Kun katselin tämän syksyn pitkän matematiikan yo-koetta, kiinnitin huomiota tehtävään numero yhdeksän.
http://yle.fi/plus/abitreenit/2019/syksy/M-fi/index.html#q9
Kohdassa 9.2. pyydetään määrittämään funktion f käänteisfunktion lauseke. Funktio f ei kuitenkaan ole surjektio, joten se ei ole bijektio, eikä sillä siis ole käänteisfunktiota. Esimerkiksi yksikään lähtöjoukon alkio ei kuvaudu maalijoukon alkiolle 1.
"Not all functions have inverse functions. In order for a function f: X → Y to have an inverse, it must have the property that for every y in Y there must be one, and only one x in X so that f(x) = y"
https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_function
Tehtävänannossa on selvästi ilmaistu, että funktion f maalijoukko on ℝ. Jos maalijoukkoa ei olisi ilmaistu, mikä on lukiotason tehtäville tyypillistä, niin tällöin olisi tuntunut luontevalta valita funktion f maali "sopivaksi".
Mielipiteitä?
Pitkän matematiikan yo syksy 2019
30
802
Vastaukset
- Anonyymi
Käänteisfunktio vaatii injektiivisyyden, mutta surjektiivisuus ei ole välttämätöntä. Esimerkiksi Walter Rudinin Real and complex analysis sivu 7 käyttää termiä one-to-one, jonka toinen nimi on injektiivinen funktio.
Lue tämä nyt ajatuksen kanssa:
one-to-one = injektio
onto = surjektio
bijektio = injektio surjektio
- Anonyymi
Merkintä f : R -> R ei tarkoita, että f:n kuvana on koko R. Se tarkoittaa, että f kuvaa R:n jollekin R:n osajoukolle.. Tässä tapauksessa f kuvaa R:n joukolle (-1, 1) ja kuvaus on yksikäsitteinen joten käänteisfunktio kyllä on olemassa, se on f^(- 1): (- 1, 1) -> R.
Tässä merkinnässäni f^( - 1) on siis f:n käänteisfunktio eikä funktiota 1/f.- Anonyymi
p.o. ..eikä funktio 1/f.
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
p.o. ..eikä funktio 1/f.
Puuttui vielä sana "kääntäen":kuvaus on siis kääntäen yksikäsitteinen (eli one-to-one).
Mikähän tässä aamukirjoittelussa mättää?
- Anonyymi
Seuraava määritelmä, lause ja esimerkki löytyy vanhasta Helsingin yliopiston kurssimonisteestani (Johdatus yliopistomatematiikkaan, Lotta Oinonen):
"Määritelmä
Merkintä f: X → Y tarkoittaa, että f on kuvaus joukosta X joukkoon Y. Joukko X on kuvauksen lähtö ja joukko Y on kuvauksen f maali"
"Lause
Oletetaan, että f: X → Y on kuvaus. Kuvauksella f on käänteiskuvaus, jos ja vain jos f on bijektio"
"Esimerkki
Tarkastellaan kuvausta f: ℤ → ℤ, jolla f(z)=3n 2 kaikilla n∈ℤ"
Tässä sitten osoitetaan, että kuvaus g ei ole surjektio, eikä se siis myöskään ole bijektio. Lopuksi todetaan, että kuvauksella f ei ole käänteiskuvausta. Huomioitavaa on, että tässä esimerkissä kuvaus f on kyllä injektio, kuten tuossa kokeen tehtävässä.- Anonyymi
Tuossa esimerkissä pitäisi tietenkin olla f(n)=3n 2 ja myöhemmin pitäisi puhua tietysti kuvauksesta f eikä kuvauksesta g.
- Anonyymi
Ethan Blochin kirjassa The Real Numbers and Real Analysis asia muotoillaan seuraavasti:
"Injectivity alone is not sufficient to guarantee that a function has an inverse"
Tietenkin pienentämällä funktion maalia saataisiin aikaan bijektio. Tällöin kyseessä ei kuitenkaan enää olisi sama funktio.- Anonyymi
Eivätpä näy nuo minun (8:48,8:50,9:35) jälkeeni kirjoittaneet anonyymit tajunneen juttuani vaikka se niin lyhyt olikin.
Vielä kerran: merkinnällä f: A -> B on tapana matemaattisessa kirjallisuudessa tarkoittaa kuvausta jossa f on määritelty joukossa A ja f(A) on joukon B osajoukko. Se voi tietysti olla koko B , sillä sehän on itsensä osajoukko, mutta voi olla myös aito osajoukko.
Jos kuvaus A -> f(A) on kääntäen yksikäsitteinen niin f:llä on käänteiskuvaus, joka kuvaa f(A)-joukon joukolle A.
Tässä A = R , B = R ja f(A) = ( -1, 1) joka on B:n aito osajoukko.
f^( - 1) on siis olemassa. - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Eivätpä näy nuo minun (8:48,8:50,9:35) jälkeeni kirjoittaneet anonyymit tajunneen juttuani vaikka se niin lyhyt olikin.
Vielä kerran: merkinnällä f: A -> B on tapana matemaattisessa kirjallisuudessa tarkoittaa kuvausta jossa f on määritelty joukossa A ja f(A) on joukon B osajoukko. Se voi tietysti olla koko B , sillä sehän on itsensä osajoukko, mutta voi olla myös aito osajoukko.
Jos kuvaus A -> f(A) on kääntäen yksikäsitteinen niin f:llä on käänteiskuvaus, joka kuvaa f(A)-joukon joukolle A.
Tässä A = R , B = R ja f(A) = ( -1, 1) joka on B:n aito osajoukko.
f^( - 1) on siis olemassa."merkinnällä f: A -> B on tapana matemaattisessa kirjallisuudessa tarkoittaa kuvausta jossa f on määritelty joukossa A ja f(A) on joukon B osajoukko. Se voi tietysti olla koko B , sillä sehän on itsensä osajoukko, mutta voi olla myös aito osajoukko"
Kyllä. Tässä ei ole mitään kummallista.
"Jos kuvaus A -> f(A) on kääntäen yksikäsitteinen niin f:llä on käänteiskuvaus, joka kuvaa f(A)-joukon joukolle A"
Kuvauksella A→f(A) on kyllä käänteiskuvaus, mutta tämähän ei ole sama kuin alkuperäinen kuvaus f, jonka maali oli ℝ. Merkitään vaikka h: A→f(A). Tässä tilanteessa funktiolla h on käänteiskuvaus.
Varmasti joissain lähteissä käänteisfunktio on määritelty niin, että jos kuvauksella A→f(A) on käänteiskuvaus, niin sitten tämä on kuvauksen f käänteiskuvaus.
Kuitenkin esimerkiksi aikaisemmin mainitun luentomonisteen määritelmää, lausetta ja esimerkkiä käyttämällä on perusteltua sanoa, ettei käänteiskuvausta ole kokeen tehtävän funktiolla. Tilannehan on siis sama kuin tuossa esimerkissä, jossa tarkasteltiin kuvausta f: ℤ → ℤ, jolla f(n)=3n 2 kaikilla n∈ℤ. Tällä ei ollut käänteiskuvausta, vaikka se olikin injektio(, eli kuvaukselle ℤ→f(ℤ) kyllä löytyisi käänteiskuvaus). - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
"merkinnällä f: A -> B on tapana matemaattisessa kirjallisuudessa tarkoittaa kuvausta jossa f on määritelty joukossa A ja f(A) on joukon B osajoukko. Se voi tietysti olla koko B , sillä sehän on itsensä osajoukko, mutta voi olla myös aito osajoukko"
Kyllä. Tässä ei ole mitään kummallista.
"Jos kuvaus A -> f(A) on kääntäen yksikäsitteinen niin f:llä on käänteiskuvaus, joka kuvaa f(A)-joukon joukolle A"
Kuvauksella A→f(A) on kyllä käänteiskuvaus, mutta tämähän ei ole sama kuin alkuperäinen kuvaus f, jonka maali oli ℝ. Merkitään vaikka h: A→f(A). Tässä tilanteessa funktiolla h on käänteiskuvaus.
Varmasti joissain lähteissä käänteisfunktio on määritelty niin, että jos kuvauksella A→f(A) on käänteiskuvaus, niin sitten tämä on kuvauksen f käänteiskuvaus.
Kuitenkin esimerkiksi aikaisemmin mainitun luentomonisteen määritelmää, lausetta ja esimerkkiä käyttämällä on perusteltua sanoa, ettei käänteiskuvausta ole kokeen tehtävän funktiolla. Tilannehan on siis sama kuin tuossa esimerkissä, jossa tarkasteltiin kuvausta f: ℤ → ℤ, jolla f(n)=3n 2 kaikilla n∈ℤ. Tällä ei ollut käänteiskuvausta, vaikka se olikin injektio(, eli kuvaukselle ℤ→f(ℤ) kyllä löytyisi käänteiskuvaus).Olkoon f: A -> B. f(A) = (y l y=f(x) missä x kuuluu joukkoon A)
Määritelmän mukaan f^( - 1 ) f(x) = x joten f^( - 1 ) on määritelty vain joukossa
f( A).
- Anonyymi
Mitenkäs tuo tehtävä 10.
Pomppivan pallon korkeutta lattiasta kuvaa tietokonepelissä funktio h(x)=25|sin x|/(x 5)
kun x on pallon vaakasuoraan kulkema matka ja h(x) on pallon korkeus metreinä. Kuinka moni pomppu on yli metrin korkuinen?
Siis jos pallo pomppii, niin eikö se voi liikkua vaan pystysuunnassa, jolloin x=0, tai sitten mielivaltaisen paljon, jos pallo on vinossa heittoliikkeessä? Eikö vaakasuora tarkoita pallon etenemää matkaa pomppiessa?- Anonyymi
Puhutaanhan tehtävässä selvästi pallon vaakasuoraan kulkemasta matkasta. Pallolla on siis myös vaakasuora liike.
Pallo osuu maahan kun x = n*pii, n = 0,1,2,...
Turhaan motkotat.
- Anonyymi
Saisiko mitään vinkkiä 12 Summan arviointi .
Veikkaisin että jotenkin liittyy 127 = 2^7 - 1 ja 7 = 2^3 - 1- Anonyymi
https://drive.google.com/file/d/1fof7k08novOx4TjtS5GOQn9krO6_cCCQ/view
Löytyy tuota hyvän vastauksen piirteet selostuksesta. - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
https://drive.google.com/file/d/1fof7k08novOx4TjtS5GOQn9krO6_cCCQ/view
Löytyy tuota hyvän vastauksen piirteet selostuksesta.Kiitos !
- Anonyymi
Pitkän matematiikan 1. tehtävä on perinteinen peruskoulun 8lk trigonometrian koetehtävä.
- Anonyymi
Olisi noloa, jos ei saisi yhtään pistettä ylioppilaskirjoituksissa.
Enemmän näytti tulevan kalabaliikkia lyhyen matikan kuorotehtävästä, vaikka tässähän siihen olisi enemmän ollut aihetta joskin tässäkin hyvin vähän. Tietenkin bijektion pitää olla injektio ja surjektio, mutta ko-rajoittuman (rajoitetaan maalijoukkoa) tekeminen on hyvin triviaali askel, joten se on tarkoitettu tehtävässä implisiittisesti tehtäksi. Tätä vahvistaa vielä se asia, että b-kohdassa kysytään kuvajoukkoa. Olisi tietenkin ollut asiallista myös mainita tämä rajoittuma c-kohdassa aivan eksplisiittisesti.
Ne, jotka puhuvat täällä että surjektiivisuutta ei kääntyvyyteen tarvita, ovat väärässä. Heidän mukaanhan kaikki joukot olisivat bijektiivisessä vastaavuudessa yksiön kanssa: yhden pisteen kuvaus on aina injektio, joten siitähän se kääntyy.
Kyllä funktiolla on aina määrittelyjoukko ja maalijoukko. Molemmat tarvitaan funktion määrittelemiseksi.
Niin ja siitä lyhyen kuorotehtävästä: täysin kontekstistaan irroitettu kysymyksen osa, jotta saatu klikkiuutinen!- Anonyymi
Taitaa nyt Minkkilaukku unohtaa, että funktiolla on f: A -> B on "domain" A. "codomain" B ja "range" f(A). f(A) on B:n osajoukko, aito tai itse B. Jos f on kääntäen yksikäsitteinen A -> f(A) sillä on käänteiskuvaus f^( - 1) : f(A) -> A.
Codomain voidaan valita miten tahansa kunhan se on B:n osajoiukko ja sisältää f/A):n. .Kaikille valinnoille löytyy se yksi ja sama f^( - 1): f(A) -> A (bijektio). - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Taitaa nyt Minkkilaukku unohtaa, että funktiolla on f: A -> B on "domain" A. "codomain" B ja "range" f(A). f(A) on B:n osajoukko, aito tai itse B. Jos f on kääntäen yksikäsitteinen A -> f(A) sillä on käänteiskuvaus f^( - 1) : f(A) -> A.
Codomain voidaan valita miten tahansa kunhan se on B:n osajoiukko ja sisältää f/A):n. .Kaikille valinnoille löytyy se yksi ja sama f^( - 1): f(A) -> A (bijektio).f/A):n p.o. f(A):n.
Anonyymi kirjoitti:
Taitaa nyt Minkkilaukku unohtaa, että funktiolla on f: A -> B on "domain" A. "codomain" B ja "range" f(A). f(A) on B:n osajoukko, aito tai itse B. Jos f on kääntäen yksikäsitteinen A -> f(A) sillä on käänteiskuvaus f^( - 1) : f(A) -> A.
Codomain voidaan valita miten tahansa kunhan se on B:n osajoiukko ja sisältää f/A):n. .Kaikille valinnoille löytyy se yksi ja sama f^( - 1): f(A) -> A (bijektio).Ymmärrätkö sinä sen että funktiot
f: A -> B
ja
g: A -> C
ovat eri funktiot, jos B on eri joukko kuin C?
Jos noin epäselvää on funktion käsite kuin täällä näyttää ihmisille olevan, kannattaa katsoa määritelmää ihan karteesisen tulon osajoukkona, niinkuin se formaalisti tehdään, niin ei pitäisi enää jäädä mitään epäselvää. Kai sinä nyt perkele joukon ymmärrät milloin ne ovat samat!?!?- Anonyymi
minkkilaukku kirjoitti:
Ymmärrätkö sinä sen että funktiot
f: A -> B
ja
g: A -> C
ovat eri funktiot, jos B on eri joukko kuin C?
Jos noin epäselvää on funktion käsite kuin täällä näyttää ihmisille olevan, kannattaa katsoa määritelmää ihan karteesisen tulon osajoukkona, niinkuin se formaalisti tehdään, niin ei pitäisi enää jäädä mitään epäselvää. Kai sinä nyt perkele joukon ymmärrät milloin ne ovat samat!?!?Se on niin että
Maalijoukko voi olla toisen osajoukko
Siis sellaisen osajoukko joka ei koskaan toimi kuin vain maalujoukon sisältävänä joukkona - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Se on niin että
Maalijoukko voi olla toisen osajoukko
Siis sellaisen osajoukko joka ei koskaan toimi kuin vain maalujoukon sisältävänä joukkonaSe että f:A tulee B
Tuo on eri kuin sellainen funktion merkki että
f-merkin päälle laitetaan potenssimerkki siis suoraan sen merkin yläpuolelle
Jotkut ei erottele tuota merkkiä f- merkistä
Ja tkuuseuraavallesivilleeipitöiskirjoittaaenempääpistejaaamen minkkilaukku kirjoitti:
Ymmärrätkö sinä sen että funktiot
f: A -> B
ja
g: A -> C
ovat eri funktiot, jos B on eri joukko kuin C?
Jos noin epäselvää on funktion käsite kuin täällä näyttää ihmisille olevan, kannattaa katsoa määritelmää ihan karteesisen tulon osajoukkona, niinkuin se formaalisti tehdään, niin ei pitäisi enää jäädä mitään epäselvää. Kai sinä nyt perkele joukon ymmärrät milloin ne ovat samat!?!?Nyt kun tarkemmin miettii, niin eihän ne parit mitä siellä ei oo, siitä karteesista tulosta näy, joten ehkäpä ko-rajoittumat ovat täyttää höpinää. Jos ei sitten funktiota määritellä kolmikkona (määr.joukko, maalijoukko, R), missä R on relaatio, joka funktion määrittelee.
- Anonyymi
minkkilaukku kirjoitti:
Ymmärrätkö sinä sen että funktiot
f: A -> B
ja
g: A -> C
ovat eri funktiot, jos B on eri joukko kuin C?
Jos noin epäselvää on funktion käsite kuin täällä näyttää ihmisille olevan, kannattaa katsoa määritelmää ihan karteesisen tulon osajoukkona, niinkuin se formaalisti tehdään, niin ei pitäisi enää jäädä mitään epäselvää. Kai sinä nyt perkele joukon ymmärrät milloin ne ovat samat!?!?Kyllä tiedän että relaatio on tietyn karteesisen tulon osajoukko ja funktio on tietynlainen relaatio.
Valitaanpa tuo domain B miten tahansa mutta kuitenkin siten, että f(A) on sen osajoukko, on f^( - 1) : f(A) -> A olemassa kunhan tuo f oli one-to-one (kääntäen yksikäsittenen) A:n kuvaus f(A):lle.
f^( - 1) on jokaisen tällaisen kuvauksen käänteiskuvaus. Se on myös siis niistä yhden, eli tuon A -> B, käänteiskuvaus.
Et sanonut kommentistani mitään järkevää. Tuollaista "p....le"-tason keskustelua en viitsi jatkaa. Pidä rauhassa käsityksesi. Anonyymi kirjoitti:
Kyllä tiedän että relaatio on tietyn karteesisen tulon osajoukko ja funktio on tietynlainen relaatio.
Valitaanpa tuo domain B miten tahansa mutta kuitenkin siten, että f(A) on sen osajoukko, on f^( - 1) : f(A) -> A olemassa kunhan tuo f oli one-to-one (kääntäen yksikäsittenen) A:n kuvaus f(A):lle.
f^( - 1) on jokaisen tällaisen kuvauksen käänteiskuvaus. Se on myös siis niistä yhden, eli tuon A -> B, käänteiskuvaus.
Et sanonut kommentistani mitään järkevää. Tuollaista "p....le"-tason keskustelua en viitsi jatkaa. Pidä rauhassa käsityksesi.Bijektio on surjektio; sitä ei saa kieltää!
Funktioita pitää ajatella ennemminkin joukkojen (avaruuksien) välillä. Molemmat joukot ovat tärkeät.- Anonyymi
minkkilaukku kirjoitti:
Bijektio on surjektio; sitä ei saa kieltää!
Funktioita pitää ajatella ennemminkin joukkojen (avaruuksien) välillä. Molemmat joukot ovat tärkeät.Domain on määrittelyjoukko
Ja lähtöjoukko
F:A tulee B B on maali , range se bijektio ei ole surjektio vaan koska se on samaan aikaan injektio ' surjektio 'niin se ei ole surjektio
f ja sen yläpuolella oleva potenssimerkki siis suoraan sen yläpuolella tekee lähdöstä B ja sen joukon johon B kuuluu kuten Q . Jos f merkin yläpuolella ei ole potenssimerkki niin maali on pelkkä B ei pitäis kirjoittaamuuuta
f^(-1) on sama kuin f ja sen yläpuolella potenssimerkki plus ^(-1) on A koska A lle ei oltu määrätty erikseen muuta lähtöä funktio on aina koko määrittelyjoukossaan määritelty ei potäiskirkjoittaamuuta - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Kyllä tiedän että relaatio on tietyn karteesisen tulon osajoukko ja funktio on tietynlainen relaatio.
Valitaanpa tuo domain B miten tahansa mutta kuitenkin siten, että f(A) on sen osajoukko, on f^( - 1) : f(A) -> A olemassa kunhan tuo f oli one-to-one (kääntäen yksikäsittenen) A:n kuvaus f(A):lle.
f^( - 1) on jokaisen tällaisen kuvauksen käänteiskuvaus. Se on myös siis niistä yhden, eli tuon A -> B, käänteiskuvaus.
Et sanonut kommentistani mitään järkevää. Tuollaista "p....le"-tason keskustelua en viitsi jatkaa. Pidä rauhassa käsityksesi.Tuli kirjoitusvirhe. Piti olla : Valittiinpa tuo codomain B...
Sanoin kyllä ihan selvästi että f on kääntäen yksikäsitteinen kuvaus f(A):lle eli siis surjektio ja myös sitten bijektio domain A <-> range f(A).
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Euroviisut fiasko, Suomen kautta aikain typerin esitys, jumbosija odottaa. Olisi pitänyt boikotoida!
Tämän vuoden euroviisut on monella tapaa täydellinen fiasko. Ensinnäkin kaikkien itseään kunnioittavien eurooppalaisten3143886Persuilla ja Saksi-Riikalla meni sitten pornon levittämiseksi koko touhu.
Onko kenellekään yllätys?2093078Hei A, osaatko
sanoa, miksi olet ihan yhtäkkiä ilmestynyt kaveriehdotuksiini Facebookissa? Mitähän kaikkea Facebook tietää mitä minä en722604Synnittömänä syntyminen
Helluntailaisperäisillä lahkoilla on Raamatunvastainen harhausko että ihminen syntyy synnittömänä.2422054Tuollainen kommentti sitten purjehduspalstalla
"Naisen pillu se vasta Bermudan kolmio on. Sinne kun lähdet soutelemaan niin kohta katoaa sekä elämänilo että rahat"161495Nesteen bensapumput pois, tilalle latausasemat
Näin se maailma muuttuu, kun Suomessakin liikenneasemat lopettavat polttoaineiden myynnin ja tarjoavat enää sähköä autoi1781402Mitä tämä tarkoittaa,
että näkyy vain viimevuotisia? Kirjoitin muutama tunti sitten viestin, onko se häipynyt avaruuteen?421381Nukkumisiin sitten
Käsittelen asiaa tavallani ja toiveissa on vielä että tästä pääsee hyppäämään ylitse. Kaikenlaisia tunteita on läpikäyny41357Syö kohtuudella niin et liho.
Syömällä aina kohtuudella voi jopa laihtua.On paljon laihoja jotka ei harrasta yhtään liikuntaa. Laihuuden salaisuus on251344Muistatko komeroinnin?
Taannoin joskus kirjoitin aloituksen tänne komeroinnista eli hikikomoreista; syrjäytyneistä nuorista ihmisistä. Ehkä asu511287