Vaihteeksi vähän vaikeampi tehtävä, joka on tainnut olla täällä vuosia sitten toisessa muodossa.
Gepardi vaanii antilooppia, joka on joella juomassa. Gepardin etäisyys antiloopista alussa on L = 60 m kohtisuoraan jokea vastaan. Antilooppi huomaa gepardin ja lähtee pakoon nopeudella v = 80 km/h joen suuntaisesti juosten. Samalla hetkellä gepardia lähtee jahtaamaan antilooppia nopeudella u = 90 km/h niin että, sen juoksusuunta on joka hetki antilooppia kohti (kulkukäyrän tangentti kohti antilooppia). Gepardi jaksaa juosta vain 300 m, jonka jälkeen se luovuttaa. Saako se antiloopin kiinni?
Gepardi vaanii antilooppia, joka on joella juomassa. Gepardin etäisyys antiloopista alussa on L = 60 m kohtisuoraan jokea vastaan. Antilooppi huomaa gepardin ja lähtee pakoon nopeudella v = 80 km/h joen suuntaisesti juosten. Samalla hetkellä gepardia lähtee jahtaamaan antilooppia nopeudella u = 90 km/h niin että, sen juoksusuunta on joka hetki antilooppia kohti (kulkukäyrän tangentti kohti antilooppia). Gepardi jaksaa juosta vain 300 m, jonka jälkeen se luovuttaa. Saako se antiloopin kiinni?
Vastaukset 24
Vanhimmat
Kissaeläimet on niin älykkäitä, että ne ei säntää avomaastossa noin kaukaa.
Tutkimusten mukaan leopardi hyökkää keskimäärin alle 2 metrin päästä.
Gepardi on nopein kissaeläin ja se tekee usein pitkiä takaanajoja, niin pitkään kuin jaksaa. Leopardi taasen vaanii usein puissa. Mutta ei tuo ole tehtävän kannalta kovin olennaista.
Gepardi raapii savannin urille, kun sillä on aina nastat esillä. Siirtyisi sekin kitkoihin.
Nuo kitkakumit ainoastaan silittävät pinnan.. Milläs konstilla savannin leijonat ja tiikerit sitten pääsisivät vauhtiin.
Tuossa esimerkkejä: https://www.youtube.com/watch?v=i-47NmgNcVE
Ei oikein enää onnistu tämä pyörittely, ja kun vanhat tekeleet ja koneetkin on kaikki romuissa, niin hiukka vaikeata on tästä saada ratkaisua, mutta vedetään nyt jotakin vanhasta muistista.
Lopputuloksena kuitenkin on että gebardi saa antiloopin kiinni, koska sentin etäisyydellä on vasta juossut 276 metriä..
https://aijaa.com/JNFNCS
aeija
Siinä olikin näköjään alkunopeus gebardilla. Minä en sellaista huomannut, vaan oletin gebardin lähtevän täpöilla ja sitten väsyvän matkalla, mutta kuitenkin kiinniottohetkellä nopeutta olisi antiloopin nopeuden verran.
Tätä täytisi lähestyä sitten toisella tavalla, mutta en enää viitsi ...tämä riitti taas minulle ..
aeija
vastauksista viis! aeija, olet takaisin taas! terv. martta00
Aeijan yhtälöt ovat ok ja ratkaisu lähellä oikeata. Ilmeisesti ero tulee siitä, että hän olettaa gepardin ja antiloopin nopeudet yhtä suureksi. Tässä ratkaisu:
Asetetaan koordinaatisto niin että alussa gepardi (koordinaatit x,y) on origossa ja antilooppi pisteessä (L,0). Antilooppi etenee positiivisen y-akselin suuntaisesti
Merkitään derivaattoja x suhteen yläpilkullisina ja t suhteen kirjoitetaan näkyviin.
Lasketaan gepardin nopeus u, joka saadaan kaavasta:
u = sqrt((dx/dt)^2 (dy/dt)^2) = sqrt(1 y'^2)*(dx/dt)
Kun gepardin juoksusuunta on kohti antilooppia, saadaan:
y’ = (vt-y)/(L-x); v antiloopin nopeus, L gepardin ja antiloopin alkuetäisyys
Kun derivoidaan jälkimmäinen x suhteen ja sievennetään, saadaan
y’’ = v*(dt/dx)/(L-x)
Kun yhdistetään yhtälöt ajan eliminoimiseksi ja merkataan v/u=k, saadaan:
y'' = k*sqrt(1 y'^2)/(L-x)
Tuo juoksukäyräyhtälö ratkeaisi perusfunktioilla, mutta ratkaisusta ei kuitenkaan suoraan saa haluttuja tietoja. Siksi siirrytään tarkastelemaan gepardin kulkemaa matkaa s parametrin x funktiona, mikä saadaan yhtälöistä:
ds/dx = s’=sqrt(1 y'^2) => s’’*s’ = y’’*y’
Em yhtälöitä soveltamalla saadaan diffisyhtälö:
s’’ = k*sqrt(s’^2-1)/(L-x)
Kun otetaan huomioon alkuehdot, saadaan ratkaisuksi:
s' = (1/2)((L/(L-x/))^k ((L-x)/L)^k)
Intergroimalla 0->L ja alkuehdot huomioon ottaen saadaan yksinkertainen lauseke matkalle s jonka gepardi juoksee ennen kuin saavuttaa antiloopin:
s = L/(1-k^2) = 286 m.
Eli gepardi saavuttaa antiloopin nipanappa ennen uupumistaan.
Voidaan laskea niinkin, että ratkaistaan y' yhtälöstä:
y'' = k*sqrt(1 y'^2)/(L-x), saadaan
y' = (1/2)((L/(L-x/))^k - ((L-x)/L)^k)
Matka saadaan integroimalla x: 0->60 lauseke sqrt(1 y'^2)
Saadaan sama tulos 286 m.
Eiköhän se kulmakerroin ole
y' = (L-y) / (vt - x)
Antiloopin rata on A(t) = vt i L j, A(0) = L j. Antiloopin nopeuden itseisarvo on v.
Gepardin rata on G(t) = x(t) i y(t) j. G(0) = 0.
Gepardin nopeusvektori (radan tangenttivektori) on G'(t) ja l G'(t) l = u
G'(t) = u * (A(t) - G(t)) / l A(t) - G(t) l =
u ((vt - x(t)) / lA(t) - G(t)l) i u((L - y(t))/ lA(t) - G(t) l j=
x'(t) i y'(t) j
Nopeusvektorin G(t) kulmakerroin on y'(t) / x'(t) = (L - y(t)) / (vt - x(t)
"Asetetaan koordinaatisto niin että alussa gepardi (koordinaatit x,y) on origossa ja antilooppi pisteessä (L,0). Antilooppi etenee positiivisen y-akselin suuntaisesti."
Noin määrittelin alussa. Silloin antiloopin rata on Li vtj.
Muistelen, että jos määrittelee niinpäin, että antiloppi on alussa pisteessä (0,L), silloin ratkaisuksi tulee käänteisfunktio, joka ei ole perusfunktio.
Jos se noin tiukalle menee niin sitten antilooppi pelastuu kun jellona ei jaksa syödä kuin hännän ja hmmm..
Joo, ei se kaukana ollut, vaikkakin periaatteessa täysin väärin, siis se samanopeusjutska. Tossa on sitä loppua uudestaan:
https://aijaa.com/mXdG13
aeija
Muistin, että tätä käsiteltiin joskus myös Tiede-sivustolla, ja siellä joku esitti tähän hyvin helpolta näyttävän ratkaisun ja vedän senkin nyt tähän kun sen sieltä löysin ja vertaan sitä tässä saaatuun gebardin matkaan:
https://aijaa.com/J6JCiy
Tuossa jää vaan selittämättä, miten nuo kaksi tapausta voidaan superponoida tapaukseksi, jossa gepardin lähtöpaikka on tehtävän mukaan: löytyykö siihen selitys vai onko tulos sattumalta sama? Voisi tietysti superponoida tapaukset, joissa gepardi on 45 asteen kulmissa jokeen nähden; mikä on tulos silloin. Jos sama niin silloin on yleinen sääntö takana.
Käsitin asian niin, että sitä yleistä sääntöä ei nimenomaan ole, vaan tuo keskiarvojutska pätee ainoastaan silloin kun antiloopit karkaavat kohtisuoraan gebardeja vastaan ja antilooppien juoksemat pakomatkat ovat yhtä pitkiä.
Kahden vastakkaisiin suuntiin pakenevien antilooppien karkumatkojen summa on kuulemma kuitenkin aina sama, en osaa kuitenkaan siitä Tiede-keskustelusta lukea osoittiko sen siellä joku....
Jos oletetaan nuo gepardin lähtöasemat 45 asteen kulmissa jokeen nähden, silloin yhtälöt ovat muuten samat, mutta L tilalle tulee L/sqrt2 ja diffisyhtälön alkuehtoon tulee y'= -1. Vähän monimutkaisempi ratkaisu, en ole laskenut loppuun asti.
Sain tästä nyt jonkinlaisen osoituksen aikaiseksi ja lataan ne pari suttupaperia nyt tänne.
Tässä on eka: https://aijaa.com/P4GtSl
Jatkoa seuraa ihan kohta.....
Tässä tulee sitten jatkoa. Pari kohtaa siinä oli vaikeita hoksata, esim, se, että s`(0)=1/cos(alfa), koska y`(0)=tan(alfa)
https://aijaa.com/eBVufm
Se helppo keskiarvojutska siis pätee tälle tehtävälle, koska kahden vastakkisen suunnan pakomatkojen summa on vakio ja tässä tehtävässähän pakomatkat olivat yhtäpitkiä.
Tuo viimeinen summa on väärin : s(ylös) s(alas)=2L/(1-(k)^2)
Hienoa! Gepardin on kuitenkin syytä muistaa, että antiloppi ei arvo, kumpaan suuntaan joen vartta lähtee juoksemaan, vaan todennäköisemmin poispäin gepardin tulosuunnasta. Siksi kannattaa lähestyä kohtisuoraan jokeen nähden.
"Takaanajo" ja "gebardi". Tällaisia täällä vaan kirjoitetaan.