sinifunktion ja yhdistetyn funktion derivaattojen todistus

Toisaalta tuon
"lim h->0 (cos(h)-1)/h" voi hoitaa seuraavasti:

Käytetään tulosta sin(h/2)= -sqrt((1-cos(h))/2), josta seuraa, että cos(h)-1=-2*sin^2(h/2).

Nyt
lim h->0 (cos(h)-1)/h=lim h->0 (-2sin^2(h/2))/h=-lim h->0 sin(h/2)/h * lim h->0 sin(h/2)

Käytetään tulosta lim h->0 sin(h)/h = 1. Kun h -> 0, niin h/2 -> 0.

-lim h->0 sin(h/2)/h * lim h->0 sin(h/2)=-1*0=0.

Kirjoitan näin: delta x = e(x) ja delta y = e(y).

y = sin(x)
Kun kasvatetaan argumenttia x määrällä e(x) niin

y e(y) = sin(x e(x))
e(y) = sin(x e(x)) - sin(x) = 2 sin((x e(x)-x)/2) cos((x e(x) x)/2) =
2 sin(e(x)/2) cos(x e(x)/2)

e(y)/e(x) = (2 sin(e(x)/2) cos(x e(x)/2) / (e(x) =
sin(e(x)/2) / (e(x)/2) * cos(x e(x)/2)

y' = lim(e(x) -> 0) e(y)/e(x) = lim(e(x)->0) sin(e(x)/2) / (e(x)/2) * lim(e(x)->0) cos(x e(x)/2)

Koska lim (e(x) ->0) sin(e(x)/2) /( e(x)/2) = 1 ja cos(x) on jatkuva funktio niin

y' = lim(e(x)->0) cos (x e(x)/2) = cos(x)

Käy tuo läpi kynän ja paperin avulla ja kirjoita e(x)-merkintäni tilalle delta x niin eiköhän tuo selviä.

Jos funktiolla u = g(x) on jossain pisteessä x derivaatta u' = g'(x) ja funktiolla y = f(u) on derivaatta pisteessä u = g(x) niin yhdistetyllä funktiolla y = f(g( x)) on derivaatta tuossa pisteessä x ja se on

dy/dx = df/du (u) * dg/dx (x)

missä u = g(x).

Tämä todistetaan paremmissa oppikirjoissa käyttämällä derivaatan määritelmää
g(x h) = g'(x) h a(h) h missä a(h) -> 0 kun h -> 0. Mitään lavennuksia ei tarvita eikä monotonisuutta tai nollasta eroavuutta.

Samanlainen todistus pätee silloinkin kun f: R^n -> R ja g: R -> R jolloin tietysti ao. suureet on otettava asianmukaisesti, siis differentiaali on lineaarinen kuvaus jne.

En rupea tässä differentiaalilaskennan oppituntia pitämään vaan kehoitan etsimään oikean todistuksen.

Jos käyttää Leibnizin merkintää df/dx = df/du * du/dx niin vastaava erotusosamääräyhtälö on

delta(f) / delta(x) = delta(f) / delta(u) * delta(u) / delta(x) jonka raja-arvo otetaan kun delta(x) -> 0. Vaikeus syntyy silloin siitä että delta(u) voi oplla 0 vaikka delta(x) =/ 0.

"Tarkoittaako tuo oletus, että sisäfunktion g on oltava aidosti monotoninen? Vai riittääkö, että kohdan x läheisyydessä funktio ei saa samaa arvoa?"

Jälkimmäinen. Esim g(x) = x^2 ei ole aidosti monotoninen, mutta g(x h) != g(x), kun h>0 on tarpeeksi pieni.

Todistuksen viimeistelemiseksi täytyy tutkia myös tapaus, jossa tätä oletusta ei voida tehdä eli on jono x_i, joka konvergoi x:ään ja g(x_i) = g(x) kaikilla i. Mutta tällöin

f(g(x_i)) - f(g(x)) = f(g(x)) - f(g(x)) = 0 kaikilla i

joten

lim_{h->0} [ ( f(g(x h)) - f(g(x)) / h ] = 0

sillä raja-arvon oletetaan olevan olemassa (f:n derivoituvuus) ja meillä on yksi jono (g(x_i)), jolle se on nolla, joten raja-arvon täytyy olla nolla.

Vastaavasti g'(x) = 0, joten haluttu yhtälö on voimassa.