Hei.
Miten perustelette, että käyrien y=ln(x) ja y=e^x kuvaajat eivät leikkaa? Mulla oli tää joskus koekysymyksenä, ja kokeessa ei ollut käytössä mitään graafisia laskimia/muita, että olisin kuvasta voinut katsoa.
Oon yrittänyt esim. tutkia funktiota f(x)= ln(x)-e^x derivaatalla ja muuta, mutta en osaa ratkaista tuommosia yhtälöitä.
Tietty kokeilemalla löytyy esim. f'(0,5675)=0,0017373..., eli jos arvioin että se olisi derivaatan nollakohta, f(0,5675)=2,3303...>0 ja tutkimalla derivaatan merkkiä päättelen, että se on likimain pienin arvo ja siks ei olisi nollakohtia eli ratkaisuja yhtälölle.
Se ei kuitenkaan varmaan ole kovin hyvä perustelu, koska en voi tietää, pomppaako jossain kohdassa funktion kuvaaja nopeasti x-akselin alapuolella.
Miten siis perustelisitte?
eksponentti- ja logaritmifunktio
8
194
Vastaukset
- Anonyymi
Ensiksi ln x on määritelty vain kun x>0. Lisäksi jos 0<x<1, on ln x<0 ja e^x>0. Siten mahdolliset leikkaiskohdat saadaan puolitasossa x>=1. Mutta ln x kasvaa nopeudella 1/x<1 ja e^x nopeudella e^x>1 kun x>1. Ainoa leikkauspiste voisi olla siis x=1. Mutta ln 1=0 ja e^1>0, joten leikkauspisteitä ei ole.
- Anonyymi
Eiköhän tuossa riitä, että perustelee, miksi e^x > x ja ln x < x.
Funktio e^x on määritelty,jatkuva ja derivoituva kaikilla arvoilla - inf < x < inf.
Samoin funktio e^x - x. Kun x < 0 on e^x > 0 ja - x > 0 joten e^x - x >0 ja siis e^x > x.
Kun x = 0 on e^x - x = 1 > 0.
d/dx(e^x - x) = e^x - 1 > 0 kun x > 0. e^x - x on siis kasvava funktio ja e^x - x > 0 kun x> 0.
Nähtiin, että kaikilla arvoilla x on e^x > x.
ln(x) on määritelty ja jatkuva kun x > 0. Se saa kaikki arvot - inf < ln(x) < inf tuolla alueella x > 0.
Edellä todistetusta seuraa, että e^(ln(x)) > ln(x) kun x > 0. Mutta e^(ln(x)) = x joten siis x > ln(x) kun x > 0.
On siis e^x > x > ln(x) kun x > 0. Kuvaajat eivät voi leikata.- Anonyymi
sen verran kiinnostaa, että kuka on Ohman itse?
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
sen verran kiinnostaa, että kuka on Ohman itse?
jee, jee, jees,... nyt tuli todella hyvä kysymys... kuka on Ohman, kuka on martta00 (tai ilman nollia) , kuka on aeija, kuka on KL... hmm... kukin, no mitäpä se oikeesti meille kuuluu
Pieni lisäkommentti:
Koska d/dx ln(x) = 1/x > 0 on myös ln( ) kasvava funktio. Koska x > ln(x) on siis
ln(x) > ln(ln(x)) > ln(ln(ln(x))) >...jne.
Vastaavasti , koska e^x > x, niin e^(e^x)) > e^x, e^(e^(e^x)) > e^(e^x)) jne.
Ohman = Ohman3
- Anonyymi
Seitenpuol kasiviis? Tä?
- Anonyymi
Otetaan vielä yksi tapa: tarkastellaan funktiota lnx/e^x. Väite on tosi, jos se on aina <1. Sen derivaatta on (1/x-lnx)/e^x. Nähdään, että funktio on ensin (kun x>0) kasvava, sitten saavuttaa maksimin kohdassa lnx=1/x ja sitten on laskeva. Nähdään että maksimikohta on välillä 1<x<e (likiarvo x=1,763). Ja nähdään, että maksimikohdassa tarkasteltava funktio <1.
Ketjusta on poistettu 1 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Purra hyökkää nyt suomalaisen duunarin kimppuun teettämällä mamuilla palkatonta työtä
Niinpä niin. Persut duunaripuolue, HAH. Joko alkaa kovapäisinkin persu älyämään, että persut ovat Suomen kansan vastain18911315Mitä hyvää rikkaiden hyysääminen Suomelle tuonut?
Minäpä vastaan: ei yhtikäs mitään, vaan pelkkää vahinkoa. Demareiden ansiosta Suomen valtio oli käytännössä vielä 1980-9310752Tytti Tuppurainen häpäisi Suomen epäisänmaallisella lausunnollaan USA:n ulkoministerille Rubiolle.
https://www.is.fi/politiikka/art-2000011816267.html Miksi Tytti Tuppurainen päästetään antamaan typeriä lausuntoja noin2356180Purra ehdottaa vaan Tanskan mallia, joka on erittäin hyvä malli
Purra ehdotti helmikuussa Suomeen Tanskan mallia, jossa maahanmuuttajilta vaaditaan työntekoa sosiaalitukien saamiseksi.1834986Kokoomusnuoret: Sosiaalitukien työvelvoitteen tulisi koskea kaikkia
Riikka Purra on esittänyt, että maahanmuuttajilta tulisi edellyttää palkatonta työtä sosiaalitukien vastineeksi. Kokoom1313466- 1723455
L/OVER ikuisesti minun
Aivan järkyttävä sarja. Ei voi olla katsomatta, mutta tuo omat muistot mieleen. Näyttelijät näyttelevät turhankin hyvin402293Mitä voisit miehenä tehdä?
Suojellaksesi kaikkia naisia ja että heillä olisi juuri sinun käytöksen takia edes vähän turvallisempaa. Mitä miehenä3001852Jyrki Linnankivi, Jyrki 69 - Goottirokkarista kirkonmieheksi Lappiin!
Jyrki Linnankivi eli Jyrki 69 on The 69 Eyes -rockyhtyeen vokalisti. Lauluhommien lisäksi hän sanoittaa, säveltää ja sov61700Onnea Maria ja Vilma Amazing Race -voitosta!
Maria Guzenina ja Vilma Vähämaa voittivat Amazing Race Suomi -kisan. Voiton hetkellä Guzenina paljasti, miksi valitsi Vi161604