Polynomi pisteiden kautta, pidä se positiivisena!

minkkilaukku

Kolmannen asteen polynomi p kulkee pisteiden
(0, 0)
(1, 1)
(2, a)
(3, 1)
kautta. Millä a:n arvoilla p(x)>=0 kaikilla x>=0?

3

87

Äänestä

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Anonyymi

      P(x) = b x^3 c x^2 d x e . Koska P(0) = 0 on e = 0.
      b c d = 1
      8 b 4 c 2 d = a
      27 b 9 c 3 d = 1
      Näistä selviää funktiot b = b(a), c = c(a) ja d = d(a).
      Nämä sijoitetaan polynomin kertoimiksi . Täytyy olla P(x) >= 0 kun x >= 0.
      P(x) = b(a) x^3 c(a) x^2 n d(a) x =x * (b(a) x^2 c(a) x d(a)).
      Täytyy olla b(a) x^2 c(a) x d(a) >= 0 kun x >= 0. Ja tuohan selviäätutkimalla tuota toisen asteen polynomia.

      • Anonyymi

        Tuli tuohon ylimääräinen n. Älkää välittäkö. Ei Villekään välittänyt vaikka...

      • minkkilaukku

        Tosiaan, siinähän voi suoraan tutkia polynomia b(a) x^2 c(a) x d(a) ja rajatapauksen saa sitten asettamalla diskriminantin nollaksi kun ratkaisee b(a) x^2 c(a) x d(a) = 0. Ratkaisuksi tulee

        a on väliltä [(2-sqrt(3))/3, (2 sqrt(3))/3].

        Ratkoin itse Sagella vähän pitemmän kaavan kautta. Tuon pisteiden kautta kulkevan polynomin saa muuten kätevästi Lagrangen interpolaatiopolynomina ja se on Sagessa valmiina. Otin polynomin kerroinkunnaksi Q(a), jotta saa muuttujan a mukaan.
        Polynomiksi tulee
        (2/3-a/2)x^3 (2a-3)x^2 (10/3-3/2a)x
        Ratkaisin huippukohdat derivaatan nollakohdista ja sitten sijoitin toisen (tämä jälkimmäinen huippukohta on määräävä) p:hen ja siitä sain epäyhtälön, josta ratkaisin a:n rajat (piti käyttää Wolfram Alphaa, kun en Sagella tiennyt miten sillä saisi).
        Ihmettelinkin mistä noin sievä ratkaisu tulee, mutta sieltähän se diskriminantin alta toisen asteen yhtälön ratkaisuna tulee.

    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Takaisin ylös

    Luetuimmat keskustelut

    1. Neljä nuorta kuoli Nurmijärvellä, auto suistui jokeen Onnettomuuden tutkinta on vielä alussa.

      Neljä nuorta kuoli Nurmijärvellä, auto suistui jokeen Onnettomuuden tutkinta on vielä alussa. Poliisi sai lauantaina 4.
      Maailman menoa
      317
      11471

    2. Ja taas kerran

      Mutka ja joki. Kenties liikaa nopeutta. Miksi?
      Nurmijärvi
      217
      4873

    3. Tänään olisn uskaltanut

      Ainakin luulen, kun tänään oli jotenkin varma olo. Olisin vähintään sanonut moi ja jos olisit ollut yksin olisin pyytäny
      Ikävä
      11
      2578

    4. Taitaa olla aika

      laittaa kirjaimet esille. Kuka kaipaa ja ketä.
      Ikävä
      162
      1914

    5. Kirjoita jotain kivaa

      ja positiivista ikäväsi kohteesta. 🫠
      Ikävä
      129
      1891

    6. Tiedäthän että

      Pohdin paljon siirtymistä. Tulen surulliseksi tietyistä tai monistakin asioista. Siksi parempi kun saat elää vapaasti il
      Ikävä
      13
      1318

    7. Tiistaina nähdään.

      Pitkästä aikaa. Minua on alkanut jännittää kovasti se näkeminen ja miten taas osaan olla. En tiedä yhtään oletko kiinnos
      Ikävä
      92
      1228

    8. Rattoisaa lauantai iltaa

      Mitäs tänään tapahtuu? Mitäs kirsikalle kuuluu? Onko lähdössä iltaelämään? 😊✨💞🌆 Minä vietä taas yksinäistä koti-iltaa
      Ikävä
      241
      1146

    9. Sinusta jäi lopulta kuitenkin hyvä kuva

      Vaikka voit ajatella itsestäsi kaikkea, mitä siinä mylläkässä saattoi tapahtua, mutta näin se on. Seurasin kyllä, ja mon
      Ikävä
      40
      1050

    10. Mikset ala

      Vapaan ihmisen kanssa joka tykkää sinusta?
      Ikävä
      85
      944
    Aihe
    TietosuojaselosteKäyttöehdotEvästeasetuksetSäännöt