Miten neljännen asteen funkion lausekkeen voi päätellä kuvaajasta?

Jos sen funktion ääriarvokohdat ovat tarkasti nähtävissä voi funktion derivaatalle ehkä saada lausekkeen:

dy/dx= A(x-x1)(x-x2)(x-x3), jossa x1,x2 ja x3 ovat niitä ääriarvokohtia.

Tuosta sitten integoimalla saa lausekkeen y:lle, johon tulee vielä toinen vakio C.
Vakiot A ja C saadaan funktion nollakohdan(jos on) ja y-akselin leikkauspisteen avulla.

Olkoon se polynomi p(x) = c4x^4 c3x^3 c2x^2 c1x c0

Työläähkö mutta aina toimiva metodi: katso arvo viidessä eri pisteessä ja ratkaise kertoimet yhtälöryhmän avulla.

Helpotuksia:
-Vakiotermin voit katsoa suoraan polynomin arvosta x=0:ssa (eli kannattaa aina valita yhdeksi pisteeksi x=0, jos se kuvaajassa näkyy).

-Ensimmäisen asteen kertoimenkin voisit katsoa tangentin kulmakertoimesta x=0:ssa mutta se saatta olla hieman epätarkkaa hommaa.

-Jos p:llä on nollakohtia, tiedät että niistä muodostettu polynomi q jakaa p:n, joten p = q*r, missä r on astetta 4 - (p:n nollakohtien määrä) astetta oleva polynomi ja tarvitsee vain ratkaista sen kertoimet. Käytä yo. metodia, muista yhtälöitä muodostaessa kirjoita:
y1 = p(x1) = q(x1)*r(x1)
q:han on jo tunnettu polynomi ja tämä yhtälö luo yhteyksiä r:n kertoimien välille, y1 katsotaan siis kuvasta. Valitse muita pisteitä kuin p:n nollakohdat, sillä ne on jo käytetty (niiden avulla saatiin tuntemattomien kertoimien määrä vähennettyä).

- Myös huippukohtia voit käyttää yhtälöiden saamiseksi kertoimien välille: tiedät että lausekkeen derivaatta on nolla huippukohdassa.

- Jos p:llä on 4 (eri) nollakohtaa, niin edellä r on vain vakiopolynomi, eli täytyy vain selvittää tämä yksi vakiokerroin, jonka saa helposti jostain ei-nollakohdasta yhdellä yhtälöllä. Vastaavasti kuten jo yo. vastauksessa tulikin, jos huippukohtia on kolme näkyvissä, niin näistä saa. Yksi nollakohtahan sillä derivaatalla ainakin on, koska kolmatta astetta oleva polynomi on. Mutta yleisemmin loput kertoimet joutuu ehkä selvittämään eri tavoin niiden välille saatujen yhtälöiden ratkaisemisella.

Yleensähän nuo neljännen asteen polynomit ovat w-muotoisia. Jos se leikkaa x-akselia neljässä kohdassa (x1...x4), on polynomi:
f(x) = C*(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-x4)
C saadaan esim y-akselin leikkauspisteen avulla.
Jos ei leikkaa x-akselia neljässä pisteessä, saatetaan löytää x-akselin suuntainen suora, jolla on neljä leikkauspistettä. Silloin kysessä f(x) k tyyppinen funktio, jonka nollakohdat voidaan ratkaista.
Sitten on vielä erikoistapauksia, joissa on moninkertaisia juuria.

Muuten, jos yleistetään ongelma kompleksi-polynomeille ja kuvaaja piirretään siten että ensinnäkin jokaiselle kompleksi tason pisteelle z määrätään väri (säde |z| antaa sen kuinka "kirkas" väri on 0=musta ja ääretön=valkoinen, ja vaihekulma Arg(z) kierretään sateenkaaren värit ks. domain coloring). Sitten tehdään polynomin p kuvataso siten että jokaiseen pisteeseen z laitetaan p(z):n väri.

Algebran peruslauseen mukaan kompleksipolynomit hajoavat ensimmäinen asteen tekijöihin ja kuvasta on helppo katsoa tämä hajotelma. Nollakohdat ovat mustia pisteitä ja niiden kertaluvut näkee siitä kuinka monta kertaa värikehä kiertää pisteen ympäri. Tehtäväksi jää ainoastaan johtavan kertoimen selvittäminen niinkuin edelläkin.

Linkkejä:
https://en.wikipedia.org/wiki/Domain_coloring
https://www.complexgrapher.com/ (tuolla ilmeisesti se säteen suurus otetaan modulossa ja se aiheuttaa nuo renkulat??)