Lammas on kiinnitetty 1m pitkässä narussa rautakankeen. Se syö ruohoa ympyrän muotoiselta alueelta. Kun lammas on syönyt ruohon, sen kiinnityspaikka siirretään ympyrän kehälle. Kuinka pitkä narun tulee nyt olla, jotta lammas saa syötyä yhtä paljon ruohoa kuin alkutilanteessa?
Lammastehtävä
Anonyymi
221277
1Äänestä
Muut lukivat myös
Luetuimmat keskustelut
- Älä unohda minuaNainen ethän unohda minua. Asiat olisivat voineet mennä toisin, olisi vain pitänyt uskaltaa lähestyä sinua kun annoit siihen mahdollisuuden. Olen pettynyt itseeni, ja se kyllä närästää. Naiselle Mieheltä
- Pitäisikö Vantaa liittää Helsinkiin.Mitä mieltä olette asiasta?
- Eläkeikä nousee 70 vuoteen. Joudunko palaamaan työelämään?Nyt se on sitten päätetty, että eläkeikä Suomessa nostetaan 70 vuoteen. https://www.is.fi/politiikka/art-2000012324133.html Pääsin 67 vuotiaana eläkkeelle viime syksynä. Tarkoittaakohan tämä, että joudun palaamaan takai…
- Moi kulta😍Eikös se ollut marraskuuta kun se meidän "flirttailu" alkoi silloin vuosia sitten? tarkoitan lähinnä niitä pitkiä katseita 🤩☺️ Kohta on siis maata mullistavien katseiden vuosipäivä 😘🤭
- Perussuomalaiset nostamassa eläkeiän 70 vuoteenRiikka Purran johtama valtiovarainministeriö haluaa nostaa eläkeiän 70 vuoteen ja taloutta sopeutettaisiin ensi vaalikaudella 8–11 miljardilla eurolla. Perussuomalaisten johtama ministeriö ilmeisesti arvelee, että seits…
- Kadutko mies?Silloin kuin vielä yritin lähestyä, etkä tarttunut siihen. Asioista pitäisi voida aina keskustella.
- Nyt on nytTurha miettiä menneitä tapahtumia. Niitä ei saa tekemättömäksi. Tärkeintä on mitä tekee nyt ja tulevaisuudessa. Korjausliikkeetkin voi tehdä jos niihin tuntee tarvetta. Paluu tulevaisuuteenkin voi olla mahdollinen jos v…
- Kyllä mulla oli tunteita sua kohtaan,mutta voit syyttää ainoastaan itseäsi, että en tehnyt mitään asian eteen. Se on ihan turhaa sinun miettiä, että miksi.
- Niin haluaisin sut nähdä ja jutella!🙂
- Onko tällainen kuvio teistä okOnko tällainen kuvio teidän mielestänne ihan normaali ja hyväksyttävä? Nainen seurustelee miehen kanssa, mutta pitää samaan aikaan läheistä yhteyttä toiseen mieheen kertomatta tälle toiselle, että on parisuhteessa. Tämä…
- Nyt kun kaikki on ohiToivon, että sulla menee hyvin ja pystyisin sinut kokonaan unohtamaan. Joskus on vaikeita hetkiä ja olen tosi pahoillani, miten sinua loukkasin ja loukkaan yhä. Se täytyy saada loppumaan.
- Pussaisitko mihinKohtaan?
- Tunnut niinKaukaiselta jo.
- Millaisen suhteenOlisit halunnut kaivattusi kanssa
- Hyvää huomentaEräälle Naiselle ❤️🩹
- Tikusta asiaaMistä ihmeestä minä keksin sulle edes jotensakin järkevää asiaa parn lauseen verran... anna joku idea että kehtaan lähestyä. -töistä tuttu mies
- Empaattiset ihmisetOnko empaattiset ihmiset, etenkin naiset antavaisempia, kun ns. tavikset? Kaverin puolesta kysyn Oisko niinku mahkui?
- TTK-juontaja Veronica Verho lataa suorat sanat tatuointien arvostelijoille: "Mä toivoisin, että..."Veronica Verho juontaa Tanssii Tähtien Kanssa -ohjelmaa yhdessä Ernest Lawsonin kanssa. Yksi puhuttaneimmista aiheista on ollut, miten suosikkijuontajan näyttävät tatuoinnit sopivat ohjelman pukuohjeistukseen ja tullaa…
- Mistä pastori Aittakumpu sai rohkeutta avioeroonJa puolueen vaihtoon? Ja Puhoksen retkelle?
- Et nosta minua ylösOk ei se mitään. Vajoan syvempiin vesiin💔
Vastaukset 22
Vanhimmat
Riippuu lampaasta. Jos se on ensimmäisessä ympyrässä syönyt niin paljon että jalat ei enää kannata, niin sitten ei narulla ole enää merkitystä.
Oisko+jatain+19+%+pitempi.
Itse+arvioin,+että+noin+25-26%+pidempi+mutta+mitään+yhtälöä+en+tähän+keksinyt.
Johdin+yhtälön+1-(r/R)^2+=+arccos+(R/2r),+siitä+tuo+19+%.
Mitä merkitset tehtävässä R- ja r-kirjaimella?
Olkoon rautakanki pisteessä (r,0). Tehtävän r = 1.Lammas syö ympyrän
(x - r)^2 y^2 = r^2 alueen pii*r^2.
Toinen ympyrä olkoon x^2 y^2 = R^2
Nähdään että R < 2r sillä muuten olisi syötävä ala >= pii* 4r^2 - pii*r^2 = pii *sqrt(3r)^2 > alunperin syöty ala pii*r^2.
Nyt voidaan laskea ympyröiden leikkauspisteiden koordinaatit. Näitä pisteitä yhdistää jänne jonka pituus on laskettavissa, olkoon se a.Syntyy kaksi ympyräsegmenttiä, R-säteisen ja r-säteisen ympyrän segmentit. Kummankin segmentin korkeudet h(R) ja h(r) avat nyt laskettavissa. Samoin keskuskulmat alfa(R) ja alfa(r) Näistä voi laskea segmenttien pinta-alat:
S(R) = R^2/2 (pii*alfa(R)/180 - sin(alfa(R)) ja S(r) kun R korvataan kaavassa suureella r. Näiden summa pitää vähentää alasta pii*R^2 ja jäljelle jäävän alueen pinta-alan tulee olla = pii*r^2.
Käytännön laskuja en nyt viitsi tehdä.
Näin se käy, sanoi Billy Pilgrim.
Lisäys: Segmenttien pinta-alat voi myös laskea kaavalla S(R) = 1/2(l(R)* R - a (R-h(R)) ja vastaavasti S(r). Tässä l(R) on keskuskulmaa alfa(R) vastaavan R-ympyrän kaaren pituus, Samoin kun R -> r.
Geogebralla: https://aijaa.com/bTrOWl minäkin saan että olisi r = 1.25
Koitin myös tehdä ne laskut, mutta sain yhtälön
(pi 2*asin(r/2))/2*r^2 - 2*asin(r/2) 1/2*r*sqrt(1-r^2/4) = pi
joten jokin meni vikaan, koska tuon ratkaisu on r = 1,33569.
Geogebra on jotenkin niin jähmeä, että mä tein vielä SageMath:illä:
----
g = Graphics()
r1 = 1
r2 = sqrt(2)
dispText = r"\sqrt{2}"
r2 = 1.25
dispText = str(float(r2))
g = circle((0,0), r1, zorder=1, color='blue')
g = circle((0,0), r1, fill=True, zorder=1, color='blue', alpha=0.4)
y = var('y')
x0 = find_root(sqrt(r1^2-x^2)-sqrt(r2^2-(r1-x)^2), r1-r2, r1)
y0 = sqrt(r1-x0^2)
ang = atan(y0/x0)
if ang<0: ang = pi
A1 = pi*r1^2
A_seg = (ang/(2*pi))*pi*r1^2 - 1/2*r1*(x0)
ang2 = atan(y0/(r1-x0))
A2 = ((2*pi-2*ang2)/(2*pi))*pi*r2^2 - 2*A_seg
print (float(A1))
print (float(A2))
print (round(10^7*(A1-A2))==0)
g = points((x0, y0), pointsize=30, color='red')
g = line([(x0, y0), (r1, 0)], color='green', thickness=3)
g = line([(0,0), (x0, y0)], color='black')
g = points((r1,0), pointsize=20)
g = circle((r1, 0), r2)
g = text(r"$r_2 = " dispText r"$", ((x0 y0)/2 0.1, (x0 y0)/2 0.1), color='black',
fontsize='x-large', horizontal_alignment='left')
g.plot()
----
Mutta jotenkin tuossakin tein laskut väärin! Alunperin sain että r2 pitäs olla sqrt(2) ja siis leikkaus tapahtua kohdassa x=0, mutta se on kanssa väärin.
Unohtakaa tuo y=var('y') . Eihän siitä haittaa ole mutta ei se tuossa mitään toimita.
SageMäthiä voi suorittaa kätevästi esim. täällä: https://sagecell.sagemath.org/ jos ei omalle koneelle halua asentaa.
Kun minulla oli kaava
A_seg = ang/(2pi)*pi - A_kolmio,
niin tämähän vähennetään kaksi kertaa, mutta unohdin viedä kakkosen myös A_kolmion, eteen eli kerroin 1/2 lähtee pois. Oikea yhtälö on
(pi 2*asin(r/2))/2*r^2 - 2*asin(r/2) r*sqrt(1-r^2/4) = pi
ja se antaa tuloksen
r = 1,2512125.
Eikös tämä menisi integroimallakin, jos on jokin hyvä sovellus? En ole kokeillut, koska käsin vaikutti aika työläältä...
Käsin integroimalla kannattaa käyttää napakoordinaatistoja, ja suorittaa integrointi kahdessa erillisessä osassa ja laskea sitten yhteen. Laitoin sen tohon paperille, jos se jotakuta kiinnostaa. Napakoordinaatistointegroinnit ei taida olla kuitenkaan lukiokamaa, joten ei tähän tarvitse takertua...tein aikani kuluksi.
https://aijaa.com/WGrG87
aeija
Eikös tämä menisi integroimallakin, jos on jokin hyvä sovellus? En ole kokeillut, koska käsin vaikutti aika työläältä...
Meneehän se integroimallakin mutta kuten eilen 15:42 esitin voidaan tehtävä ratkaista ihan alkeismenetelmin, mikä tavallaan on tyylikkäämpää. Käytetään tuon kommenttini merkintöjä.
Ympyröiden leikkauspisteet ovat X,Y) ja (X, -Y), missä
X = R^2/(2r) ja Y = R sqrt(1 - (R/(2r))^2). Rittää laskea x-akselin yläåuolella oleva ala A jolloin vähennettävä ala on 2 A.
A = Int(0 <= x <= X, 0 <= y <= sqrt(r^- (x-r)^2)) dx dy Int(X <= x <= R, 0 <= y <= sqrt(R^2 - x^2)) dx dy
Sitten täytyy olla
pii*R^2 - 2 A = pii* r^2.
Siinähän se menetelmä. Laskeskelkoon kuka halua ja käsin tai millä ohjelmalla nyt sitten haluaa.
Mutta näin se käy, sanoi Billy Pilgrim.
Sagessahan tosiaan on integrointikin olemassa. Numeerisella nyt ainakin, jotain se herjasi kun koitin ihan vaan
f1(x) = sqrt(1^2-x^2)
f2(x) = sqrt(1.25^2-(1-x)^2)
(f2-f1).integral()
Mutta numeerisesti onnistuu. Tein uuden koodin ja nyt se laskee alat oikein. Koodi osoitteessa: https://repl.it/@minkkilaukku2/lammaslaidunSAGE
Insinöörin tyylillä Excelin goalseekillä.
Muutetaan yhteisen jänteen pituutta, lasketaan pintaaloja ja lasketaan sopiva säde. (1,251m)
Tälläiset yksinkertaiset tehtävät voi ratkaista sekunnissa Pythonilla ihan numeerisesti. Ei tarvita edes mitään kirjasto-ohjelmia. Pienemmän ympyrän (r) keskipiste on origossa ja suuremman (R) y-akselilla pisteessä (0,r). Aluksi lasketaan 1 mm:n erottelulla. Kasvatetaan R:ää kunnes saavutetaan haluttu pinta-ala. Segmenttien pinta-alojen integrointi (1 mm:n viipaleiden summaus) sujuu yhden rivin koodilla for-silmukassa.
Kun on satu selville oikea mm määrä, voidaan tulosta tarkentaa muuttamalla koodi 100 kertaa tarkemmaksi R:n arvoilla 125100...125200. Ja r = 100000.
Ei tarvitse selitellä mitään mistään. Kaikki tulee suoraan oikein riittävällä tarkkuudella.
pi = 3.14159265
r = 1000
for R in range(1100,1500):
__xe = int(R*(1.0-R**2*1.0/(4*r**2))**(1.0/2))
__As = 0.0
__for x in range(0,xe): As = (r**2-x**2)**(1.0/2) (R**2-x**2)**(1.0/2) - r
__A = pi*R**2-2*As
__print( R,int(A),int(A-pi*r**2) )
__if A>pi*r**2: break
#print( R,int(A),int(A-pi*r**2) )
Onko tuo sinun mielestäsi tehtävän ratkaisemista?
Käytännön laskuissa tietokonetta tuleekin käyttää mutta kun on kyse tällaisesta rehtävästä josta pyydetään matemaattista ratkaisua niin kyllä se ratkaisutapa pitäisi antaa.
Mitä mielenkiintoisyta on tuon liekanarun pituuden numeroarvolla? Se on mielenkiintoista miten tulokseen päästään.
Palstalla alkaa esiintyä turhan usein tuollaisia "ratkaisuja". Yhtä hyvin voisit "kilauttaa kaverille" ja pyytää ratkaisemaan!
Mikä on ongelmasi? Opettele ensin lukemisen ymmärtämisen perusteet ja unohda kaikki kuvitelmasi ja luulosi ja olettamuksesi. Olet nyt totaalisesti täysin pihalla. Aivan kuten aina ennenkin. Keskity asioihin joista jotain ymmärrät. Opit matemaatiikan perusteet ehkä joskus tai sittet et ikinä. Oppiminen on todella vaikeaa tuolla asenteellasi!
Millähän tavoin lukujen syöttäminen tietokoneohjelmaan liittyy "matematiikan perusteisiin"?