Tarvitsisin apua yhden laskun kanssa...
Säiliössä on 200kg suolavettä, jossa suolan osuus on 30 kg. Hetkellä t=0 säiliöön ryhdytään pumppaamaan suolatonta vettä virtauksen ollessa 5 kg/min. Samanaikaisesti säiliöstä poistuu sama määrä suolaliuosta. Sekoituslaitteella huolehditaan siitä, että säiliössä olevan liuoksen suolapitoisuus on joka hetki tasainen. Kuinka paljon suolaa on säiliössä jäljellä tunnin kuluttua?
Säiliössä on 200kg suolavettä, jossa suolan osuus on 30 kg. Hetkellä t=0 säiliöön ryhdytään pumppaamaan suolatonta vettä virtauksen ollessa 5 kg/min. Samanaikaisesti säiliöstä poistuu sama määrä suolaliuosta. Sekoituslaitteella huolehditaan siitä, että säiliössä olevan liuoksen suolapitoisuus on joka hetki tasainen. Kuinka paljon suolaa on säiliössä jäljellä tunnin kuluttua?
Vastaukset 11
Vanhimmat
ds/dt = -s/40 , tuo 40 on siis 200/5 kun ajan yksikkönä käytetään minuutteja.
Alkuehtona s(0) = 0,1 , tuo 0,1 on siis 20/200 kun painon yksikkönä käytetään kilogrammoja.
Laske s(60).
Suolan määrä hetkellä t olkoon s(t). s(0) = 30 (kg)
ds/dt = - 1/40 * s(t)
ds/s = - 1/40 dt. ln(s) = - 1/40 t joten s(t) = e^(- 1t/40) * C. s(0) = 30 joten C = 30 ja
s(t) = 30 * e^(-t/40).
Karkeasti voisi laskua tarkastaa näin: kun t = 1 niin on poistunut 5 kg ainetta jossa suolaa noin 30/200 * 5 kg = 3/4 kg. s(1) = 30 * e^( - 1/40) =29,2593 eli tuo approksimaatio 3/4 kg on lähellä totuutta..
s(60) = 30* e^(- 60/40) = 30ê^(- 3/2) = 6,6939 = noin 6,7 (kg)
Piti olla ln(s) = - 1/40 t vakio...
Minä ottaisin kyllä muuttujaksi x=suola/200, jolloin dx/dt=-5/200*x......kun t=0, niin x=30/200, silloin tämä lasku olisi jotenkin käsitettävissä, (ehkä tuo ensimmäinen vastaus juuri sitä tarkoittaakin)
Joo, nyt vasta käsitin: Lientä poistuu joka tunti ja tasaisesti 5/200 koska tilalle tulee uutta tavaraa sama määrä. Silloin myös suolasta poistuu joka tunti 5/200, koska Liemi = (vesi suola) ja 5/200*Liemi= 5/200*vesi 5/200*suola.
Suolan poistumisvirta on dm/dt=-5/200*m , ja kun t=0, niin m=30.
Tuon pitäisi pystyä laskemaan myös niin, että suolaa on jäljellä 60-tunnin jälkeen:
30*(195/200)^60. Tuosta tulee kuitenkin vain 6,57
Ero johtuu siitä, että tuo viimeisin laskusi on approksimaatio. Jatkuva väheneminen, joka lasketaan tuon eksponenttifunktion e^( - t/40) avulla on korvattu epäjatkuvalla "korkotekijällä". Samanlainen ero syntyy esim. talletusten korkoja laskettaessa, jatkuva korko, vuosikorko, kuukausikorko jne antavat hieman eri tuloksen.
Kiios tiedosta, mutta sitten vielä toinen ongelma. Onko mahdollista laskea säiliössä tunnin päästä olevan kirkkaan veden määrä suoraan vastaavalla differentiaaliyhtälöllä ? Senhän tietysti saa vähentämällä jäljellä olevan suolan määrän kahdestasadasta kilosta, mutta jotenkin muuten.
ms(t) = C(t) M(t) # suolan massa = pitoisuus C * seoksen massa M
ms(t)' = C(t)' M(t) C(t) M(t)' = C(t)*G # ms muutosnopeus = - C * massavirta ulos
M'=0 # säiliön massa pidetään vakiona M0
C' M0 = -CG
dC/C = - (G/M0) dt
Integroimalla saadaan
ln(C) - ln(C0)= - (G/M0) t
josta edelleen
C(t)=C0*e^-t (G/M0)
C(t)=(30/200)*e^-t (5/200) # t on aika minuutteina
C(60) = 0,033469524
ms(50)= C(60)*M = C(60)*200 = 6,6939
Jos halutaan laskea veden määrällä, niin:
mv(t) = V(t) M(t) # veden massa = veden pitoisuus V * seoksen massa M
mv(t)' = V(t)' M(t) V(t) M(t)' = G - V(t) G # veden sisäänvirtaus - ulosvirtaus
M'=0 # säiliön massa pidetään vakiona M0
V' M0 = (1-V(t)) G
dV/(1-V(t)) = - (G/M0) dt
Ratkaisu on
V(t) = 1 -(1-V0) e^-t(G/M0)
V0 = 1-C0
V(t) = 1 -C0 e^-t(G/M0) = 1-C(t)
Täytyy paremmalla ajalla selvittää tuo salakirjoitus, alkaa päätä särkeä. Äkkiä katsoen olin siis jonkun verran jyvällä asiasta sillä (suola/200) muuttujallani, ilmeisesti tämä lisäkysymykseni ei muulla tavalla mene...
Vetelle: dm/dt=5-(5m/200), t=0 m=170