Tilavuusalkio dV pallokoordinaatistossa

Tossa se nyt periaatteessa on ja siitä se selviää, jos toi linkki vaan onnistuu:
https://aijaa.com/FYbDDK

1. Tuollainen infinitesimaaleihin perustuva "todistus" on lähinnä heuristinen päättely, jolla oikea kaava löytyy, eikä varsinainen matemaattinen todistus.

2. On eri ulotteisia avaruuksia R^n, n = 1,2,3,... ja niissä erilaisia koordinaatistoja. Ethän kai rupea joka tapauksessa erikseen todistamaan tuota muunnoskaavaa? On olemassa yleinen todistus jota voit soveltaa sitten vaikkapa R^3: n pallokoordinaatistoon. Ja minkä tahansa R^n:n mihin koordinaatistoon tahansa. Eikä silloin tarvita enää mitään erillistodistuksia vaan vain yleisen lauseen soveltamista.

Opiskele siis tuo yleinen todistus. Onko sinulla aiheesta kirjallisuutta? Olisiko esim. netistä löytyvästä Calculus Fennicasta apua? En nyt katsonut miten asia siellä on selitetty.

3. Erikoistapauksia. Huomaa että kun n= 1 ja koordinaatti u = u(x) niin

Int(f(u) du) = Int(f(u(x)) du/dx dx) ja du/dx on juuri funktion u(x) Jacobin determinantti. 1-dimensioinen determinantti on tietenkin yksi luku.

Jos on lineaarinen kuvaus R^n -> R^n: y = A x niin matriisimuodossa se on (x ja y pystyvektoreita) y(i) = A(i,j) x(j) (Einsteinin summaus:summataan toistuvan indeksin yli).

Onko tuttua se, että lineaarikuvauksessa A:x ->y kuva-alueen mitta = det(A)*lähtöalueen mitta?

Nyt d y(i)/dx(j) = A(i,j) . Matriisin A(i,j) determinantti on det(A). Tuon kuvauksen Jacobin determinantti on det(A^T) missä A^T on A:n transpoosi. Ja det(A) = det(A^T).

Siis tässä lineaarikuvauksen tapauksessa pätee sama muunnossääntö kuin yleisestikin, siinä vain tuolla Jacobin determinantilla on vakioarvo kun taas yleisemmän kuvauksen tapauksessa arvo on pisteen R^n:n pisteen x funktio. Mutta samasta asiasta on kyse. Tässä käytän nyt tuota vieroksumaani sanaa "infinitesimaalinen" ihan heuristisena selityksenä: Jokaisessa pisteessä x tuo Jacobin determinanttia vastaavan mattriisin kuvaus on lineaarinen ja kuvaa siis x:n infinitesimaalisen ympäritön pisteen u =u(x) ympäristöön. (oikeastaan tässä kuvataan tangenttiavaruus tangenttiavaruudelle lineaarisesti, tuo differentiaali on lineaarinen kuvaus, mutta ei nyt mennä siihen).