Miten ratkotaan?

5 metriä leveä tie tekee 90 asteen käännöksen ja muuttuu samalla 6 metriseksi. Kuinka pitkä 4 metriä leveä lava saa maksimissaan olla, jotta mahtuu kääntymään menemättä tien reunojen yli?
Ilmoita


Tuo riippuu aivan siitä, kuinka suuri on kaarteen säde.
Ilmoita
Jos sisäkaarre on nollan suuruinen, niin missä kohdassa tie levenee?
1 VASTAUS:
Todennäköisimmin sisäkurvista, koska ulkokurvi on tuolloin pelkkä suorakulma.
+Lisää kommentti
Joo, vain suoria kulmia tiessä :) Luonnonoikku
1 VASTAUS:
Joskus geoguessrissä amerikoissa huomasin että nyt tuli äkkinäinen kaarros.
Eikä tuo Suomessakaan ole aivan tavatonta. On vain tullut yllättäen kaavoittajalle kunnanraja vastaan. Tai jotain.
+Lisää kommentti
x^2 +4 < 9
y^2+4 < 16

pituus < x+y =5,7 m
Ilmoita
Kannattaa ajatella kyseessä olevan käytävä joka tekee 90 asteen käännöksen. Kaikki on matemaattisen suorakulmaisia. Seinät toimivat rajoittimina.

Ihan ruutupaperilla kokeilemalla saa juuri ja juuri 7,5 m (ruutua) pitkän lavana kääntymään. Hiukan saattaa ahdistaa nurkista.

Matemaattisesti aika hankala.
Ilmoita
Voisihan tuo tie tehdä kaarroksen vaikkapa 1 km matkalla. Siinä sopii pitemmänkin lavan kanssa tunaroimaan.
Ilmoita
Oleta 90 asteen jyrkkä kulma käytävässä eli sisäkaarre on suora kulma.

Aseta lava siten, että sen etupään sisäkaarteen puoleinen nurkka koskettaa sisä"kaarteen" kärkipistettä. Siirrä lavan takaosan ulkokaarteen puoleinen nurkka koskettamaan ulkokaarteen puoleista seinää.

Lähde liikuttamaan ulkokaarteen puoleista takanurkkaa seinää pitkin eteenpäin kunnes lava on kääntynyt 90 astetta. Laske ulkokaarteen puoleisen etunurkan sivusuuntainen sijainti takanurkan sijainnin funktiona. Valitse lavan pituus niin, että asetetut ehdot toteutuvat.
5 VASTAUSTA:
Kokeile jollakin fyysisellä mallilla,, niin ymmärrät asian hiukan paremmin. Ei onnistu ajattelemalla, selittelemällä tai luulemalla jotain.
Anonyymi kirjoitti:
Kokeile jollakin fyysisellä mallilla,, niin ymmärrät asian hiukan paremmin. Ei onnistu ajattelemalla, selittelemällä tai luulemalla jotain.
Juuri tuolla tavoin tuo ohje syntyi. Liikutin kännykkää muutaman kirjan välissä.

Loput on sitten trigonometriaa ja kääntyvän lavan ulkoetukulman sivusuuntaisen poikkeaman ääriarvokohdan löytämistä derivoimalla ulkokaarteen puoleisen takanurkan siirtymän suhteen. Jätetään triviaalina harjoitustehtäväksi.
Voisihan tuossa tien leveys muuttua suoraan kuuteen metriin kun 90 asteen kaarre alkaa. Tai sitten vasta hiukan ennen kuin kaarre päättyy. Tulee hiukan erilaiset tulokset.
Kysymys onkin siitä, mitä tarkoittaa "samalla".
Anonyymi kirjoitti:
Juuri tuolla tavoin tuo ohje syntyi. Liikutin kännykkää muutaman kirjan välissä.

Loput on sitten trigonometriaa ja kääntyvän lavan ulkoetukulman sivusuuntaisen poikkeaman ääriarvokohdan löytämistä derivoimalla ulkokaarteen puoleisen takanurkan siirtymän suhteen. Jätetään triviaalina harjoitustehtäväksi.
Vanhan ajan puhelinluuri voisi toimia paremmin.
minkkilaukku kirjoitti:
Vanhan ajan puhelinluuri voisi toimia paremmin.
Ongelmaksi tulee se, että luurin johto ei kovin pitkälle riitä. Veikkaan että kaarteen puolivälissä tekee jo tiukkaa.
+Lisää kommentti
Ruutupaperikokeilulla selvisi, että onnistuu ihan helposti kahdella Pythagoraan yhtälöllä likuttamalla lavaa ensin kapeaa tietä kulkemalla ja hakemalla kriittinen kohta kääntymistilanteessa. Tuossa kohtaa takanurkka on aivan tien reunassa nurkan kohdalla ja sisäsivu on kiinni nurkassa. Lavan pituudesta eikä sen toisen tien leveydestä tarvitse tässä vaiheesa välittää mitään. Tuossa kohtaa lavan takaosan pituus a on:

a = sqrt(5²-4²) = 3

Ja paluumatkalla leveää tietä kulkemalla vastaava lavan takaosan pituus b on:

b = sqrt(6²-4²) = sqrt(20) = 4,472.

Kun nuo lasketaan yhteen, tulokseksi saadaan 7,472 m.
4 VASTAUSTA:
Kuorma-autokoulussa opetetaan muodostamaan lavan pinta-alan maksimi tuossa mutkassa ajettaesa. Lava saa olla mielivaltaisen muotoinen. Oltava tietysti koko ajan vaakasuorassa.

Ei onistu matemaatikoilta mitenkään. Arvauksia voi tietysti esittää. Kokeilkaa ihan vapaasti!
Anonyymi kirjoitti:
Kuorma-autokoulussa opetetaan muodostamaan lavan pinta-alan maksimi tuossa mutkassa ajettaesa. Lava saa olla mielivaltaisen muotoinen. Oltava tietysti koko ajan vaakasuorassa.

Ei onistu matemaatikoilta mitenkään. Arvauksia voi tietysti esittää. Kokeilkaa ihan vapaasti!
Vanhassa Numberphile-videossa on joitain ehdotuksia helpommalle erikoistapaukselle, jossa tiet (käytävät) ovat tasaleveitä:

https://www.youtube.com/watch?v=rXfKWIZQIo4
Anonyymi kirjoitti:
Kuorma-autokoulussa opetetaan muodostamaan lavan pinta-alan maksimi tuossa mutkassa ajettaesa. Lava saa olla mielivaltaisen muotoinen. Oltava tietysti koko ajan vaakasuorassa.

Ei onistu matemaatikoilta mitenkään. Arvauksia voi tietysti esittää. Kokeilkaa ihan vapaasti!
Olisiko kuitenkin muuttofirma-koulu?
Lavan pituus on x.
(x/2) / (sqrt(5^2 + 6^2) - 4) = tg(pii/4)
x= 7,62
+Lisää kommentti
Aikuisten oikeasti tuossa ei tarvitse tietää muuta kuin lavan leveys 4 metriä ja ympyrän säde kaarteessa 6 metriä.
Kuuden metrin ympyrään voi sitten sovittaa tasakylkisen kolmion.
2 VASTAUSTA:
Korjaus edelliseen.
Pitää tietenkin olla lavan leveys viisi metriä joka sovitetaan ympyrään, jonka säde on kuusi metriä.
.
Kyse on nyt laskemisesta, ei turhista selittelyistä. Jos ei itse osaa tai edes viitsi yrittää, niin turha neuvoa muita. Vain ja ainoastaan itse laskemalla oppii jotain.

Aina on monta tapaa laskea vaikealla tavalla. Ja aina joskus yksi helppo hoksaamista vaativa helppo tapa. Sen keksii tietysti myös laskemalla ensin muutamalla vaikealla tavalla ja ihmettelemällä sitten, mitä kaikkea turhaa tuli tehtyä. Samalla oppii ehkä ohjelmoimaan ja korjaamaan virheitään.
+Lisää kommentti
Todellakin järkevämpi muotoilu olisi, että on esim huonekalulaatikko, jota siirretään käytävää pitkin, jossa 90 asteen käännös.
Laskin niin, että kirjoitin yhtälöparin, jossa tuntemattomina siirrettävän laatikon pituus, peräosan pituus kulmaan asti rajoittavimmassa asennossa sekä kääntymiskulma. Ratkoin Wolframilla kulmaa varioiden. Läpi meni vielä 7,48 m pituinen laatikko. Rajoittavin kääntymiskulma oli 40 astetta.
2 VASTAUSTA:
Laatikossasi on kulmissa parin kolmen millin pyöristys! Ilman niitä ...
Kokeile "Anonyymin 12.9.2019 9:17" helpolla tavalla. Saatko tarkaksi tulokseksi tulokseksi 3 + sqr(20) = 7,472135954999579 m.

Tuon optimitilanteen näkee myös suoraan kahdesta muodostettavasta ympyräyhtälöstä, joten numeerinen laskenta on turhaa. Tarkka kuva kertoo kaiken. Kuva kannattaa piirtää suoraan siinä oletetussa optimitilanteessa.
+Lisää kommentti
Annetaanpa vaikeampi lisätehtävä: Kuinka suuri on pinta-alaltaan suurin tasokuvio, jonka voi liu'uttaa vaakatasossa tuosta läpi. Taso saa olla mielivaltaisen muotoinen,
Ilmoita
Jos molemmat tiet (käytävät) ovat 5 m leveitä, onko vastaus 6 m? Tämä kannattaa selvittää ensin ja jatkaa vasta sitten eri levyisillä teillä (käytävillä).
1 VASTAUS:
Ja jos molemat tiet (käytävät) ovat 6 m leveitä, onko vastaus 4*sqr(5) = 8,944 m?
+Lisää kommentti
Kun se Geogebrassa tuntui vähän hankalalta niin tein tällaisen, jossa ongelmaa voi vähän tunnustella: https://couch-moving--minkkilaukku2.repl.co/

Ratkaisu toki jo tuli, mutta laitetaan nyt tämä kuitenkin, sitähän voidaan ajatella tietyn tila-avaruuden polkuyhtenäisyytenä (tai ainakin että alku- ja loppupisteen välillä on polku).
Vastauksen ~7,4 saan minäkin tuolla simulaatiolla. (Siinä alla se point generating, se tutkii satunnaisia x-koordinaatti ja kulma, johon laatikko käännetty vaakatasoon nähden, -pareja. (Y-koordinaatti voidaan suoraan tempaista tappiinsa ja sitten nitkutella x:llä ja kulmalla.) Muodostuvassa "pisteparvessa" (joukon M simulaatio) on lähtö ja päätöstilan ((0,0) ja (5+h, pi/2)) yhdistävä polku täsmälleen silloin kuin kääntyminen on mahdollista.)
1 VASTAUS:
Jos sijoittaa sisänurkan origoksi ja piirtää ne käytävän reunat x- ja y-akselin suuntaisiksiki viivoiksi, niin vaatii melkoista lahjakkkuutta lähteä laskemaan mitään monimutkaista. Jos ja kun haetaan vain maksimiarvoa, nin kaikki tarvittava näkyy suoraan kuvasta!
+Lisää kommentti
Onko lavassa myös kääntyvät takapyörät. Pystyykö lava kääntymään niin, että sen oikea etukulma liikkuu kohtisuorassa alkuperäiseen kulkusuuntaan nähden.
1 VASTAUS:
Ajattelin senttimetreissä niin, että reitti on ura, jossa seinät ja siellä ujutetaan 4 cm levyistä palikkaa. Palikan pituus saisi olla korkeintaan 6.9 cm, jotta sen saa mutkasta läpi.

Eli vastaus kysymykseen olisi 6.9 m.
+Lisää kommentti
Entäs suurin kappale, joka saadaan tuon kulman ympäri? Onkos se tuo ratkaisun mukainen suorakulmio, johon on liitetty neljä ympyränsektorin osaa ja yksi suorakulmio?
Ilmoita
Entä jos sisäkulma on terävä ja ulkokulman säde noudattaa funktiota 5+2θ/π, θ = 0...π/2, missä θ kaarteen kulma ?
Ilmoita
Sain tulokseksi 7,56m seuraavasti: laskin korkeuden tasakylkiselle kolmiolle, jonka kyljet ovat 11m,sain 7,778m,kun siitä vähentää 4,000 m saa 3,778m joka on puolet maksimipituisesta lavasta eli lava on 7,556m pitkä maksimissaan. Oletukseni on, että ko. tapauksessa 45ast. kääntynyt lava on pisin mahdollinen.
Ilmoita

Vastaa alkuperäiseen viestiin

Miten ratkotaan?

5 metriä leveä tie tekee 90 asteen käännöksen ja muuttuu samalla 6 metriseksi. Kuinka pitkä 4 metriä leveä lava saa maksimissaan olla, jotta mahtuu kääntymään menemättä tien reunojen yli?

5000 merkkiä jäljellä

Rekisteröidy, jos haluat käyttää nimimerkkiä.

Peruuta