Pallomainen, viiden kuutiometrin kokoinen säiliö täytetään vedellä. Veden tilavuusvirta on 20 litraa minuutissa.
Mikä on säiliön pinnan nousunopeuden minimi? Entä keskiarvo?
Mikä on säiliön pinnan nousunopeuden minimi? Entä keskiarvo?
Pallosäiliön täyttö
Anonyymi
13176
1Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 13
Vanhimmat
Tilavuusvirta on poikkipinta-ala*pinnan nopeus, ja on kokoajan vakio, eli nopeus on pienin, kun ala on suurin, eli siinä päivän tasaajalla.
Lasketaan koko pallon tilavuudesta R, jolla lasketaan se päivän tasaajan poikkipinta-ala.
Pinnan nopeus on sitten (0.02/60)/ päivän tasaajan poikkipinta-ala.
Tuosta tulisi noin 9.43*10^-5 (m/s)
Se keskiarvo voisi olla, paremman tiedon puuttuessa:
2R korkean ja 5 kuution tilavuuden omaavan lieriön poikkipinta-ala*v=0.02/60.
Tämä on kyllä pelkkä arvelu...tästä tulisi noin 14.14*10^-5 (m/s)
Tulisiko keskiarvo, jos pallon halkaisija jaettaisiin täyttymisajalla?
Tuo taitaa olla yleisempikin totuus, eli kun säiliön korkeus jaetaan säiliön täyttymisajalla, niin saadaan keskiarvo säiliön pinnan nousunopeudelle. Aivan säiliön muodosta riippumatta.
Joku viitseliäs todistakoon asian matemaattisesti.
Totta! Olkoon täyttymisaika T ja h(t) korkeus hetkellä t. Analyysin peruslauseen mukaan
integraali 0:sta T:hen { h'(t) 1/T }
= 1/T * (h(T) - h(0))
= h(T) / T
Olkoon pallon säde R (dm) ja virtausnopeus k (l/min). Merkitään T (min) aikaa jolloin säiliö tulee täyteen eli T = 4pi/(3k)*R^3 = 5000/k.
Ratkaistaan ensin tilavuus V(h), kun korkeus on h. Rajoitetaan tässä h välille [0, R] eli täytetään pallo vain puolilleen. (Yläosan täyttö on symmetrinen). Esim integroimalla saadaan
V(h) = -pi/3 h^3 pi*R*h^2
Nyt tilavuus V on ajan t (min) funktio: V(t) = kt, joten sijoitetaan ylempään ja saadaan implisiittinen yhtälö
-pi/(3k) h^3 pi*R/k h^2 = t
Tästä voitaisiin kolmannen asteen kaavalla ratkaista h(t), mutta siitä ei tule mitään kaunista. Muistetaan että käänteisfunktion derivaatta on funktion derivaatan käänteisluku laskettuna funktion arvossa. Meillä on siis nyt h:[0, T] -> R funktion f: [0, 2R] -> R käänteisfunktiona missä f on
f(x) = -pi/(3k) x^3 pi*R/k x^2
Funktion f derivaatta on positiivinen, joten h'(t):n minimi löydetään etsimällä f'(x):n maksimi. Se on x = R ja saadaan h':n minimiksi saadaan (sijoitetaan parametrien arvot)
k/(piR^2) = 0,057
Tämähän oli jo intuitiivisesti selvää että pienimmillään korkeuden kasvu on kun on eniten alallisesti täytettävää eli puolessa välissä.
Sitten keskiarvon kimppuun. Tässäkin voidaan käyttää symmetriaa eli riittää tutkia puolipalloa: yläosan täyttö menee samoilla nopeuksilla (mutta ajassa käänteisesti), joten keskiarvo tulee olemaan sama kuin puolipallon keskiarvo.
Noh, integroidaan h':kkua ajan tasajakaumaa vasten (t on välillä [0, T/2])
E[h'] = int_0^{T/2} h'(t) 2/T dt
= 2/T * h(T/2)
= 3k/(2pi*R^3) * R
= 3k / (2pi*R^2)
= 0,085
Näkyy olevan laatuna dm/min. Kun muuttaa m/s, niin koko lailla samat nopeudet kuin minullakin, ja noiden nopeuksien suhde on ihan tarkkaan 2/3 myös minulla.
Ei tässä ole kyse mistään satunnaismuuttujasta eikä "ajan tasajakautumasta".
Integraalilaskun väliarvolause sanoo, että jos f(x) on jatkuva suljetulla välillä (a,b) niin a:n ja b:n välissä on aina sellainen arvo z että Int(a,b) (f(x) dx) = f(z) * (b - a).
Tuota arvoa f(z) voidaan pitää funktion keskiatvona.
Tässä palloesimerkissä lause sanoo: on olemassa sellainen arvo 0 < z < T että
Int(0,T) (h'(t) dt) = h'(z) * T.h' :n "keskiarvo" on h'(z).
Integraalin arvo = h(T) - h(0) = 2 R
Siis h'(z) = 1/T * 2R
Tässä T = 15000 s ja R = 1,0608 m joten keskiarvo h'(z) = 0,00014144 m/s = 0,0084864 m / min.
250 min * h'(z) = 2,1216 m = 2 R
h`(t) ei ole määritelty kun t=0 tai t=T
Mitä väliä. Aina voi käydä lunttaamassa youtubesta sen, miten lasketaan derivaatan raja-arvo kun t->0 tai t->T.
Niinpä. Väliarvolausetta ei voi suoraan soveltaa. Mutta tuon integraalin arvo I on tunnetulla rajamenettelyllä määrättävissä ja I = h(T) - h(0) = 2 R. Jos merkitään Z = 2R/T niin
Z*T = I ja lukua Z voidaan pitää h' :n keskiarvona, onhan Z * T = 2 R.
Itse asiassa inf >= h'(t) >= k/ ( pii*R^2) missä k = dV/dt = 1/3000 (m^3/s).
h'(t) saa kaikki arvot tuolta väliltä ja 2R/T > k/(pii*R^2) joten siellä on piste z missä h'(z) = Z.
Pienen pieni korjaus:p.o. ... joten välillä 0 <= t <= T on piste z missä h'(z) = Z.
Tarkastelen asiaa vielä väliarvolauseen avulla. Olkoon T-e >= t >= e > 0. Suljetulla välillä (T-e,e) voidaan käyttää väliarvolausetta ja välillä T-e > t > e on siis piste z(e) missä h'(z(e)) = 1/(T - 2 e) *(h(T-e)) - h(e)).
lim(e -> 0) 1/(T - 2e)* (h(T-e) - h(e)) = 1/T * 2R = Z. Siis lim (e-> 0) h'(z(e)) =Z. Ja Z<inf. Koska h'(t) saa välillä 0<= t <= T kaikki arvot joissa inf >= h'(t) >= k/(pii* R^2) niin on olemassa piste 0 <z < T missä h'(z) = Z.
Kaikki pallot ovat litteitä. Tuon tietää jokainen astronomi. Ne täyttyvät vakionopeudella.
Kyllä. Oli ihan pakko.