Polynomi pisteiden kautta, pidä se positiivisena!

minkkilaukku

Kolmannen asteen polynomi p kulkee pisteiden
(0, 0)
(1, 1)
(2, a)
(3, 1)
kautta. Millä a:n arvoilla p(x)>=0 kaikilla x>=0?

3

163

Äänestä

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Anonyymi

      P(x) = b x^3 c x^2 d x e . Koska P(0) = 0 on e = 0.
      b c d = 1
      8 b 4 c 2 d = a
      27 b 9 c 3 d = 1
      Näistä selviää funktiot b = b(a), c = c(a) ja d = d(a).
      Nämä sijoitetaan polynomin kertoimiksi . Täytyy olla P(x) >= 0 kun x >= 0.
      P(x) = b(a) x^3 c(a) x^2 n d(a) x =x * (b(a) x^2 c(a) x d(a)).
      Täytyy olla b(a) x^2 c(a) x d(a) >= 0 kun x >= 0. Ja tuohan selviäätutkimalla tuota toisen asteen polynomia.

      • Anonyymi

        Tuli tuohon ylimääräinen n. Älkää välittäkö. Ei Villekään välittänyt vaikka...

      • minkkilaukku

        Tosiaan, siinähän voi suoraan tutkia polynomia b(a) x^2 c(a) x d(a) ja rajatapauksen saa sitten asettamalla diskriminantin nollaksi kun ratkaisee b(a) x^2 c(a) x d(a) = 0. Ratkaisuksi tulee

        a on väliltä [(2-sqrt(3))/3, (2 sqrt(3))/3].

        Ratkoin itse Sagella vähän pitemmän kaavan kautta. Tuon pisteiden kautta kulkevan polynomin saa muuten kätevästi Lagrangen interpolaatiopolynomina ja se on Sagessa valmiina. Otin polynomin kerroinkunnaksi Q(a), jotta saa muuttujan a mukaan.
        Polynomiksi tulee
        (2/3-a/2)x^3 (2a-3)x^2 (10/3-3/2a)x
        Ratkaisin huippukohdat derivaatan nollakohdista ja sitten sijoitin toisen (tämä jälkimmäinen huippukohta on määräävä) p:hen ja siitä sain epäyhtälön, josta ratkaisin a:n rajat (piti käyttää Wolfram Alphaa, kun en Sagella tiennyt miten sillä saisi).
        Ihmettelinkin mistä noin sievä ratkaisu tulee, mutta sieltähän se diskriminantin alta toisen asteen yhtälön ratkaisuna tulee.

    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Takaisin ylös

    Luetuimmat keskustelut

    1. Kovan viikon ilta pitäisi lakkauttaa

      Käytännössä pelkkää SDP:lle ilkkumista koko ohjelma veronmaksajien kustannuksella.
      Maailman menoa
      143
      5237

    2. Yksi kuoli kolarissa Outokummussa

      -toisen auton kuljettajaa epäillään rattijuopumuksesta. Toisen auton kyydissä oli kuljettajan lisäksi neljä ihmistä. Hei
      Outokumpu
      88
      4671

    3. Pakoputkipörisijä syttyi tuleen kesken ajon

      Kyydissä oli 7 henkilöä, mutta hyvä onni matkassa epäonnistuneesta käyttövoimavalinnasta huolimatta, eikä kukaan loukka
      Maailman menoa
      51
      4268

    4. Kalja-Kristus Kutsuu Luokseen

      Nyt on Oikea Hetki Ottaa Ryppyys Vastaan! Lue Pelastusryyppy ja tee Promillista elämäsi Herra! Pelastusryyppy on teksti
      Maailman menoa
      7
      3983

    5. Borat ärhäkkänä, syyttelee kokoomusta vilpin suojelusta

      Hänen mukaansa kokoomus seuraa ”toimettomana vierestä, kun vilpilliset firmat vievät urakat rehellisten nenän edestä”, j
      Maailman menoa
      12
      3771

    6. Sdp on esittänyt maatalous- ja yritystuista leikkaamista

      Joihin menee 10 miljardia euroa vuosittain. Minkä vuoksi äärioikeisto änkyttää jostain vuodesta 2026, kun ei demareiden
      Maailman menoa
      45
      3676

    7. Persut on SYYLLISIÄ KAIKKEEN NEGATIIVISEEN SUOMESSA

      , ne haluaa neuvostoliiton putinin kanssa takaisin, shit voi valvoa kaikkea ja kaikkia, no tietty makeeta mannaa itselle
      Perussuomalaiset
      31
      3615

    8. Perussuomalaisiin minä luotan

      Bensaa raaskii taas tankata ja ensi vuonna laskee ruoan verotus. Nämä muutokset parantavat pienituloisten asemaa.
      Maailman menoa
      55
      3363

    9. Kokoomus kannatti aiemmin rahoitusmarkkinaveroa - kanta nyt muuttunut

      Kokoomuksen linjanmuutos rahoitusmarkkinaveron suhteen on herättänyt kysymyksiä. Vielä aiemmin puolue antoi ymmärtää kan
      Maailman menoa
      1
      2383

    10. Anna palautetta kaivatullesi.

      Sana on vapaa!
      Ikävä
      191
      2321
    Aihe
    TietosuojaselosteKäyttöehdotEvästeasetuksetSäännöt