Kolmannen asteen polynomi p kulkee pisteiden
(0, 0)
(1, 1)
(2, a)
(3, 1)
kautta. Millä a:n arvoilla p(x)>=0 kaikilla x>=0?
Polynomi pisteiden kautta, pidä se positiivisena!
3
194
Vastaukset
- Anonyymi
P(x) = b x^3 c x^2 d x e . Koska P(0) = 0 on e = 0.
b c d = 1
8 b 4 c 2 d = a
27 b 9 c 3 d = 1
Näistä selviää funktiot b = b(a), c = c(a) ja d = d(a).
Nämä sijoitetaan polynomin kertoimiksi . Täytyy olla P(x) >= 0 kun x >= 0.
P(x) = b(a) x^3 c(a) x^2 n d(a) x =x * (b(a) x^2 c(a) x d(a)).
Täytyy olla b(a) x^2 c(a) x d(a) >= 0 kun x >= 0. Ja tuohan selviäätutkimalla tuota toisen asteen polynomia.- Anonyymi
Tuli tuohon ylimääräinen n. Älkää välittäkö. Ei Villekään välittänyt vaikka...
Tosiaan, siinähän voi suoraan tutkia polynomia b(a) x^2 c(a) x d(a) ja rajatapauksen saa sitten asettamalla diskriminantin nollaksi kun ratkaisee b(a) x^2 c(a) x d(a) = 0. Ratkaisuksi tulee
a on väliltä [(2-sqrt(3))/3, (2 sqrt(3))/3].
Ratkoin itse Sagella vähän pitemmän kaavan kautta. Tuon pisteiden kautta kulkevan polynomin saa muuten kätevästi Lagrangen interpolaatiopolynomina ja se on Sagessa valmiina. Otin polynomin kerroinkunnaksi Q(a), jotta saa muuttujan a mukaan.
Polynomiksi tulee
(2/3-a/2)x^3 (2a-3)x^2 (10/3-3/2a)x
Ratkaisin huippukohdat derivaatan nollakohdista ja sitten sijoitin toisen (tämä jälkimmäinen huippukohta on määräävä) p:hen ja siitä sain epäyhtälön, josta ratkaisin a:n rajat (piti käyttää Wolfram Alphaa, kun en Sagella tiennyt miten sillä saisi).
Ihmettelinkin mistä noin sievä ratkaisu tulee, mutta sieltähän se diskriminantin alta toisen asteen yhtälön ratkaisuna tulee.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
- 73883
Miltä se tuntuu
Miltä se tuntuu havahtua, että on ollut ihmistä kohtaan, joka on rakastanut ja varjellut, täysi m*lkku? Vai havahtuuko s104738- 36613
- 47603
- 36597
- 30591
- 40585
Mitä se olisi
Jos sinä mies saisit sanoa kaivatullesi mitä vain juuri nyt. Ilman mitään seuraamuksia yms. Niin mitä sanoisit?34557- 50550
- 36483