Polynomi pisteiden kautta, pidä se positiivisena!

minkkilaukku

Kolmannen asteen polynomi p kulkee pisteiden
(0, 0)
(1, 1)
(2, a)
(3, 1)
kautta. Millä a:n arvoilla p(x)>=0 kaikilla x>=0?

3

67

Äänestä

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Anonyymi

      P(x) = b x^3 c x^2 d x e . Koska P(0) = 0 on e = 0.
      b c d = 1
      8 b 4 c 2 d = a
      27 b 9 c 3 d = 1
      Näistä selviää funktiot b = b(a), c = c(a) ja d = d(a).
      Nämä sijoitetaan polynomin kertoimiksi . Täytyy olla P(x) >= 0 kun x >= 0.
      P(x) = b(a) x^3 c(a) x^2 n d(a) x =x * (b(a) x^2 c(a) x d(a)).
      Täytyy olla b(a) x^2 c(a) x d(a) >= 0 kun x >= 0. Ja tuohan selviäätutkimalla tuota toisen asteen polynomia.

      • Anonyymi

        Tuli tuohon ylimääräinen n. Älkää välittäkö. Ei Villekään välittänyt vaikka...

      • minkkilaukku

        Tosiaan, siinähän voi suoraan tutkia polynomia b(a) x^2 c(a) x d(a) ja rajatapauksen saa sitten asettamalla diskriminantin nollaksi kun ratkaisee b(a) x^2 c(a) x d(a) = 0. Ratkaisuksi tulee

        a on väliltä [(2-sqrt(3))/3, (2 sqrt(3))/3].

        Ratkoin itse Sagella vähän pitemmän kaavan kautta. Tuon pisteiden kautta kulkevan polynomin saa muuten kätevästi Lagrangen interpolaatiopolynomina ja se on Sagessa valmiina. Otin polynomin kerroinkunnaksi Q(a), jotta saa muuttujan a mukaan.
        Polynomiksi tulee
        (2/3-a/2)x^3 (2a-3)x^2 (10/3-3/2a)x
        Ratkaisin huippukohdat derivaatan nollakohdista ja sitten sijoitin toisen (tämä jälkimmäinen huippukohta on määräävä) p:hen ja siitä sain epäyhtälön, josta ratkaisin a:n rajat (piti käyttää Wolfram Alphaa, kun en Sagella tiennyt miten sillä saisi).
        Ihmettelinkin mistä noin sievä ratkaisu tulee, mutta sieltähän se diskriminantin alta toisen asteen yhtälön ratkaisuna tulee.

    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Takaisin ylös

    Luetuimmat keskustelut

    1. Kuvat! Dannyyn liitetty Helmi Loukasmäki, 22, on puhjennut naisena kukkaan - Some sekoaa: "Sä..."

      Ooo, kaunis aikuinen nainen Helmistä on kasvanut siinä yli 80-vuotiaan Dannyn rinnalla! Katso uudet kuvat: https://ww
      Suomalaiset julkkikset
      54
      3807

    2. Henkirikos Alakylässä

      Nainen löydetty elottomana, mies otettu kiinni. Mitä on tapahtunut?
      Seinäjoki
      47
      2701

    3. Suodatinpussin kastelemalla saa parempaa kahvia

      Kokeilin niksiä ja kyllä tämä kahvi on parempaa nyt. Ei lainkaan maistu paperiselta. Huljuttelee hanan alla suppiloa pap
      Maailman menoa
      131
      2037

    4. Tidätkö nainen

      että suoraan sanottuna v.tut.aa että pääsit näin lähelle minua. Ei olisi oikeasti aikaa tähän mutta silti aina välillä o
      Ikävä
      102
      1763

    5. Mikä on kaivattusi etunimi?

      Otsikossa siis on kysymys eriteltynä. Vain oikeat vastaukset hyväksytään.
      Ikävä
      57
      1206

    6. Onkohan sinulla kaikki hyvin?

      Nyt vähän sellainen outo tunne tuli. Sinun asiasi niin ei minulle toki tarvitse kertoa. Kunhan mietin...
      Ikävä
      38
      1137

    7. Viimeinen reissu tälle kesälle

      Pian se syksy on. Hyvää huomenta ja aurinkoista päivää. ☕🌞🍁🌻🐺❤️
      Ikävä
      173
      1036

    8. En kestä katsoa

      Sitä miten sinusta on muut kiinnostuneita. Olen kateellinen. Siksi pitäisi lähteä pois
      Ikävä
      84
      976

    9. Huikeeta, mahtavaa, ihan mielettömän upeeta

      Me ostettiin talo Espanjasta. Tosin saadaan käyttää sitä vain muutama viikko vuodessa kun on monta muutakin ostajaa! M
      Kotimaiset julkkisjuorut
      177
      957

    10. Oho! Arja Koriseva paljastaa TTK:n ekasta suorasta lähetyksestä: "On vähän ärsyttävä yhtälö!"

      Upea Arja Koriseva! Tsemppiä haasteelliseen tilanteeseen! Lue lisää: https://www.suomi24.fi/viihde/oho-arja-koriseva-
      Suomalaiset julkkikset
      14
      914
    Aihe
    TietosuojaselosteKäyttöehdotEvästeasetuksetSäännöt