Aihe

Lyhimmät säikeet

Anonyymi

Neliön neljä kulmaa yhdistetään toisiinsa säikeillä. Mikä on tarvittavien säikeiden pienin yhteispituus?
Joille tehtävä on tuttu tai liian helppo, voivat pohtia samaa kuutiolle: millä säikeiden pienimmällä yhteispituudella kuution kahdeksan kulmaa saadaan yhdistettyä toisiinsa?

42

107

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Anonyymi

      Neliölle sain säikeiden minimipituudeksi 2,732, kun sivu on 1.

    • Anonyymi

      Kuutiolle sain säikeiden minimipituudeksi eräällä konfiguraatiolla 6,31.

    • Anonyymi

      Ensin kannattaa määritellä, mitä tässä tarkoitetaan sanalla säie.

      Aloittajalla eivät ole termit ihan hanskassa. Eivätkä vastaajat osaa laskea!

      • Anonyymi

        No tarkoituksena ei ole mennä säieteoriaan. Eikös säie tarkoita yleiskielessä rihmaa. Tuossa ajateltiin asiaa konkreettisesti, geometriassa puhuttaisiin kai viivoista. Ja aika selvää on, että kahden pisteen välillä suora viiva on lyhyempi kuin käyrä, joten kyseessä on janakombinaatio.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        No tarkoituksena ei ole mennä säieteoriaan. Eikös säie tarkoita yleiskielessä rihmaa. Tuossa ajateltiin asiaa konkreettisesti, geometriassa puhuttaisiin kai viivoista. Ja aika selvää on, että kahden pisteen välillä suora viiva on lyhyempi kuin käyrä, joten kyseessä on janakombinaatio.

        En ole tuo aiempi kommentoitsija, mutta olen samaa mieltä, että tehtävänanto on huonosti määritelty. Ongelma ei ole se, etteikö säie olisi riittävän intuitiivisesti selvä (koska kyllä kaikki ymmärtävät sen tarkoittavan janaa tässä asiayhteydessä), mutta ei ole lainkaan yksikäsitteistä, mitä yhdistämisellä tarkoitetaan.

        Pitääkö siis jokainen kulma yhdistää jokaiseen kulmaan säikeellä suoraan, vai sallitaanko transitiivisuus? Vai riittääkö, että jokainen kulma on yhdistetty johonkin toiseen kulmaan, jolloin säikeet saattavat jäädä erillisiksi? Vai pitääkö säihkeen olla yhtenäinen, eli lanka, joka kiemurtelee jokaisen kulman kautta?

        Ilman tuota tarkennusta täsmällistä vastausta on mahdotonta antaa. Neliön tapauksessa vastaus voi tulkinnasta riippuen olla 2*sqrt(2), 2+sqrt(2) tai 2*sqrt(2)+1.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        En ole tuo aiempi kommentoitsija, mutta olen samaa mieltä, että tehtävänanto on huonosti määritelty. Ongelma ei ole se, etteikö säie olisi riittävän intuitiivisesti selvä (koska kyllä kaikki ymmärtävät sen tarkoittavan janaa tässä asiayhteydessä), mutta ei ole lainkaan yksikäsitteistä, mitä yhdistämisellä tarkoitetaan.

        Pitääkö siis jokainen kulma yhdistää jokaiseen kulmaan säikeellä suoraan, vai sallitaanko transitiivisuus? Vai riittääkö, että jokainen kulma on yhdistetty johonkin toiseen kulmaan, jolloin säikeet saattavat jäädä erillisiksi? Vai pitääkö säihkeen olla yhtenäinen, eli lanka, joka kiemurtelee jokaisen kulman kautta?

        Ilman tuota tarkennusta täsmällistä vastausta on mahdotonta antaa. Neliön tapauksessa vastaus voi tulkinnasta riippuen olla 2*sqrt(2), 2+sqrt(2) tai 2*sqrt(2)+1.

        No yhdistäminen tarkoittaa, että jokaisesta kulmasta pääsee jokaiseen muuhun säikeitä pitkin. Yksinkertaisin ratkaisu on neliön kolmen sivun käyttö, jolloin pituus on 3, mutta ei ole minimi. Kaksi lävistäjää puolestaan antaa pituuden 2,83, mutta sekään ei ole minimi.
        Minä piirsin kolmion kaksi vastakkaista sivua kantana tylppäkulmaiset tasakylkiset kolmiot, joiden tylpät kulmat yhdistin janalla. Janojen pituuden minimointi antaa, että kolmioiden kantakulmat ovat 30 astetta ja kolmen janan yhteisissä pisteissä kulmat ovat 120 astetta. Janojen yhteispituudeksi tulee silloin tuo 1+sqrt3 = 2,732.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        No tarkoituksena ei ole mennä säieteoriaan. Eikös säie tarkoita yleiskielessä rihmaa. Tuossa ajateltiin asiaa konkreettisesti, geometriassa puhuttaisiin kai viivoista. Ja aika selvää on, että kahden pisteen välillä suora viiva on lyhyempi kuin käyrä, joten kyseessä on janakombinaatio.

        Tuo janakombinaatio-oletus ei välttämättä pidä paikkaansa tällaisissa minimointitehtävissä. Tässä tapauksessa taitaa kyllä olla, mutta yleisemmin Plateaun (2d-versio) lait sanoo, että ne ovat joko janoja tai ympyränkaaria, jotka kohtaavat aina kolmistaan 120 asteen kulmissa.

        https://en.wikipedia.org/wiki/Plateau's_laws


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Tuo janakombinaatio-oletus ei välttämättä pidä paikkaansa tällaisissa minimointitehtävissä. Tässä tapauksessa taitaa kyllä olla, mutta yleisemmin Plateaun (2d-versio) lait sanoo, että ne ovat joko janoja tai ympyränkaaria, jotka kohtaavat aina kolmistaan 120 asteen kulmissa.

        https://en.wikipedia.org/wiki/Plateau's_laws

        Tässä tietysti janakombinaatio-oletus pitää paikkansa. Joo, jos siellä on ympyränkaari, niin tietysti se kannattaa korvata janalla :D. Mutta jos lisätään jotain rajoitteita muodostuvien alueiden aloille, niin sitten saattaa myös ympyränkaari-tapaukset tulla kyseeseen.


    • Anonyymi

      Olen kuullut, että neliön kärjet voidaan yhdistää toisiinsa janoilla, mutta miten kulmat yhdistetään? Eikös kulma ole kahden samasta pisteestä alkavan janan tai puolisuoran yhdiste. Eli jotenkin kaksi puolisuoraa yhdistetään säikeellä. En osaa hahmottaa tilannetta.

      • Anonyymi

        No geometrisesti tuo kärki lienee oikeampi, mutta yleiskielessä myös kulmaa käytetään. Jos on suorakaiteen muotoinen sokkeli, puhutaan kai useammin kulmista kuin kärjistä.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        No geometrisesti tuo kärki lienee oikeampi, mutta yleiskielessä myös kulmaa käytetään. Jos on suorakaiteen muotoinen sokkeli, puhutaan kai useammin kulmista kuin kärjistä.

        Entäs jos kyseessä on kuutio tai oktaedri niin niistähän on helppo osoitella kulmia joita yhdistellään.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        No geometrisesti tuo kärki lienee oikeampi, mutta yleiskielessä myös kulmaa käytetään. Jos on suorakaiteen muotoinen sokkeli, puhutaan kai useammin kulmista kuin kärjistä.

        Jos rautakaupasta haluaa liimaa, niin myyjältä tietysti pyydetään siirappia ja apteekissa yskänlääke kulkee litkun nimellä.


    • Anonyymi

      Jos miehessä on häät, niin on häkämies.

    • Anonyymi

      Matemaatikko asettelee TVn huoneessa sen kärkeen.

    • Anonyymi

      Tämä perustehtävä on esiintynyt tälläkin palstalla useita kertoja ihan suomen kielelläkin esitettynä.

      Neljä taloa sijaitsee 1 km sivuisen neliön kärjissä. Jos jokaisesta talosta on päästävä jokaiseen muuhun taloon tietä pitkin, niin miten voi minimoida tarvittavien teiden yhteenlasketun pituuden. Tai jotain vastaavaa.

      • Anonyymi

        Kerro, miten esität tuon kuutiotehtävän "suomenkielellä". Ovatko ne neljä muuta taloa jossain vuorenjyrkänteellä? Huvittavaa, että toistakymmentä vastausta mutta hyvin vähän yritystä tehtävän ymmärtämiseen ja ratkaisemiseen. Valitettavaa, että suurin osa plastalaisista on pilkuntarkistajia.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Kerro, miten esität tuon kuutiotehtävän "suomenkielellä". Ovatko ne neljä muuta taloa jossain vuorenjyrkänteellä? Huvittavaa, että toistakymmentä vastausta mutta hyvin vähän yritystä tehtävän ymmärtämiseen ja ratkaisemiseen. Valitettavaa, että suurin osa plastalaisista on pilkuntarkistajia.

        Olet ainoa, joka ei ymmärrä asiaa tai edes vastauksia. Opettele matematiikan perusteet ja lopeta ikuinen suunsoittosi. Ja opettele kirjoittamaan suomen kielellä.

        Älä ikinä arvostele muita. Siihen sinulla ei ikinä tule olemaan mitään edellytyksiä. Et edes tiedä, mikä on pilkku ja mitä sillä tehdään.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Olet ainoa, joka ei ymmärrä asiaa tai edes vastauksia. Opettele matematiikan perusteet ja lopeta ikuinen suunsoittosi. Ja opettele kirjoittamaan suomen kielellä.

        Älä ikinä arvostele muita. Siihen sinulla ei ikinä tule olemaan mitään edellytyksiä. Et edes tiedä, mikä on pilkku ja mitä sillä tehdään.

        Minä olen sentään yrittänyt laskeskella. Sinä vaan soitat suutasi, kun et muuhun kykene!


    • Anonyymi

      Minä tein kuutiolle [-1, 1]^3 (eli otan sivun pituudeksi 2, jaetaan sitten tulos kahdella) tämmöisen viritelmän:

      https://aijaa.com/YvdBwL

      Yhteispituudeksi sain 6.23275

      Tässä A = (x0, 0, z0) ja B = (x1, 0, 0), missä x0 = 0.74118, z0 = 0.4051 ja x1 = 0.6177.
      Noiden lukuarvojen optimaalisuudesta en ole varma. Siinähän pitäisi olla niin, että neljä janaa kohtaa aina niin, että kunkin välisen kulman kosini on -1/3 ja siitä saadaan yhtälöitä, joista nuo ratkaistaan, mutta jotenkin minulla meni väärin, kun sain ratkaisun, jossa x0 < x1 ja janat vinksottivat ihan väärin, noh vaihdoin sitten x0:n ja x1:n päikseen niin tuli parempi, mutta tosiaan en tiedä onko se oikea ratkaisu :D. Yhtälöitäni nuo parametrit eivät toteuta, mutta lienevätkö nekin väärin.

      Tällaiset yhtälöt minulla oli

      8/9*x0^4 - 32/9*x0^3 + 16/9*x0^2*z0^2 - 32/9*x0^2*z0 + 44/9*x0^2 - 32/9*x0*z0^2 + 64/9*x0*z0 - 8/3*x0 + 8/9*z0^4 - 32/9*z0^3 + 44/9*z0^2 - 8/3*z0

      8/9*x0^4 - 16/9*x0^3*x1 - 16/9*x0^3 + 16/9*x0^2*z0^2 - 16/9*x0^2*z0 + 8/9*x0^2*x1^2 + 32/9*x0^2*x1 + 2/3*x0^2 - 16/9*x0*z0^2*x1 - 16/9*x0*z0^2 + 14/9*x0*z0*x1 + 2*x0*z0 - 16/9*x0*x1^2 - 4/3*x0*x1 + 8/9*z0^4 - 16/9*z0^3 - 1/9*z0^2*x1^2 + 2*z0^2*x1 + 2/3*z0^2 + 2/9*z0*x1^2 - 2*z0*x1 + 2/3*x1^2

      32/9*x0^2*x1^2 - 64/9*x0*x1^3 - 4/9*z0^2*x1^2 + 32/9*x1^4

      Paperilla sain siistimmät esim. ensimmäinen olisi
      (1-x0)^2 + (1-z0)^2 = 1/2
      ja toinen (tässä saa nimittäjää siivottua edellisen ja kolmannen avulla)
      (1-x0)(x1-x0) + z0^2-z0 = 1/9^2 sqrt(x1)(x0-x1)
      ja kolmas
      x1(x0-x1)^2 = 2/36((x0-x1)^2 + z0^2)

      Mutta nämä ovat melko varmasti väärin.

      • Anonyymi

        Niin siis tuossa tulos 6.23275 oli jo se kahdella jaettu eli tulos yksikkökuutiolle.


      • Anonyymi

        Eikunsiis hetkinen, kolmehan siinä aina kohtaa ja kulman pitää olla 120 astetta eli kosinin -1/2. Koitin nyt uudella tavalla ratkaista, mutta nyt saan, että keskijana menee nollaan eli x1=0. Ja yht. pituus on 6.293. Mutta johan ekalla tavalla tuli vähän parempi.

        Tässä sain yhtälöt (edellä jäi = 0 pois yhtälöiden perästä)

        3/2*(x0 - 1)^2 + 3/2*(z0 - 1)^2 - 1/2 = 0

        (x0 - x1)*(x0 - 1) + 1/2*(x0 - 1)^2 + 1/2*(z0 - 1)^2 + (z0 - 1)*z0 + 1/2 = 0

        -2*(x0 - x1)*x1 + sqrt((x0 - x1)^2 + z0^2)*sqrt(x1^2) = 0

        Mutta Sage ei näille symbolisesti ratkaisua löydä ja niiden neliösummaa numeerisesti minimoimalla tuli tuo x1=0 ja x0=z0=0.6035 ratkaisu.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Eikunsiis hetkinen, kolmehan siinä aina kohtaa ja kulman pitää olla 120 astetta eli kosinin -1/2. Koitin nyt uudella tavalla ratkaista, mutta nyt saan, että keskijana menee nollaan eli x1=0. Ja yht. pituus on 6.293. Mutta johan ekalla tavalla tuli vähän parempi.

        Tässä sain yhtälöt (edellä jäi = 0 pois yhtälöiden perästä)

        3/2*(x0 - 1)^2 + 3/2*(z0 - 1)^2 - 1/2 = 0

        (x0 - x1)*(x0 - 1) + 1/2*(x0 - 1)^2 + 1/2*(z0 - 1)^2 + (z0 - 1)*z0 + 1/2 = 0

        -2*(x0 - x1)*x1 + sqrt((x0 - x1)^2 + z0^2)*sqrt(x1^2) = 0

        Mutta Sage ei näille symbolisesti ratkaisua löydä ja niiden neliösummaa numeerisesti minimoimalla tuli tuo x1=0 ja x0=z0=0.6035 ratkaisu.

        Minä kun laskin edellä esitetyn 6,31, oletin, että nuo kaksi yhdysjanaa ovat suoria. Mutta toisiaan kun olettaa niihin taitoksen, taitaa säästyä pituutta.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Minä kun laskin edellä esitetyn 6,31, oletin, että nuo kaksi yhdysjanaa ovat suoria. Mutta toisiaan kun olettaa niihin taitoksen, taitaa säästyä pituutta.

        Nyt sain 6,196153.
        Jätetään kaikki parametrit vapaaksi ja minimoidaan kokonaispituutta. Kyllä se 120 asteen ehto näyttää toteutuvan (pakkohan sen on Plateaun lain mukaan) mutta jotenkin en saanut niitä yhtälöitä toimimaan. Koodi:

        https://pastebin.pl/view/71ff9475

        Täällä: https://sagecell.sagemath.org/ voi suorittaa sen niin voi katsella ja käännellä 3d-kuvaa.


    • Anonyymi

      Yritin laskeskella käsin pohjautuen tuohon edellä esitettyyn janakonfiguraatioon. Siinä on siis 8 lähtöjanaa, jotka yhdistyvät pareittain pisteissä, joiden etäisyydet tahkoista ovat x ja y. Sitten on 4 välijanaa, jotka yhdistyvät pareittain kuution keskussuoralla. Noiden välijanojen kateetit ovat (1/2-y) ja z. Sitten on keskijana pituudeltaan 1-2x-2z. Janojen yhteispituus on:
      8sqrt(x^2+y^2+1/4) + 4sqrt((1/2-y)^2+z^2) +(1-2x-2z)
      Tuosta kun merkkaa osittaisderivaatat nollaksi, tulee yllättävän yksinkertaiset lukemat:
      x =1/(4sqrt3); y=1/4; z=1/4
      Kokonaispituudeksi tulee noin 6,25 eli enemmän kuin edellä. Pitää tsekata.

      • Anonyymi

        Kulmat tuossa menisivät niin, että lähtöjanojen ja välijanan väliset kulmat ovat 120 astetta, kun taas välijanojen ja keskusjanan väliset kulmat ovat 90 astetta ja kaksi kertaa 135 astetta.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Kulmat tuossa menisivät niin, että lähtöjanojen ja välijanan väliset kulmat ovat 120 astetta, kun taas välijanojen ja keskusjanan väliset kulmat ovat 90 astetta ja kaksi kertaa 135 astetta.

        Korjataan nyt vielä. Lähtöjanat ja välijanat eivät ole samassa tasossa. Siten kahden lähtöjanan välinen kulma on 120 astetta mutta lähtöjanan ja välijanan välinen kulma on pienempi.


    • Anonyymi

      Löytyi virhe laskelmista. Oikeat lukemat koordinaateille ovat:
      x = 1/(4sqrt3)
      y = 1/4
      z = 1/(4sqrt3)
      Janojen minimiyhteispituudeksi tulee 1+9/sqrt3 = 6,196
      Lähtöjanojen välinen kulma on 120 astetta, samoin välijanojen ja keskijanan väliset kulmat.

      • Anonyymi

        Ja hieman sievempänä: 1 +3sqrt3. Neliölle vastaavasti 1 + sqrt3.


      • Anonyymi

        Helppo laskea myös numeerisesti muutaman rivin ohjelmalla. Tarvitaan vain Pythagorasta.

        Tulokseksi tulee 6,1961524. (Resoluutio 1/1000000.)

        Tehtävä on helppo muokata yksinkertaiseksi tangon harusten pituuden optimoimiseksi. Kaikki on symmetristä. Helpottaa laskemista. Vain kaksi suorakulmaista helppoa kolmiota.

        Piirretään lattialle 2 m x 2 m neliö ja laitetaan sen kesipisteeseen 1 m korkea tanko. Minimoidaan nurkista lähtevien harusten ja ja tangon yläosan yhteenlaskettu pituus. Ei tarvitse edes osata ajatella kolmiulotteisesti kuution sisällä.

        Kahdesta vierekkäisestä nurkasta lähtevät optimoidut harukset kiinittyvät tankoon yhdistetyllä osallaan 577,350 mm:n korkeudella. 

        Jostain (symmetria?) syistä johtuen myös kahden haruksen yhdistetyn osan pituus on myös tuo sama 577,350 mm. Jos tuon ottaisi lähtökohdaksi, kaikki sujuisi vieläkin helpommin. Onko jotain tekemistä 120 asteen kanssa?


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Helppo laskea myös numeerisesti muutaman rivin ohjelmalla. Tarvitaan vain Pythagorasta.

        Tulokseksi tulee 6,1961524. (Resoluutio 1/1000000.)

        Tehtävä on helppo muokata yksinkertaiseksi tangon harusten pituuden optimoimiseksi. Kaikki on symmetristä. Helpottaa laskemista. Vain kaksi suorakulmaista helppoa kolmiota.

        Piirretään lattialle 2 m x 2 m neliö ja laitetaan sen kesipisteeseen 1 m korkea tanko. Minimoidaan nurkista lähtevien harusten ja ja tangon yläosan yhteenlaskettu pituus. Ei tarvitse edes osata ajatella kolmiulotteisesti kuution sisällä.

        Kahdesta vierekkäisestä nurkasta lähtevät optimoidut harukset kiinittyvät tankoon yhdistetyllä osallaan 577,350 mm:n korkeudella. 

        Jostain (symmetria?) syistä johtuen myös kahden haruksen yhdistetyn osan pituus on myös tuo sama 577,350 mm. Jos tuon ottaisi lähtökohdaksi, kaikki sujuisi vieläkin helpommin. Onko jotain tekemistä 120 asteen kanssa?

        1/sqrt3 on 0,577 joten on tekemistä 120 asteen kanssa.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        1/sqrt3 on 0,577 joten on tekemistä 120 asteen kanssa.

        Hyvä. Pitää yrittää joskus piirtää selkeä kuva ja katsoa näkyisikö ratkaisu suoraan siitä.

        Tehtävä supistui äärimmäisen helpoksi tasotehtäväksi. Riittää laittaa joku suora levy lattialle vinosti seinää vasten. Harukset (säikeet, janat) sijaitsevat sillä.

        Helppo laskea kokonaisluvuillakin mielivaltaisen tarkasti. Sain 1 ns erottelulla 6,19615242271. On yhdentoista numeron tarkkuudella sama kuin laskemasi tarkka arvo 1 +3sqrt3.

        Jos dodekaedrin sivun pituus on 1, niin mikä on kaikki nurkat yhdistävien säikeiden pituuksien summan minimi?


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Hyvä. Pitää yrittää joskus piirtää selkeä kuva ja katsoa näkyisikö ratkaisu suoraan siitä.

        Tehtävä supistui äärimmäisen helpoksi tasotehtäväksi. Riittää laittaa joku suora levy lattialle vinosti seinää vasten. Harukset (säikeet, janat) sijaitsevat sillä.

        Helppo laskea kokonaisluvuillakin mielivaltaisen tarkasti. Sain 1 ns erottelulla 6,19615242271. On yhdentoista numeron tarkkuudella sama kuin laskemasi tarkka arvo 1 +3sqrt3.

        Jos dodekaedrin sivun pituus on 1, niin mikä on kaikki nurkat yhdistävien säikeiden pituuksien summan minimi?

        4D hyperkuutiolle: 13.12435 = 1 + 7*sqrt(3).
        Koodi: https://pastebin.pl/view/fee59313
        Kuva: https://aijaa.com/vKBxho

        Uskallettaisiinko esittää hypoteesi, että lyhyimmät säikeet d-ulotteiselle kuutiolle ovat 1 + 2^(d-1) * sqrt(3) ?


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        4D hyperkuutiolle: 13.12435 = 1 + 7*sqrt(3).
        Koodi: https://pastebin.pl/view/fee59313
        Kuva: https://aijaa.com/vKBxho

        Uskallettaisiinko esittää hypoteesi, että lyhyimmät säikeet d-ulotteiselle kuutiolle ovat 1 + 2^(d-1) * sqrt(3) ?

        Verkkona nuo säikeet ovat täysi origo juurenaan oleva binääripuu, jossa lehtisolmut ovat kaikki kuution kärjet. Joka sisäsolmussa valitaan jonkin koordinaatin merkki ja sen mukaan haaraudutaan.


    • Anonyymi

      Ongelman nimi on Steinerin puu. Tässä on tehty myös dodekaedrille: https://www.jstor.org/stable/3618571 (vaatii kirjautumisen)
      Ja sen mukaan dodekaedrillä käy niin, että säikeet kulkevat kokonaan dodekaedrin pinnalla (vain tahkoille (ja vain kolmelle niistä) lisätään Steinerin pisteitä) ja pituus on

      3L_5 + 1/2 (phi*sqrt(3)/2 + sqrt(3-phi)) + 5,
      missä
      L_5 = phi*sqrt(3)/2 + 1/2 (3phi-1)*sqrt(3-phi)
      ja
      phi = (1+sqrt(5))/2

      Artikkelissa tuon arvoksi on saatu 18,669. Minä koitin tarkistaa kopioinko kaavan oikein, niin en varmaan kun sain 17.288343. En löydä virhettä!

      Kuitenkin, L5 = on lyhyin säännöllisen (sivun pituus = 1?) viisikulmion puu ja sen arvoksi on artikkelissa annettu tuo, mutta siitä pitäisi kyllä tulla 3.89798759. Tiedä sitten mikä tuossa menee väärin, mutta reitti on sellainen, että osassa tahkoista tehdään yhdistys viisikulmiolle (ilmeisesti kolmessa, kun kerroin 3) ja lopuissa tahkoissa sitten yhdistetään kolme vierekkäistä kärkeä.

      • Anonyymi

        Ei kaikissa lopuissa tarvitse siis sitä kolmen vierekkäisen yhdistystä tehdä, vaan vain yhdessä. Loput riittää mennä sivuja pitkin ja siitä tuo + 5. Eli kolmio, joka muodustuu säännöllisen viisikulmion kolmesta vierekkäisestä pisteestä pitäisi olla steinerpuun pituudeltaan ...


      • Anonyymi

        Älä kopsaa mitään kaavoja, vaan laske itse ohjelmalla numeerisesti. Aluksi vaikka vain 0,1 erottelulla. Symmetria helpottaa. Pääset aina heti oikealle hehtaarilukemalle.

        Kuution laskuissa tarvitsi huomioda vain yksi nurkkaa. Ei tässä nurkkia ole montaa enempää.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Älä kopsaa mitään kaavoja, vaan laske itse ohjelmalla numeerisesti. Aluksi vaikka vain 0,1 erottelulla. Symmetria helpottaa. Pääset aina heti oikealle hehtaarilukemalle.

        Kuution laskuissa tarvitsi huomioda vain yksi nurkkaa. Ei tässä nurkkia ole montaa enempää.

        Pituus: 18.66251426

        Tässä kuva (ja siellä on myös Sage koodi, jonka suorittamalla pääsee taas katsomaan 3D:tä):

        https://www.desmos.com/calculator/ehettmqkpr

        Aluksi tuli päälle tuon artikkelissa mainitun 18.669:den, kun minulla ei se viisikulmion verkko ollut ihan tappiinsa asti optimoitu. Mutta tein sitten senkin tarkemmin: https://www.desmos.com/calculator/fmef1tqcub ja lisäksi sen kolmen nurkan: https://www.desmos.com/calculator/ctdd847le2 ja nythän siitä tuli jopa hieman alle tuon artikkelissa mainitun 18.669. Noh, sama puu se on, tiedä sitten missä tullut tuo epätarkkuus.

        Jos suoritatte sitä Sage-koodia 3D-dodekaedrin katsomiseksi, niin siitä voi valita niitä parametreja: näytetäänkö tahkot umpinaisina, niiden numerointi (ja kunkin tahkon kärkien numerointi). Ne tahkot on vähän missä järjestyksessä sattuu kun muodostin ne vähän hackilla.

        Tuon tuloksen optimaalisuus taitaa olla vielä konjektuuratasolla, että jos parempia löytyy, niin voi ilmoittaa Richard Bridgesille. Artikkeli on vuodelta 1994, mutta minä en google-haulla kyllä oikein muuta löydä näistä Steinerin puista dodekaedrille. Redditissä oli joku tehnyt tetraedrille ja oktaedrille.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Pituus: 18.66251426

        Tässä kuva (ja siellä on myös Sage koodi, jonka suorittamalla pääsee taas katsomaan 3D:tä):

        https://www.desmos.com/calculator/ehettmqkpr

        Aluksi tuli päälle tuon artikkelissa mainitun 18.669:den, kun minulla ei se viisikulmion verkko ollut ihan tappiinsa asti optimoitu. Mutta tein sitten senkin tarkemmin: https://www.desmos.com/calculator/fmef1tqcub ja lisäksi sen kolmen nurkan: https://www.desmos.com/calculator/ctdd847le2 ja nythän siitä tuli jopa hieman alle tuon artikkelissa mainitun 18.669. Noh, sama puu se on, tiedä sitten missä tullut tuo epätarkkuus.

        Jos suoritatte sitä Sage-koodia 3D-dodekaedrin katsomiseksi, niin siitä voi valita niitä parametreja: näytetäänkö tahkot umpinaisina, niiden numerointi (ja kunkin tahkon kärkien numerointi). Ne tahkot on vähän missä järjestyksessä sattuu kun muodostin ne vähän hackilla.

        Tuon tuloksen optimaalisuus taitaa olla vielä konjektuuratasolla, että jos parempia löytyy, niin voi ilmoittaa Richard Bridgesille. Artikkeli on vuodelta 1994, mutta minä en google-haulla kyllä oikein muuta löydä näistä Steinerin puista dodekaedrille. Redditissä oli joku tehnyt tetraedrille ja oktaedrille.

        Ohjelmasi on ehkä löytänyt säännöllisen dodekaedrin optimaaliseen ratkaisuun jonkun erikoisen epäsymmetrian. Bridges ei kait kuluttanut hirveästi aikaa eri kappaleisiin vanhalla 10 Mhz:n PC:llään.

        Jos käytettävissä on hyvä 3D-suunnitteluohjelma, niin eiköhän tuon pysty silläkin ihan käsinkin piirtämään mallisi mukaan. Pääsee ainakin lähelle oikeaa tulosta. Ja jos ei pääse, niin voi miettiä, onko vika 3D-ohjelman laskuissa vai ei.

        Vastaaviin ja paljon hankalampiin tehtäviin löytyy joka vuosi useita uusia ratkaisua määrittelemällä alkutilanne satunnaiseksi ja sitten siirtelemällä solmuja. Tuota kun tekee miljoonia kertoja, jotain aina löytyy.


      • Anonyymi

        L_5 on väärin. Ei siitä saa millään yksittäisellä korjauksella oikeaa lukua (3.891).


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        L_5 on väärin. Ei siitä saa millään yksittäisellä korjauksella oikeaa lukua (3.891).

        Ja vaikka L_5:n korjaisi, ei se riitä. Myös itse kaavaa ja/tai phi:tä on korjattava.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Ja vaikka L_5:n korjaisi, ei se riitä. Myös itse kaavaa ja/tai phi:tä on korjattava.

        Lisäsin nyt (toivottavasti) oikean kaavan, kun sain viisikulmion ja viisikulmion kolminurkan kaavat sievisteltyä:

        https://www.desmos.com/calculator/4fnbg7paph

        Kyllä siitä 18.6625142607 tulee.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Lisäsin nyt (toivottavasti) oikean kaavan, kun sain viisikulmion ja viisikulmion kolminurkan kaavat sievisteltyä:

        https://www.desmos.com/calculator/4fnbg7paph

        Kyllä siitä 18.6625142607 tulee.

        Minä en ainakaan tajunnut aluksi, että kyse onkin pelkistä tasokuvioista ja niiden yhdistelyistä. Vasta kun tajusin, että pelkkiä sivujakin käyttämällä pääsee lukemaan 19, niin homma alkoi hahmottumaan.

        Olisi hyvin voinut pyyttää apua jonkun lastentarhan askarteluryhmältä muutaman dodekaedrin tekemiseen ja tasokuvioiden yhdistelyyn. Mukava palapeli.

        Jos tehtävä olisi ollut vaikea avaruusgeometrinen optimointitehtävä, siitä olisi varmasti kirjoitettu useita tutkielmia ja Googlella olisi löytynyt vaikka mitä.

        Jos kielletään nurkasta lähtevän säikeen kulku tasoa (ja sivuja) pitkin ja vaaditaan sen kulkevan aina ensin joidenkin muiden (9 kpl) viisikulmioiden nurkkaan (10 kpl), niin tehtävästä saa matemaattisesti paljon mielenkiintoisemman. Sopiva pähkinä ehkä myös jatko-opintoja harjoittaville tai ne jo suorittaneille.


    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Naisen vessakäynti suhteen alussa

      Mä olin ihastukseni kaa viettämässä viikonloppua. Eka kertaa yövyin miehen luona. Toisen yön jälkeisenä aamuna mulla meni vatsa aivan sekaisin. Oltiin
      Parisuhde
      216
      14572
    2. Liikenne topissa

      Mitäs liedenpohjassa tekeillä ku kuus kutosen liikenne katkaistu..poliisioperaatio
      Virrat
      40
      13403
    3. Maisa se jaksaa valehdella

      https://www.iltalehti.fi/viihdeuutiset/a/28acb452-15ff-470d-80c3-511ad69abec0 Taas on syytön, taas on todisteita jotka jossain vaiheessa paljastaa Ma
      Kotimaiset julkkisjuorut
      286
      8960
    4. Liedenpohja

      Mikä hässäkkä siälä on päällä ??
      Virrat
      40
      6412
    5. Karanteenimääräyksiä rikkovaa ei rangaista.

      Ulkomailta tuleva koronatartuttaja saa Suomessa liikuskella ja juhlia estoitta. Omantunnon kysymys on noudattaako karanteenimääräyksiä toista on mones
      Maailman menoa
      230
      3731