti samassa 1 mm:n rasterissa.
Lopputulos on luonnollisesti satunnaismuuttuja, mutta ymmärrät kai ohman, että jos kappalemäärä on luokkaa 160 000, silloin hajonta on suhteellisen pieni.
Tehtävän+kuvauksessa+ilmeisesti+oletetaan+jotain,+mitä+ei+kuitenkaan+kerrota.+Jos+on+oletettu,+ettei+lehdet+mene+ollenkaan+päällekkäin,+niin+koivunlehtihöpinät+on+vain+harhautusta,+ja+kysymys+kuuluu+oikeastaan,+paljonko+on+80%+yhdestä+aarista.+Mutta+ilman+tuollaista+oletusta+lehtien+putoilulla+aarin+alalle+ei+ole+mitään+merkitystä.+Avoimeksi+jää+vain+kysymys,+montako+niitä+lehtiä+on,+jotta+voitaisiin+laskea+tulos,+putoilipa+ne+minne+vaan+tai+olivatpa+vaikka+putoilematta.
Simuloimalla+50+%+peitto+saadaan+n.+69350+lehdellä.+Max+10+lehteä+päällekkäin+usean+sadan+kerran+simuloinnissa.
Fundeerasin näin:
Peiton lisä dA lehteä kohti, kun x on lehtien lukumäärä
dA(x)/dx = a*(A0-A(x))/A0 # ala per lehti * peittotodennäköisyys pinta-alojen avulla
a on pintala per lehti
A(x) on peitetty pinta-ala, A0 alueen pinta-ala.
Diffyhtälön ratkaisuna saadaan
x = - (A0/a) ln(1-A/A0), josta annetuilla arvoilla
x = 160943,79 kpl eli lehtien pinta-ala 1.61 aaria.
Tulos edustaa lähinnä odotusarvoa.
Eli+50+%+peitto+vaatii+69315+lehteä+ja+90+%+peitto+230259+lehteä.
Miten kaavassa huomioidaan lehden olevan joku yhtenäinen pinta, eikä iso joukko erilaisia pintoja? Jos lehdet olisivat pyöreitä, ja alue suorakaide, miten alueen reunat huomioituu?
Ymmärrän hyvin, että kaava toimii tarkasti mielivaltaisen muotoisilla alueilla ja mielivaltaisen muotoisilla lehdillä, jos alue on todella iso ja lehdet pieniä.
Tuo lähtee vain siitä ajatuksesta, että puhtaalle tontille ensimmäinen lehti peittää täydellä pinnalla a. Siten kun peitto A kasvaa, niin lehden lisääminen peittää enää vähemmän, koska osa lehdestä osuu jo peitetyn alueen päälle. Kun A=A0, niin lehden lisääminen ei enää vaikuta ollenkaan.
Leikkasin jokaisen lehden kahtia ja sijoitin kummankin puoliskon erikseen satunnaiseen paikkaan. Tulokset alkoivat lähestyä täällä esitetyistä kaavoista saatuja arvoja.
Leikkaamalla lehdet viiteen osaan, ja sijoittamalla osat taas satunnaisiin paikkoihin, simulointi alkaa vastata kaavoja. Eli kaavat olettavat silppurin käyttöä.
Tehtävässä lehtien oletettiin varisevan kokonaisina, ei silputtuina.
Kaava antaa kuitenkin vääriä arvoja. Virhe kasvaa isommilla peittoprosenteilla. Arvot ovat kuitenkin riittävän hyviä puutarhahommiin.
Ihan hyvä opettavainen tehtävä.
Olen pahoillani tehtävän vaillinaisesta muotoilusta. Toki se pinta-ala on satunnaismuuttuja, mutta voidaan laskea odotusarvo lehtien määrälle. Nimim. lehtimies oivalsikin ratkaisemiseen tarvittavan differentiaaliyhtälön.
Kaava toimii vain, jos silppuaa jokaisen lehden vähintään 1 mm2 palasiksi ja sijoittaa jokaisen palan erikseen satunnaiseen paikkaan. Tätäkö tarkoitit?
Jaoin simuloinnissa kaikki 50 mm x 50 mm lehdet 2500 osaan (1 mm2) ja ravistelin ne 2,5 aarin alalla. Tulos vastaa jo viiden numeron tarkkudella kaavoista saatuja arvoja. Ne on kait tarkoitettu "ruiskumaalaukseen" tai johonkin muuhun, missä tiedetään mitä ollaan tekemässä.
Minä+yritän+vielä+selventää+tehtävää+itselleni+:-):
Ongelma+selviää+parhaiten+aloittamalla+ratkaisemaan+sitä+ihan+käytännön+ongelmana.+80+%:n+peittoon+tarvitaan+vähintään+80000+lehteä.+Tuon+luvun+suuruus+kertoo+jokaiselle+tilastomatemaatikolle+jotain.+Jos+ei+kerro,+helppo+laskea+todennäköisyys+tuolle.+Ja+turha+keskittyä+tehtävän+lyhennettyihin+yksinkertaisiin+sanamuotoihin+tällä+palstalla.+
Simuloin+standardikokoisella+25+mm+x+40+mm+(10+cm2)+lehdellä+ja+aarin+standarditestialuella+(10000+mm+x+10000+mm)+80000+lehden+varisuttamista+600+eri+kertaa.+Rasteri+1+mm,+x-+ja+y-akselilla+molemmilla+erikseen+arvottava+satunnaisluku+0...9975+ja+0...9960.
Kaava ei huomioi sitä, että lehti putoaa "rajalle". Siinä oletetaan, että se putoaa kokonaan joko peitetylle tai peittämättömälle alueelle. Oletus pätee sitä paremmin mitä pienempiä lehdet ovat tai mitä pienempi peittoalue on. Suurilla lehdillä tai peittoalueilla virhe alkaa sitten näkyä. Simuloinnit vahvistavat ilmiön.