Yritän laskea, Leibnizin metodiksiko sitä nyt kutsutaan kun lisätään uusi parametri, jonka jollain arvolla integraali saadaan ja derivoidaan (ja siirretään integraalimerkin alle)(?), tuollaista. Siis minä laitan t:n ln(x):ään eli ln(tx). Täällä on laskuni: https://www.desmos.com/calculator/bh4rvon3xa . Olen jo arvannut kaavan integraalin arvolle
n! / (n 1)^(n 1),
mutta tuossa laskemisessa on yksi kohta jota en saa menemään: Kun lasketaan I_n(t):tä, niin sinne tulee ylimääräinen x:ä. Desmoksessa g on I'(t) ja siinä alla on se muoto, johon pääsin. Miten tuosta? Pitäisikö antaa x:n potenssin olla m ja johtaa yleisempi kaava. Kokeilin osittaisintegraatiota, mutta sekään ei mielestäni toiminut.
Integaali (x*ln(x)) potenssiin n nollasta ykköseen
11
98
Vastaukset
Siis integraalista tulee mukavasti n ulos, joka johtaa rekursiivisesti n!:ään kun saataisiin jäämään alempi I_n. Mutta mistäs 1/(n 1)^(n 1) saadaan? Merkitsen siis integraalia I_n(t). Derivaatalle saadaan
I_n'(t) = n/t integraali nollasta ykköseen x (x*ln(tx))^(n-1) dx
mutta tuosta en osaa jatkaa. Mitenkäs I_n(t) saadaan derivaatasta, ei oikein uskalla integroidakaan (vai mistä mihin (ykköseen oletettavasti) pitäisi??)- Anonyymi
En nyt ehkä ihan saa esityksestäsi selvää mitä varsinaisesti tarkoitat. Kuitenkin, kts. Wikipedia: Leibnitz integral rule. Onko tuo Feynmanin temppu etsimäsi?
- Anonyymi
Sori. P.o. : Leibniz
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Sori. P.o. : Leibniz
Vielä lisäys: Mihin tässä osittaisintegrointia kummempaa tarvitaan? Jo sillä on helppo osoittaa että vähän yleisemmin:
Int(0 <= x <= 1) (x^m (ln(x))^n) dx = (- 1)^n * n! / (m 1)^(n 1) Anonyymi kirjoitti:
Vielä lisäys: Mihin tässä osittaisintegrointia kummempaa tarvitaan? Jo sillä on helppo osoittaa että vähän yleisemmin:
Int(0 <= x <= 1) (x^m (ln(x))^n) dx = (- 1)^n * n! / (m 1)^(n 1)Joo, Feynmanin tempusta oli kyse. Joo, nyt näänkin, että kun ottaakin x^m * ln(x)^n, niin on helpompi. Eka tapaus n=0 tulee suoraan integroimalla ja sitten induktiivisesti joko osittaisintegroinnilla, tai Leibnizilä:
I_n,m ' (t) = n/t (n-1)! / ((n 1)^m t^(n-1))
eli sinne tulee t^(-n), joka integroidaan -1/(n 1) t^(-n 1):ksi eli sitä kauttahan se (n 1)^(m 1) tulee.
Tuota toisen parametrin m ottamista vähän ounastelinkin, mutta en jotenkin vienyt ajatusta loppuun :D.- Anonyymi
minkkilaukku kirjoitti:
Joo, Feynmanin tempusta oli kyse. Joo, nyt näänkin, että kun ottaakin x^m * ln(x)^n, niin on helpompi. Eka tapaus n=0 tulee suoraan integroimalla ja sitten induktiivisesti joko osittaisintegroinnilla, tai Leibnizilä:
I_n,m ' (t) = n/t (n-1)! / ((n 1)^m t^(n-1))
eli sinne tulee t^(-n), joka integroidaan -1/(n 1) t^(-n 1):ksi eli sitä kauttahan se (n 1)^(m 1) tulee.
Tuota toisen parametrin m ottamista vähän ounastelinkin, mutta en jotenkin vienyt ajatusta loppuun :D.Sekoiletko? Katsohan tarkemmin esittämääni tulosta.Siinä esiintyy (m 1)^(n 1) ja lisäksi (- 1)^n.
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Sekoiletko? Katsohan tarkemmin esittämääni tulosta.Siinä esiintyy (m 1)^(n 1) ja lisäksi (- 1)^n.
Joo, miinus merkki unohtu mainita kaavoissa, mutta -1/(n 1) t^(-n 1):ksi :ssahan se on, joten -1 tulee joka kerta tekijäksi, joten yhteensä juuri (-1)^n. Huomasin kyllä kun olin jo viestin laittanut :D.
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Joo, miinus merkki unohtu mainita kaavoissa, mutta -1/(n 1) t^(-n 1):ksi :ssahan se on, joten -1 tulee joka kerta tekijäksi, joten yhteensä juuri (-1)^n. Huomasin kyllä kun olin jo viestin laittanut :D.
Ei ole tarkoitukseni jankuttaa pikku asiasta mutta kiinnitin tuon - merkin lisäksi huomiotani siihen että viestissäsi / eilen 15:20 olivat m ja n vaihtaneet paikkaa ja lauseke oli virheellinen. Sitten kun n = m tuo ei enää näy.
Sinulla luki " ...kauttahan se (n 1)^(m 1) tulee". Anonyymi kirjoitti:
Ei ole tarkoitukseni jankuttaa pikku asiasta mutta kiinnitin tuon - merkin lisäksi huomiotani siihen että viestissäsi / eilen 15:20 olivat m ja n vaihtaneet paikkaa ja lauseke oli virheellinen. Sitten kun n = m tuo ei enää näy.
Sinulla luki " ...kauttahan se (n 1)^(m 1) tulee".Totta, ei se taida mennäkään läpi. Miten tästä jatkettaisiin:
I_m,n'(t)
= int_0^1 nx^m * ln(tx)^(n-1) * x /(tx) * x dx
= n/t int_0^1 x^(m 1) ln(tx)^(n-1)
Nyt t:n mukana olo tuo kuitenkin vaikeuksia. Mikä pitää ottaa induktio-oletukseksi (tai siis eihän sitä saa tuosta vaan ottaa vaan sen pitää olla totta). Ehkä ilman derivointia olisi helpompi. Osittaisintegroinnissa u = x^m ja v' = ln(x)^n (?) Mutta näin tämän tehtävän interointi merkin alla derivoinnin sovellutuksena, niin pitäisihän se jotenkin sitenkin mennä.- Anonyymi
minkkilaukku kirjoitti:
Totta, ei se taida mennäkään läpi. Miten tästä jatkettaisiin:
I_m,n'(t)
= int_0^1 nx^m * ln(tx)^(n-1) * x /(tx) * x dx
= n/t int_0^1 x^(m 1) ln(tx)^(n-1)
Nyt t:n mukana olo tuo kuitenkin vaikeuksia. Mikä pitää ottaa induktio-oletukseksi (tai siis eihän sitä saa tuosta vaan ottaa vaan sen pitää olla totta). Ehkä ilman derivointia olisi helpompi. Osittaisintegroinnissa u = x^m ja v' = ln(x)^n (?) Mutta näin tämän tehtävän interointi merkin alla derivoinnin sovellutuksena, niin pitäisihän se jotenkin sitenkin mennä.Kaava on siis
Int(0,1) (x^m * (log(x))^n) dx = (- 1)^n * n!/(m 1)^(n 1)
Kirjoitin nyt matematiikassa yleiseen tapaan log tuon ln-merkinnän sijasta. Harvemmin muita logaritmeja teoreettisissa käsittelyissä käytetään.
Int(0,1) (x^m (log(x))dx = Int(0,1) (log(x) d(x^(m 1) / (m 1)) = Sij(0,1) (log(x) x^(m 1)/(m 1)
- Int(0,1) (1/(m 1) * x^m)dx = - 1/(m 1)^2
Kaava pitää siis paikkansa kun n = 1.
Oletetaan nyt että kaava pätee arvoilla n ja m.
Int(0,1) (x^m (log(x))^(n 1)) dx = Int(0,1) ((log(x))^(n 1) d(x^(m 1)/(m 1) =
Sij(0,1) ((log(x))^(n 1) * x^(m 1)/(m 1) - Int(0,1) (x^(m 1)/(m 1) * (n 1) (log(x))^n* 1/x) dx=
-(n 1)/(m 1)* Int(0,1) (x^m (log(x))^n)dx =
-(n 1)/(m 1) * (- 1)^n * n!/((m 1)^(n 1) = (- 1) (n 1) * (n 1)!/(m 1)^(n 2)
MOT - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Kaava on siis
Int(0,1) (x^m * (log(x))^n) dx = (- 1)^n * n!/(m 1)^(n 1)
Kirjoitin nyt matematiikassa yleiseen tapaan log tuon ln-merkinnän sijasta. Harvemmin muita logaritmeja teoreettisissa käsittelyissä käytetään.
Int(0,1) (x^m (log(x))dx = Int(0,1) (log(x) d(x^(m 1) / (m 1)) = Sij(0,1) (log(x) x^(m 1)/(m 1)
- Int(0,1) (1/(m 1) * x^m)dx = - 1/(m 1)^2
Kaava pitää siis paikkansa kun n = 1.
Oletetaan nyt että kaava pätee arvoilla n ja m.
Int(0,1) (x^m (log(x))^(n 1)) dx = Int(0,1) ((log(x))^(n 1) d(x^(m 1)/(m 1) =
Sij(0,1) ((log(x))^(n 1) * x^(m 1)/(m 1) - Int(0,1) (x^(m 1)/(m 1) * (n 1) (log(x))^n* 1/x) dx=
-(n 1)/(m 1)* Int(0,1) (x^m (log(x))^n)dx =
-(n 1)/(m 1) * (- 1)^n * n!/((m 1)^(n 1) = (- 1) (n 1) * (n 1)!/(m 1)^(n 2)
MOTJohan tuohon kerkesi ainakin yksi kirjoitusvirhe. viimeisen yhtäläisyysmerkin jälkeen tulee olla
(- 1)^(n 1) * (n 1)!/ (m 1)^(n 2)
Kenkkuja kirjoitettavia tämmöiset!
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Minä itkin kotona kun tajusin että
Pelkuruuteni takia kun en lähestynyt vaikka järjestit otollisen hetken ja myöhemmin huomasin lasittuneen katseesi miten111575Muistutus t-Naiselle.
Olet ilkeä ja narsistinen k-pää. Annat itsestäsi kiltin kuvan ulospäin kelataksesi ihmiset ansaan. Sitten päsmäröit, hau1511292Ylen jälkiviisaat estotonta Kamala Harris suitsutusta
Kolme samanmielistä naikkosta hehkutti Kamala Harrisia ja haukkui Trumpia estottomasti. Nyt oli tarkoituksella valittu2821226Oho! Varmistusta odotellaan.
Pitäneekö paikkansa? "🇺🇦Ukrainian drones hit a 🇷🇺Russian Tu-22M3 bomber at the Olenya airfield,"1101040Mää oikeasti vielä kuolen
Tämän tilanteen takia. Minä tosissani yritin ja tiedän että tämä tilanne sattuu sinuunkin. Molemmat taidetaan olla niin42867Kun Suomen uutisiin ei voi luottaa?
Kertoisitteko te uutismaailmasn perehtyneet ASIANTUNTIJAT nyt sitten sen, mihin voi?218797Oiskohan se aika
Selvittää pää vihdoin ja viimein. Minun kaivattu ei todellakaan käy täällä ja piste. Ei ole mitään järkeä enää tuhlata t4785- 24719
- 42685
Kristitty kuvittelee olevansa Jumalan yläpuolella
Kristinusko eroaa muista väkivaltaisuuden osalta, henkisen väkivallan, pakottamaisen osalta. Psyykkinen väkivalta on jop373658