Pallomainen, viiden kuutiometrin kokoinen säiliö täytetään vedellä. Veden tilavuusvirta on 20 litraa minuutissa.
Mikä on säiliön pinnan nousunopeuden minimi? Entä keskiarvo?
Pallosäiliön täyttö
Anonyymi
13
138
Vastaukset
- Anonyymi
Tilavuusvirta on poikkipinta-ala*pinnan nopeus, ja on kokoajan vakio, eli nopeus on pienin, kun ala on suurin, eli siinä päivän tasaajalla.
Lasketaan koko pallon tilavuudesta R, jolla lasketaan se päivän tasaajan poikkipinta-ala.
Pinnan nopeus on sitten (0.02/60)/ päivän tasaajan poikkipinta-ala.
Tuosta tulisi noin 9.43*10^-5 (m/s)
Se keskiarvo voisi olla, paremman tiedon puuttuessa:
2R korkean ja 5 kuution tilavuuden omaavan lieriön poikkipinta-ala*v=0.02/60.
Tämä on kyllä pelkkä arvelu...tästä tulisi noin 14.14*10^-5 (m/s)- Anonyymi
Tulisiko keskiarvo, jos pallon halkaisija jaettaisiin täyttymisajalla?
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Tulisiko keskiarvo, jos pallon halkaisija jaettaisiin täyttymisajalla?
Tuo taitaa olla yleisempikin totuus, eli kun säiliön korkeus jaetaan säiliön täyttymisajalla, niin saadaan keskiarvo säiliön pinnan nousunopeudelle. Aivan säiliön muodosta riippumatta.
Joku viitseliäs todistakoon asian matemaattisesti. - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Tuo taitaa olla yleisempikin totuus, eli kun säiliön korkeus jaetaan säiliön täyttymisajalla, niin saadaan keskiarvo säiliön pinnan nousunopeudelle. Aivan säiliön muodosta riippumatta.
Joku viitseliäs todistakoon asian matemaattisesti.Totta! Olkoon täyttymisaika T ja h(t) korkeus hetkellä t. Analyysin peruslauseen mukaan
integraali 0:sta T:hen { h'(t) 1/T }
= 1/T * (h(T) - h(0))
= h(T) / T
Olkoon pallon säde R (dm) ja virtausnopeus k (l/min). Merkitään T (min) aikaa jolloin säiliö tulee täyteen eli T = 4pi/(3k)*R^3 = 5000/k.
Ratkaistaan ensin tilavuus V(h), kun korkeus on h. Rajoitetaan tässä h välille [0, R] eli täytetään pallo vain puolilleen. (Yläosan täyttö on symmetrinen). Esim integroimalla saadaan
V(h) = -pi/3 h^3 pi*R*h^2
Nyt tilavuus V on ajan t (min) funktio: V(t) = kt, joten sijoitetaan ylempään ja saadaan implisiittinen yhtälö
-pi/(3k) h^3 pi*R/k h^2 = t
Tästä voitaisiin kolmannen asteen kaavalla ratkaista h(t), mutta siitä ei tule mitään kaunista. Muistetaan että käänteisfunktion derivaatta on funktion derivaatan käänteisluku laskettuna funktion arvossa. Meillä on siis nyt h:[0, T] -> R funktion f: [0, 2R] -> R käänteisfunktiona missä f on
f(x) = -pi/(3k) x^3 pi*R/k x^2
Funktion f derivaatta on positiivinen, joten h'(t):n minimi löydetään etsimällä f'(x):n maksimi. Se on x = R ja saadaan h':n minimiksi saadaan (sijoitetaan parametrien arvot)
k/(piR^2) = 0,057
Tämähän oli jo intuitiivisesti selvää että pienimmillään korkeuden kasvu on kun on eniten alallisesti täytettävää eli puolessa välissä.
Sitten keskiarvon kimppuun. Tässäkin voidaan käyttää symmetriaa eli riittää tutkia puolipalloa: yläosan täyttö menee samoilla nopeuksilla (mutta ajassa käänteisesti), joten keskiarvo tulee olemaan sama kuin puolipallon keskiarvo.
Noh, integroidaan h':kkua ajan tasajakaumaa vasten (t on välillä [0, T/2])
E[h'] = int_0^{T/2} h'(t) 2/T dt
= 2/T * h(T/2)
= 3k/(2pi*R^3) * R
= 3k / (2pi*R^2)
= 0,085- Anonyymi
Näkyy olevan laatuna dm/min. Kun muuttaa m/s, niin koko lailla samat nopeudet kuin minullakin, ja noiden nopeuksien suhde on ihan tarkkaan 2/3 myös minulla.
- Anonyymi
Ei tässä ole kyse mistään satunnaismuuttujasta eikä "ajan tasajakautumasta".
Integraalilaskun väliarvolause sanoo, että jos f(x) on jatkuva suljetulla välillä (a,b) niin a:n ja b:n välissä on aina sellainen arvo z että Int(a,b) (f(x) dx) = f(z) * (b - a).
Tuota arvoa f(z) voidaan pitää funktion keskiatvona.
Tässä palloesimerkissä lause sanoo: on olemassa sellainen arvo 0 < z < T että
Int(0,T) (h'(t) dt) = h'(z) * T.h' :n "keskiarvo" on h'(z).
Integraalin arvo = h(T) - h(0) = 2 R
Siis h'(z) = 1/T * 2R
Tässä T = 15000 s ja R = 1,0608 m joten keskiarvo h'(z) = 0,00014144 m/s = 0,0084864 m / min.
250 min * h'(z) = 2,1216 m = 2 R - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Ei tässä ole kyse mistään satunnaismuuttujasta eikä "ajan tasajakautumasta".
Integraalilaskun väliarvolause sanoo, että jos f(x) on jatkuva suljetulla välillä (a,b) niin a:n ja b:n välissä on aina sellainen arvo z että Int(a,b) (f(x) dx) = f(z) * (b - a).
Tuota arvoa f(z) voidaan pitää funktion keskiatvona.
Tässä palloesimerkissä lause sanoo: on olemassa sellainen arvo 0 < z < T että
Int(0,T) (h'(t) dt) = h'(z) * T.h' :n "keskiarvo" on h'(z).
Integraalin arvo = h(T) - h(0) = 2 R
Siis h'(z) = 1/T * 2R
Tässä T = 15000 s ja R = 1,0608 m joten keskiarvo h'(z) = 0,00014144 m/s = 0,0084864 m / min.
250 min * h'(z) = 2,1216 m = 2 Rh`(t) ei ole määritelty kun t=0 tai t=T
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
h`(t) ei ole määritelty kun t=0 tai t=T
Mitä väliä. Aina voi käydä lunttaamassa youtubesta sen, miten lasketaan derivaatan raja-arvo kun t->0 tai t->T.
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
h`(t) ei ole määritelty kun t=0 tai t=T
Niinpä. Väliarvolausetta ei voi suoraan soveltaa. Mutta tuon integraalin arvo I on tunnetulla rajamenettelyllä määrättävissä ja I = h(T) - h(0) = 2 R. Jos merkitään Z = 2R/T niin
Z*T = I ja lukua Z voidaan pitää h' :n keskiarvona, onhan Z * T = 2 R.
Itse asiassa inf >= h'(t) >= k/ ( pii*R^2) missä k = dV/dt = 1/3000 (m^3/s).
h'(t) saa kaikki arvot tuolta väliltä ja 2R/T > k/(pii*R^2) joten siellä on piste z missä h'(z) = Z. - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Niinpä. Väliarvolausetta ei voi suoraan soveltaa. Mutta tuon integraalin arvo I on tunnetulla rajamenettelyllä määrättävissä ja I = h(T) - h(0) = 2 R. Jos merkitään Z = 2R/T niin
Z*T = I ja lukua Z voidaan pitää h' :n keskiarvona, onhan Z * T = 2 R.
Itse asiassa inf >= h'(t) >= k/ ( pii*R^2) missä k = dV/dt = 1/3000 (m^3/s).
h'(t) saa kaikki arvot tuolta väliltä ja 2R/T > k/(pii*R^2) joten siellä on piste z missä h'(z) = Z.Pienen pieni korjaus:p.o. ... joten välillä 0 <= t <= T on piste z missä h'(z) = Z.
Tarkastelen asiaa vielä väliarvolauseen avulla. Olkoon T-e >= t >= e > 0. Suljetulla välillä (T-e,e) voidaan käyttää väliarvolausetta ja välillä T-e > t > e on siis piste z(e) missä h'(z(e)) = 1/(T - 2 e) *(h(T-e)) - h(e)).
lim(e -> 0) 1/(T - 2e)* (h(T-e) - h(e)) = 1/T * 2R = Z. Siis lim (e-> 0) h'(z(e)) =Z. Ja Z<inf. Koska h'(t) saa välillä 0<= t <= T kaikki arvot joissa inf >= h'(t) >= k/(pii* R^2) niin on olemassa piste 0 <z < T missä h'(z) = Z.
- Anonyymi
Kaikki pallot ovat litteitä. Tuon tietää jokainen astronomi. Ne täyttyvät vakionopeudella.
- Anonyymi
Kyllä. Oli ihan pakko.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Suomen kansa haluaa Antti Lindtmanista pääministerin
Lindtman on miltei tuplasti suositumpi kuin etunimikaimansa Kaikkonen. Näin kertoo porvarimedian teettämä kysely. http2124050Vain 21% kannattaa Lindtmania pääministeriksi
se on selvästi vähemmän kuin puolueen kannatus, mites nyt noin?1112563Miten löydän sinut
Ja saan sanottua kaiken mitä haluan sinulle kertoa? Ja kuinka kuuntelisit minua sen hetken? Kuinka voin ilmaista sen mit382275Yöllinen autolla kaahari Heinolan seudulla
Asukkaita häiriköivän nuoren herran autokaahaus keskustelu poistettu, onko jokin hyvävelijärjestelmä käytössä ?801390Vaikea tilanne
Hieman kolkuttaa omatuntoa, kun on osoittanut kiinnostusta väärää naista kohtaan. En ymmärrä miten toinen on voinut te861278- 481149
- 751027
- 59883
Emme koskaan keskustelleet kasvotusten syistä välirikollemme
Enkä voisi kertoa perimmäistä rehellistä syytä. Kerroin sinulle pintapuolisen ”paketin” ja otin tavallaan omalle vastuu57844- 44802