Integaali (x*ln(x)) potenssiin n nollasta ykköseen

minkkilaukku

Yritän laskea, Leibnizin metodiksiko sitä nyt kutsutaan kun lisätään uusi parametri, jonka jollain arvolla integraali saadaan ja derivoidaan (ja siirretään integraalimerkin alle)(?), tuollaista. Siis minä laitan t:n ln(x):ään eli ln(tx). Täällä on laskuni: https://www.desmos.com/calculator/bh4rvon3xa . Olen jo arvannut kaavan integraalin arvolle

n! / (n 1)^(n 1),

mutta tuossa laskemisessa on yksi kohta jota en saa menemään: Kun lasketaan I_n(t):tä, niin sinne tulee ylimääräinen x:ä. Desmoksessa g on I'(t) ja siinä alla on se muoto, johon pääsin. Miten tuosta? Pitäisikö antaa x:n potenssin olla m ja johtaa yleisempi kaava. Kokeilin osittaisintegraatiota, mutta sekään ei mielestäni toiminut.

11

276

Äänestä

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • minkkilaukku

      Siis integraalista tulee mukavasti n ulos, joka johtaa rekursiivisesti n!:ään kun saataisiin jäämään alempi I_n. Mutta mistäs 1/(n 1)^(n 1) saadaan? Merkitsen siis integraalia I_n(t). Derivaatalle saadaan

      I_n'(t) = n/t integraali nollasta ykköseen x (x*ln(tx))^(n-1) dx

      mutta tuosta en osaa jatkaa. Mitenkäs I_n(t) saadaan derivaatasta, ei oikein uskalla integroidakaan (vai mistä mihin (ykköseen oletettavasti) pitäisi??)

    • Anonyymi

      En nyt ehkä ihan saa esityksestäsi selvää mitä varsinaisesti tarkoitat. Kuitenkin, kts. Wikipedia: Leibnitz integral rule. Onko tuo Feynmanin temppu etsimäsi?

      • Anonyymi

        Sori. P.o. : Leibniz

      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Sori. P.o. : Leibniz

        Vielä lisäys: Mihin tässä osittaisintegrointia kummempaa tarvitaan? Jo sillä on helppo osoittaa että vähän yleisemmin:

        Int(0 <= x <= 1) (x^m (ln(x))^n) dx = (- 1)^n * n! / (m 1)^(n 1)

      • minkkilaukku
        Anonyymi kirjoitti:

        Vielä lisäys: Mihin tässä osittaisintegrointia kummempaa tarvitaan? Jo sillä on helppo osoittaa että vähän yleisemmin:

        Int(0 <= x <= 1) (x^m (ln(x))^n) dx = (- 1)^n * n! / (m 1)^(n 1)

        Joo, Feynmanin tempusta oli kyse. Joo, nyt näänkin, että kun ottaakin x^m * ln(x)^n, niin on helpompi. Eka tapaus n=0 tulee suoraan integroimalla ja sitten induktiivisesti joko osittaisintegroinnilla, tai Leibnizilä:

        I_n,m ' (t) = n/t (n-1)! / ((n 1)^m t^(n-1))

        eli sinne tulee t^(-n), joka integroidaan -1/(n 1) t^(-n 1):ksi eli sitä kauttahan se (n 1)^(m 1) tulee.
        Tuota toisen parametrin m ottamista vähän ounastelinkin, mutta en jotenkin vienyt ajatusta loppuun :D.

      • Anonyymi
        minkkilaukku kirjoitti:

        Joo, Feynmanin tempusta oli kyse. Joo, nyt näänkin, että kun ottaakin x^m * ln(x)^n, niin on helpompi. Eka tapaus n=0 tulee suoraan integroimalla ja sitten induktiivisesti joko osittaisintegroinnilla, tai Leibnizilä:

        I_n,m ' (t) = n/t (n-1)! / ((n 1)^m t^(n-1))

        eli sinne tulee t^(-n), joka integroidaan -1/(n 1) t^(-n 1):ksi eli sitä kauttahan se (n 1)^(m 1) tulee.
        Tuota toisen parametrin m ottamista vähän ounastelinkin, mutta en jotenkin vienyt ajatusta loppuun :D.

        Sekoiletko? Katsohan tarkemmin esittämääni tulosta.Siinä esiintyy (m 1)^(n 1) ja lisäksi (- 1)^n.

      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Sekoiletko? Katsohan tarkemmin esittämääni tulosta.Siinä esiintyy (m 1)^(n 1) ja lisäksi (- 1)^n.

        Joo, miinus merkki unohtu mainita kaavoissa, mutta -1/(n 1) t^(-n 1):ksi :ssahan se on, joten -1 tulee joka kerta tekijäksi, joten yhteensä juuri (-1)^n. Huomasin kyllä kun olin jo viestin laittanut :D.

      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Joo, miinus merkki unohtu mainita kaavoissa, mutta -1/(n 1) t^(-n 1):ksi :ssahan se on, joten -1 tulee joka kerta tekijäksi, joten yhteensä juuri (-1)^n. Huomasin kyllä kun olin jo viestin laittanut :D.

        Ei ole tarkoitukseni jankuttaa pikku asiasta mutta kiinnitin tuon - merkin lisäksi huomiotani siihen että viestissäsi / eilen 15:20 olivat m ja n vaihtaneet paikkaa ja lauseke oli virheellinen. Sitten kun n = m tuo ei enää näy.
        Sinulla luki " ...kauttahan se (n 1)^(m 1) tulee".

      • minkkilaukku
        Anonyymi kirjoitti:

        Ei ole tarkoitukseni jankuttaa pikku asiasta mutta kiinnitin tuon - merkin lisäksi huomiotani siihen että viestissäsi / eilen 15:20 olivat m ja n vaihtaneet paikkaa ja lauseke oli virheellinen. Sitten kun n = m tuo ei enää näy.
        Sinulla luki " ...kauttahan se (n 1)^(m 1) tulee".

        Totta, ei se taida mennäkään läpi. Miten tästä jatkettaisiin:

        I_m,n'(t)
        = int_0^1 nx^m * ln(tx)^(n-1) * x /(tx) * x dx
        = n/t int_0^1 x^(m 1) ln(tx)^(n-1)

        Nyt t:n mukana olo tuo kuitenkin vaikeuksia. Mikä pitää ottaa induktio-oletukseksi (tai siis eihän sitä saa tuosta vaan ottaa vaan sen pitää olla totta). Ehkä ilman derivointia olisi helpompi. Osittaisintegroinnissa u = x^m ja v' = ln(x)^n (?) Mutta näin tämän tehtävän interointi merkin alla derivoinnin sovellutuksena, niin pitäisihän se jotenkin sitenkin mennä.

      • Anonyymi
        minkkilaukku kirjoitti:

        Totta, ei se taida mennäkään läpi. Miten tästä jatkettaisiin:

        I_m,n'(t)
        = int_0^1 nx^m * ln(tx)^(n-1) * x /(tx) * x dx
        = n/t int_0^1 x^(m 1) ln(tx)^(n-1)

        Nyt t:n mukana olo tuo kuitenkin vaikeuksia. Mikä pitää ottaa induktio-oletukseksi (tai siis eihän sitä saa tuosta vaan ottaa vaan sen pitää olla totta). Ehkä ilman derivointia olisi helpompi. Osittaisintegroinnissa u = x^m ja v' = ln(x)^n (?) Mutta näin tämän tehtävän interointi merkin alla derivoinnin sovellutuksena, niin pitäisihän se jotenkin sitenkin mennä.

        Kaava on siis

        Int(0,1) (x^m * (log(x))^n) dx = (- 1)^n * n!/(m 1)^(n 1)
        Kirjoitin nyt matematiikassa yleiseen tapaan log tuon ln-merkinnän sijasta. Harvemmin muita logaritmeja teoreettisissa käsittelyissä käytetään.

        Int(0,1) (x^m (log(x))dx = Int(0,1) (log(x) d(x^(m 1) / (m 1)) = Sij(0,1) (log(x) x^(m 1)/(m 1)
        - Int(0,1) (1/(m 1) * x^m)dx = - 1/(m 1)^2
        Kaava pitää siis paikkansa kun n = 1.

        Oletetaan nyt että kaava pätee arvoilla n ja m.

        Int(0,1) (x^m (log(x))^(n 1)) dx = Int(0,1) ((log(x))^(n 1) d(x^(m 1)/(m 1) =

        Sij(0,1) ((log(x))^(n 1) * x^(m 1)/(m 1) - Int(0,1) (x^(m 1)/(m 1) * (n 1) (log(x))^n* 1/x) dx=
        -(n 1)/(m 1)* Int(0,1) (x^m (log(x))^n)dx =
        -(n 1)/(m 1) * (- 1)^n * n!/((m 1)^(n 1) = (- 1) (n 1) * (n 1)!/(m 1)^(n 2)

        MOT

      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Kaava on siis

        Int(0,1) (x^m * (log(x))^n) dx = (- 1)^n * n!/(m 1)^(n 1)
        Kirjoitin nyt matematiikassa yleiseen tapaan log tuon ln-merkinnän sijasta. Harvemmin muita logaritmeja teoreettisissa käsittelyissä käytetään.

        Int(0,1) (x^m (log(x))dx = Int(0,1) (log(x) d(x^(m 1) / (m 1)) = Sij(0,1) (log(x) x^(m 1)/(m 1)
        - Int(0,1) (1/(m 1) * x^m)dx = - 1/(m 1)^2
        Kaava pitää siis paikkansa kun n = 1.

        Oletetaan nyt että kaava pätee arvoilla n ja m.

        Int(0,1) (x^m (log(x))^(n 1)) dx = Int(0,1) ((log(x))^(n 1) d(x^(m 1)/(m 1) =

        Sij(0,1) ((log(x))^(n 1) * x^(m 1)/(m 1) - Int(0,1) (x^(m 1)/(m 1) * (n 1) (log(x))^n* 1/x) dx=
        -(n 1)/(m 1)* Int(0,1) (x^m (log(x))^n)dx =
        -(n 1)/(m 1) * (- 1)^n * n!/((m 1)^(n 1) = (- 1) (n 1) * (n 1)!/(m 1)^(n 2)

        MOT

        Johan tuohon kerkesi ainakin yksi kirjoitusvirhe. viimeisen yhtäläisyysmerkin jälkeen tulee olla
        (- 1)^(n 1) * (n 1)!/ (m 1)^(n 2)
        Kenkkuja kirjoitettavia tämmöiset!

    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Takaisin ylös

    Luetuimmat keskustelut

    1. Riikka Purra lupasi Suomen kansalle 1 euron bensaa, hinta nyt 2 euroa

      Vasemmistolaisen Marinin hallituksen aikana bensa ei maksanut kuin 1,3 euroa litralta. Ministerin pitäisi perustuslain m
      Maailman menoa
      189
      4918

    2. Suvi Lindenillä 5 366 päivän putki

      Täytyy kyllä myöntää vaikka olen itsekin innokas, niin en ole tuollaiseen yli kymmenen vuoden putkeen kyennyt. Välillä o
      Maailman menoa
      106
      3999

    3. Mistä se kertoo

      Näin miehen pitkästä aikaa. Samantien iski sellainen paineen tunne rintaan, sitä ei ole ollut vuosiin. Ja nyt olen siitä
      Ikävä
      36
      3589

    4. Eräs on taas viettänyt kokoyön täällä!!

      Etkö sä nuku koskaan??
      Ikävä
      51
      3420

    5. Kohdataanko me

      Enää?
      Ikävä
      56
      3419

    6. Rakkaalle miehelle

      Terveiset rakas. Ikävä on edelleen. Suru valtaa sydämen, kun en saa lähestyä sinua. En saa vastauksia, en soittoa, viest
      Ikävä
      36
      2868

    7. Nyt on sanottava että sattuu kipeästi

      Jos, sinä aikana kun olen kaivannut ja odottanut sinua ja olet tiennyt sen, niin jos valitsit toisen miehen. Katsot minu
      Ikävä
      18
      2569

    8. Olipa turha tämä

      Rakkaustarinamme
      Ikävä
      23
      2306

    9. UMK-juontajakaksikon pari isoa "mokaa" ihmetyttää - Mitäs tykkäsit Syköstä ja Uotisesta juontajina?

      Tänä vuonna UMK-lavalla nähtiin artistien lisäksi juontajakolmikko Jorma Uotinen, Sami Sykkö ja Jasmin Beloued. Juontami
      Euroviisut
      21
      1929

    10. Jussi "Mestari" Halal-ahon sotilasarvo?

      Minä vuonna Jussille myönnettiin sotilasansiomitali? Vai myönnettiinkö Jussille sotilasansiomitalia lainkaan?
      Maailman menoa
      36
      1788
    Aihe
    TietosuojaselosteKäyttöehdotEvästeasetuksetSäännöt