Polynomi pisteiden kautta, pidä se positiivisena!

minkkilaukku

Kolmannen asteen polynomi p kulkee pisteiden
(0, 0)
(1, 1)
(2, a)
(3, 1)
kautta. Millä a:n arvoilla p(x)>=0 kaikilla x>=0?

3

184

Äänestä

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Anonyymi

      P(x) = b x^3 c x^2 d x e . Koska P(0) = 0 on e = 0.
      b c d = 1
      8 b 4 c 2 d = a
      27 b 9 c 3 d = 1
      Näistä selviää funktiot b = b(a), c = c(a) ja d = d(a).
      Nämä sijoitetaan polynomin kertoimiksi . Täytyy olla P(x) >= 0 kun x >= 0.
      P(x) = b(a) x^3 c(a) x^2 n d(a) x =x * (b(a) x^2 c(a) x d(a)).
      Täytyy olla b(a) x^2 c(a) x d(a) >= 0 kun x >= 0. Ja tuohan selviäätutkimalla tuota toisen asteen polynomia.

      • Anonyymi

        Tuli tuohon ylimääräinen n. Älkää välittäkö. Ei Villekään välittänyt vaikka...

      • minkkilaukku

        Tosiaan, siinähän voi suoraan tutkia polynomia b(a) x^2 c(a) x d(a) ja rajatapauksen saa sitten asettamalla diskriminantin nollaksi kun ratkaisee b(a) x^2 c(a) x d(a) = 0. Ratkaisuksi tulee

        a on väliltä [(2-sqrt(3))/3, (2 sqrt(3))/3].

        Ratkoin itse Sagella vähän pitemmän kaavan kautta. Tuon pisteiden kautta kulkevan polynomin saa muuten kätevästi Lagrangen interpolaatiopolynomina ja se on Sagessa valmiina. Otin polynomin kerroinkunnaksi Q(a), jotta saa muuttujan a mukaan.
        Polynomiksi tulee
        (2/3-a/2)x^3 (2a-3)x^2 (10/3-3/2a)x
        Ratkaisin huippukohdat derivaatan nollakohdista ja sitten sijoitin toisen (tämä jälkimmäinen huippukohta on määräävä) p:hen ja siitä sain epäyhtälön, josta ratkaisin a:n rajat (piti käyttää Wolfram Alphaa, kun en Sagella tiennyt miten sillä saisi).
        Ihmettelinkin mistä noin sievä ratkaisu tulee, mutta sieltähän se diskriminantin alta toisen asteen yhtälön ratkaisuna tulee.

    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Takaisin ylös

    Luetuimmat keskustelut

    1. Kun Arman Alizad puolusti hiihtäjä Vilma Nissilää sanomalla

      "älä välitä sekopäistä Vilma", ja kun siitä kerrottiin täällä, niin sekopäinen mukasuvaitsevainen teki siitä valituksen
      Maailman menoa
      46
      3233

    2. Venezuela on hyvä esimerkki vasemmistolaisten pahuudesta

      Jokainen tietää, että Venezuelassa on pitkään ollut Chavezin ja Maduron vasemmistohallinto. Maan talous on romuttunut,
      Maailman menoa
      66
      2642

    3. Trump muka öljyn takia Venezuelaan? Pelkää mustamaalausta

      Kertokaapa mistä tuollainen uutisankka on saanut alkunsta? Näyttäkääpä ne alkuperäiset lähteet, minä en löytänyt mitään
      Maailman menoa
      66
      2457

    4. Ei tule uni

      Kuten epäilin. Onneksi viime yön sain ihan hyvin nukutuksi. Tiesin kyllä, ettei tästä mitään tänään tule.
      Ikävä
      62
      1348

    5. Miksi juuri Venezuela?

      Kaikista maailman valtioista Trump otti silmätikukseen Venezuelan. Mutta minkä ihmeen takia? Kyseessä on kuitenkin vähäp
      Maailman menoa
      303
      1273

    6. Miksei Trump ole kiinnostunut Suomen valloittamisesta?

      Täällähän on enemmän turvetta kuin Norjalla öljyä. Eikö Ttump ole turvenuija?
      Maailman menoa
      3
      1129

    7. Toivon sulle silti hyvää

      Väärinkäsityksiä tapahtuu, mutta nyt on uusi vuosi ja uudet kujeet.
      Ikävä
      41
      1026

    8. Jos mies olet oikeasti...?

      Kiinnostunut... Pyydä mut kunnolla treffeille ja laita itsesi likoon. En voi antaa sydäntä jos sinä olet epävarma ja eh
      Ikävä
      104
      1024

    9. Tiedän, että olet luonnevikainen

      Haluaisin vain todeta olleeni väärässä tässä asiassa.
      Ikävä
      42
      997

    10. Pitäisikö meidän

      Sitten nähdä ilman että siitä tehdään ongelmaa?
      Ikävä
      80
      991
    Aihe
    TietosuojaselosteKäyttöehdotEvästeasetuksetSäännöt