Polynomi pisteiden kautta, pidä se positiivisena!

Kolmannen asteen polynomi p kulkee pisteiden
(0, 0)
(1, 1)
(2, a)
(3, 1)
kautta. Millä a:n arvoilla p(x)>=0 kaikilla x>=0?

3

108

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Anonyymi

      P(x) = b x^3 c x^2 d x e . Koska P(0) = 0 on e = 0.
      b c d = 1
      8 b 4 c 2 d = a
      27 b 9 c 3 d = 1
      Näistä selviää funktiot b = b(a), c = c(a) ja d = d(a).
      Nämä sijoitetaan polynomin kertoimiksi . Täytyy olla P(x) >= 0 kun x >= 0.
      P(x) = b(a) x^3 c(a) x^2 n d(a) x =x * (b(a) x^2 c(a) x d(a)).
      Täytyy olla b(a) x^2 c(a) x d(a) >= 0 kun x >= 0. Ja tuohan selviäätutkimalla tuota toisen asteen polynomia.

      • Anonyymi

        Tuli tuohon ylimääräinen n. Älkää välittäkö. Ei Villekään välittänyt vaikka...


      • Tosiaan, siinähän voi suoraan tutkia polynomia b(a) x^2 c(a) x d(a) ja rajatapauksen saa sitten asettamalla diskriminantin nollaksi kun ratkaisee b(a) x^2 c(a) x d(a) = 0. Ratkaisuksi tulee

        a on väliltä [(2-sqrt(3))/3, (2 sqrt(3))/3].

        Ratkoin itse Sagella vähän pitemmän kaavan kautta. Tuon pisteiden kautta kulkevan polynomin saa muuten kätevästi Lagrangen interpolaatiopolynomina ja se on Sagessa valmiina. Otin polynomin kerroinkunnaksi Q(a), jotta saa muuttujan a mukaan.
        Polynomiksi tulee
        (2/3-a/2)x^3 (2a-3)x^2 (10/3-3/2a)x
        Ratkaisin huippukohdat derivaatan nollakohdista ja sitten sijoitin toisen (tämä jälkimmäinen huippukohta on määräävä) p:hen ja siitä sain epäyhtälön, josta ratkaisin a:n rajat (piti käyttää Wolfram Alphaa, kun en Sagella tiennyt miten sillä saisi).
        Ihmettelinkin mistä noin sievä ratkaisu tulee, mutta sieltähän se diskriminantin alta toisen asteen yhtälön ratkaisuna tulee.


    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Hei sinä nainen

      Haluan olla rehellinen – olet hämmentänyt minua todella paljon. En ota sinusta mitään selvää, ja ehkä juuri siksi huomaa
      Ikävä
      76
      2534
    2. Kelan perkeleellinen käytäntö

      Kun äiti joutuu hakemaan Kelalta tukia vähien tulojen tähden, niin aina otetaan huomioon lapsen tilillä olevat rahat. Ei
      Maailman menoa
      285
      2237
    3. Putin ei suostu tulitaukoon nyt kun Kurskin taistelut ovat kesken

      ja venäjä on viimein päässyt niskan päälle, suuren ylivoiman turvin. Ukraina ilmeisesti suorittaakin taktista vetäytymi
      Maailman menoa
      144
      1194
    4. Voi kulta rakas

      Kyllä minäkin olen sinuun rakastunut. Oisit avautunut tunteistasi aiemmin niin ei tarvitsisi kiertoteitä kuulla tästä. �
      Ikävä
      58
      993
    5. Miksi ette halua kaivattuanne

      Yksi syy tai tekosyy.
      Ikävä
      70
      898
    6. Sano nyt mitä

      Sinä oikein haluat?
      Ikävä
      72
      854
    7. Toivotko vielä et

      Päätyisimme yhteen?
      Ikävä
      76
      830
    8. Oletko kaivattusi

      Mielestä hyvä sängyssä🤔
      Ikävä
      71
      815
    9. Ketä sinä

      Odotat oikeasti. Miksen sulle totta olla saa.
      Ikävä
      106
      808
    10. Haluathan nainen edelleen?

      Että hän saa nauttia sinusta. Kun aika on...
      Ikävä
      65
      807
    Aihe