Sarjassamme "suurin kuvio toisen sisällä" on tällä kertaa seuraavanlainen tapaus:
https://aijaa.com/PmvfFS
Eli on annettu kolmio. Voidaan sopia että se on kuten tuossa kuvassa: yksi kärki origossa, kanta x-akselilla ja kolmas kärki kannan yläpuolella. Kolmion sisälle laitetaan akselien suuntainen suorakaide, jonka päälle vielä ympyrä. Mitkä suorakaide ja ympyrä ovat yhteiseltä alaltaan suurimmat mahdolliset? Entä mille kolmiolle nämä täyttävät kolmion alasta eniten?
https://aijaa.com/PmvfFS
Eli on annettu kolmio. Voidaan sopia että se on kuten tuossa kuvassa: yksi kärki origossa, kanta x-akselilla ja kolmas kärki kannan yläpuolella. Kolmion sisälle laitetaan akselien suuntainen suorakaide, jonka päälle vielä ympyrä. Mitkä suorakaide ja ympyrä ovat yhteiseltä alaltaan suurimmat mahdolliset? Entä mille kolmiolle nämä täyttävät kolmion alasta eniten?
Vastaukset 34
Vanhimmat
Ihan kuin suorakaiteen korkeus olisi puolet pisteen A y:stä...
Tarkastellaan kolmiota, jonka kanta on a ja korkeus h. Merkataan, että suorakulmion "yläsivu" jakaa korkeusjanan ylhäältä lähtien suhteessa k ja 1-k. Todetaan, että kun kolmion kantakulma on enintään suorakulma, suorakulmion ala ei riipu huippukulmasta, ainostaan parametreista a, h ja k. Suorakulmion yläpuolella olevaan kolmioon piirretyn ympyrän ala puolestaan riippuu huippukulmasta ja helposti voidaan päätellä, että se on mahdollisiimman suuri, jolloin kolmio on tasakylkinen. Silloin ympyrän ala voidaan laskea a, h ja k funktiona. Suorakulmion ympyrän ala suhteessa alkuperäisen kolmion alaan ah/2 saadaan parametrin k funktiona ja derivoimalla sen suhteen saadaan maksimiarvo a ja h funktiona (ei kovin yksinkertainen lauseke). Osittaisderivaattojen kautta saataneen absoluuttinen maksimiarvo. En kuitenkaan tehnyt laskelmia vielä loppuun.
Jos tasasivuisen kolmion sivu on 10, niin r = 2,07 ja h = 2,45 ja w = 7,17.
Joku tasakylkinen kolmio voi olla hiukan parempi. En viitsi kokeilla.
Kokeilin+muuttaa+tasavuisen+kolmion+kantaa+kylkeä+pienemmäksi+tai+suuremmaksi.+Tulos+huonosi+molemmissa+tapauksissa.+Tasasivuisen+kolmion+tapaus+on++helppo+laskea+suoraan+helpoista+kaavoista.
Laskepas+mitä+tulee+jos+tasasivuiseen+kolmioon+suorakaide,+korkeus+olisi+h/2+,+ja+ympyrä+niin+iso+kuin+mahtuu..+(Minä+sain+melkein+79%)
Tulee+n.+65+%.+Piirrä+kuva.+Suorakaiteen+viereiset+kolmiot+ovat+pintala-alaltaan++yhtensä+puolet+suorakaiteen+pinta-alasta.+Epäoptimaalista!
Oletetaan ympyrän säteen olevan 1 ja suorakaiteen korkeus x.
Maksimoitavaksi lausekkeeksi tulee:
max (pi*sqrt(3) 6*x)/(x 3)^2 = 9/(18-pi*sqrt(3))
x = 3 - pi/sqrt(3) = 1,1863
Sama tulos tulee tarkasti myös simuloimalla.
Ympyrän ympärillä olevan tasasivuisen kolmion korkeus on 3*r = 3.
Tarkka+tulos+on+siis++71,6640281014914+%
Jos oletetaan yläpuolella olevan tasasivuisen kolmion sivun olevan 2:
max sqrt(3)*(pi/3 2*x)/(x sqrt(3))^2
Johtaa samaan tulokseen.
1. tehtävä:
Olkoot kolmion kärjet
A: (0,0), B: (x2,0) ja C: (x3,y3)
Kolmion sivu AB on suoralla y = 0
Sivu BC on suoralla y = y3/(x3 - x2) * x - (y3*x2)/(x3 - x2)
Sivu CA on suoralla y = y3/x3 x
Valitaan x-akselilta piste a. 0 < a < x3 ja piirretään tuo haluttu suorakulmio DEFG.
Sen kärjet ova:
D= (a,0)
E = ( (y3/x3 a (y3 x2)/(x3 - x2)) * (x3 - x2)/y3, 0)
F = (sama x-koordinaatti kuin E:llä, y3/x3 * a)
G = (a, y3/x3 * a)
Nyt tunnetaan suorakaiteen ala a:n funktiona: A = A(a).
Etsitään ympyrän keskipiste lasakemalla piste (x4,y4) joka on yhtä etäällä sivuista BC ja CA sekä suorasta y =y3/x3 * a. Näin löytyy myös ympyrän säde a:n funktiona: r = r(a).
Maksimoitava ala = A(a) pii* r(a)^2.a löytyy tavanomaisin differentiaalilaskennan keinoin.
Enpä lähde tuota pitkäpiimäistä laskua tässä suorittamaan. Teksti olisi myös täynnä sulku-, jako- ja kertomerkkejä sekä noita pisteiden indeksejä (x3, y4 jne) joten tuskinpa edes kovin luettavaa. Mutta jos joku haluaa aikaansa, kynää ja paperia käyttää niin kyllä tuolla metodilla ratkaisu löytyy.
Niinkuin tuolla aiemmin jo todettiin, aika helpoilla tarkasteluilla voidaan todeta että maksimaalinen suhde saavutetaan kun kolmio on tasakylkinen. Eli sitä kautta tehtävä helpottuu jo aika lailla, kolmen parametrin tehtäväksi, mutta silti vaatii aika lailla kaavanpyörittelyä.
Ei siinä 1-osassa rajoitettu kolmiota tasakylkiseksi tai joksikin muuksi vaan kysyttiin nihan yleisestä kolmiosta. Vastataan nyt siihen mitä kysyttiin.
Vasta 2-kysymys koski kolmion tyyppiä.
Oletetaan tasakylkinen kolmio, jonka kanta on a ja korkeus h. Oletetaan, että suorakaiteen yläsivu jakaa korkeusjanan niin, että yläpuolinen osa on k ja alapuolinen h-k. Tällöin voidaan laskea ylöpuolisessa kolmiossa olevan ympyrän säteeksi:
r = k/(1 sqrt(1 (2k/a)^2))
Suorakulmion ala on:
As = ak(1-k/h)/2
Ympyrän ala on
Ay = pii*k^2/(1 sqrt(1 (2k/a)^2))^2
Suorakaiteen ympyrän alan suhde alkuperäisen kolmion alaan on:
S = 2(As Ay)/ah
Tuossa suhteessa vain summan ensimmäinen termi riippuu paraketrista h, joten derivoidaan sen suhteen ja merkataan nollaksi; silloin saadaan:
k = h/2 (niinkuin joku edellä arveli)
Silloin suorakaiteen suhde alkuperäiseen kolmioon on vakio 1/4. Ympyrän ala puolestaan maksimoituu, kun yläkolmio on tasasivuinen, jolloin sen suhde alkuperäiseen kolmioon on pii/(12sqrt3)
Etkö vieläkään ymmärrä? Aiemmin osoitettiin, että nimenomaan tasakylkinen kolmio antaa maksimaalisen suhteen. Hullu paljon työtä tekee, viisas pääsee vähemmällä!
Sinä et näytä ymmärtävän.
Tehtävän 1-osassa puhuttiin vain kolmiosta ja siitä, milloin noiden kolmien sisään piirrettyjen kuvioiden alojen summa on suurin, Ei ollut ollenkaan puhetta siitä, että kolmiota muunneltaisiin vaan kyse on yleisestä annetusta kolmiosta.
Jatkokysymyksessä vasta kysyttiin millainen itse kolmion tulisi olla että tietty ehto täyttyy.
Maailma avautuu vain lukutaitoisille!
Kyse on nyt siitä, että onko tehtävässä annettu se kolmio vai ei. Piirroksena on annettu eräs kolmio mutta käsitin, että se on vain esimerkki, eikä tarkoitus ollut, että tehtävä ratkaistaan nimenomaan sille kolmiolle. Jos tehtävä olisi pitänyt ratkaista esim kaksi muuta kärkipistettä koordinaatteina, se olisi pitänyt kertoa selkeästi. Mielekkäämpi tehtävästä tulee , kun etsitään maksimipinta-ala tietyn aliselle kolmiolle.
Etpä näytä vieläkään oikein ymmärtävän. Tehtävässä ei ollut joku "nimenomainen" kolmio vaan tarkoitettiin ihan yleistä kolmiota, jonka kärkipisteet ovat (x(i),y(i)), i = 1,2,3.
Tällainen kolmio saadaan tehtävän kuvassa annetuksi siirtämällä ja kääntämällä sitä sopivasti (x,y)-tasossa. Tällaisessa siirrossa kolmio ja sen sisään mahdollisesti piirretyt kuviota säilyvät. Aloittajan kuvassa on siis ihan yleinen kolmio. Ja sellaiselle esitin ratkaisumetodin.
Aloittajan viesti on epäselvä. Hän puhuu kolmiosta, jonka yksi piste on (0,0), toisen pisteen x-koordinaatti on 0 ja muita kolmea koordinaattia ei määritellä. Toisaalta hän antaa kuvan, jossa pisteiden koordinaatit ovat (0,0) (0,3,5) ja (2,63, 2,43) suunnilleen. Siis mille kolmiolle pitäisi tuo alasuhteen maksimointi tehdä: yleiselle kolmiolle vai annetulle kolmiolle?
Kerroit miten tuo tehtävä ratkaistaisiin hyvin yleisellä tasolla, kun nuo kolme koordinaattia ovat muuttuijia. Tuon tarinan kertominen on aika triviaalia, mutta ratkaiseminen "käsinlaskuna" aika mahdotonta. Aloittaja on tehnyt sen matemaattisia työkaluja käyttäen. Joten "käsinlaskuna" on järkevää ratkaista vain se, milloin saadaan maksimaalinen alasuhde, kun kolmio on optimaalinen pinta-alan pysysessä vakiona.
Tässä+minun+ratkaisu+yleiselle+(teräväkulmaiselle)+kolmiolle:+https://www.desmos.com/calculator/ovtabpftl2
Kaikkein+helpoimmalla+saa+optimaalisen+tuloksen+tasasivuiselle+kolmiolle+olettamalla+sen+korkeudeksi+1.+(Ala+on+sqrt(3)).+Maksimoitavaksi+alojen+suhdelausekkeeksi+supistuu++r:n+lauseke:
Pitä osoittaa, että tasasivuinen kolmio antaa suurimman alasuhteen. Menee seuraavasti. Oletetaan kolmion kanta a ja korkeus h, jolloin ala ah/2 on vakio kolmion muodosta riippumatta. Oletetaan, että suorakulmion yläsivu jakaa suorakulmion ylhäältä laskien suhteessa k, 1-k. Silloin suorakulmion ala on ka*(1-k)h ja se suhde alkuperäiseen kolmioon on
2k(1-k).
Kun tuo suhde ei riipu parametreista a ja h, pitää valita sen muotoinen kolmio, jossa yläympyrän ala tulee suurimmaksi. Silloin yläkolmio ja myös alkuperäinen kolmio on tasasivuinen. Voidaan osoittaa esim toteamalla ensin että kolmion ala on pr/2 missä p on kolmion piiri ja r on sisään piirretyn ympyrän säde. Voidaan todeta ensin, että tasakylkinen kolmio antaa suuremman r:n vinoon verrattuna, jas itten että tasakylkisistä tasasivuinen antaa suurimman r:n
Muodostuva kuvio on aina täysin identtinen. Koko tietysti vaihtelee. Ihan sama mien alojen suhdetta lähtee laskemaan. Tulos on aina sama.
Voi vaikka aluksi laittaa suorakaiteen leveydeksi tasasivuisen kolmion sivun pituuden ja korkeudeksi 0 ja lähteä sitten pienentämään leveyttä. Yhtä helppo lauseke.
Tehtävä: Muodostakaa Googlelle kuvion löytävä hakulauseke sanoista
"rectangle" and "circle" inscribed inside "equilateral" triangle maximum area
Tehtävä on esiintynyt useissa oppikirjoissa ja laskuharjoituksissa. Googlea on vaikea saada näyttämään mainosten kannalta huonoja sivuja. Sadat keinotekoiset question-answer sivut sotkevat usein kaiken.
Todistus oli tehty jo moneen kertaan.
Vastasin tuohon viestiin, joka oletti kolmion tasasivuiseksi.
Minä kanssa tätä väänsin ja aika yllättävä tulos tuli tuonne loppuun.
Eli kun saadaan suorakaiteen korkeudelle (x) , ihan järkeen käyvästi lauseke tasakylkisen kolmion kantakulman funktiona, niin se lauseke onkin sitten minimoitava , jotta saadaan esiin se, että kolmio on tasasivuinen, sekä myös se korkeus. Suorakaiteen korkeus onkin siis tasasivutapauksessa matalin mahdollinen kaikista eri kantakulmatapauksista.
https://aijaa.com/f8KGEB
Riippuu lähtökohdista. Jos lähtee siitä, että kolmion kanta ja korkeus on vakio (jolloin alakin on vakio, tarkastellaan siis kolmioita, joiden huiput on x-akselin suuntaisella suoralla)), niin silloin suorakulmion ala riippuu vain sen korkeudesta, ei siis lainkaan kantakulmista (olettaen etteivät ne ole yli 90 astetta).
Helppo kokonaislukutehtävä vaikka ruutupaperille piirrettäväksi.
Pallon säde on 5 ja tasakylkisen kolmion ja suorakaiteen sivujen pituudet ovat kaikki kokonaislukuja. Mitkä ovat sivujen pituudet pienimmässä mahdollisessa tapauksessa?
Matematiikkaa minua paljon enemmän osaavat voivat todistaa, miksei pallon säde voi vastaavilla ehdoilla olla viittä suurempi alkuluku tai se kaksinkertaisena. Ei ainakaan ihan pienillä sivujen pituuksilla. Mikä tunnettu laki estää? Kokeilkaa aluksi vaikka alkulukua 7. Säde voi kuitenkin helposti olla 21.
Hei, tämähän onkin mielenkiintoinen. Tein tällaisen uuden hieman eri tavalla asetellun Desmoksen: https://www.desmos.com/calculator/9lbunirooq
Ne ovat aina rationaalilukuja, sillä sivun kulmakerroin on rationaalinen ja sillä on rationaalipiste (suorakulmion kärki). Kk:n rationaalisuuden näkee siitä, että suorakulmion kärjestä piirretyt ympyrän tangentit; toinen niistä on kyseinen sivu-suora ja toinen vaakasuora, joka tangenteeraa ympyrän etelänavalla (jonka koordinaatit oletetaan rationaalisiksi, kun kuviot on järkevästi koordinaatistoon asetettu).
Tehdäänpäs tästä uusi ketju!
Ai niin, käyköhän siinä aina niin, että myös korkeus on kokonaisluku? Näyttäisi siltä.
Ei se käsinlasku kovin paha ole. Kirjoittelin sitä tänne: https://membolicsythod.home.blog/2021/01/31/suorakaide-ja-ympyra-kolmiossa/
Helpotti tietysti kun oli jo tiedossa minkänäköisiä lausekkeita sieltä pitäisi tulla. Käytin ympyrän säteen ratkaisuun kaavaa kolmion sisään piirretyn ympyrälle sivujen pituuksien avulla lausuttuna. Ja sitten saadun lausekkeen sieventämiseen Heronin kaavaa (näissä esiintyy hyvin lähellä toisiaan olevat lausekkeet). Koska lopullinen kaava säteelle on niin sievä, niin olisiko tuohon suorempaa keinoa?
Tuossahan tiedetään kolmion kärkipisteet.
Minä olen koko ajan laskenut tapausta, jossa ei tiedetä muuta kuin yksi kärkipiste.
Ei tiedetä kolmion muotoa, ei kantakulmaa, ei sivujen pituuksia (paitsi korkeus), ei alaa, eikä kärkikulmaakaan.
Kaikki pitää ääriarvotehtävänä saada selville. Ja sainkin, mutta en täysin ymmärrä miksi se tuli niin kuin tuli
https://aijaa.com/f8KGEB
Joo, se olikin tehtävän toinen osa, että myös kolmion annetaan muuttua. Ensimmäisessä osassa optimointi tuli tehdä kiinnitetylle kolmiolle.
Tasasivuinen taitaa olla myös ääritapaus tuossa lisätehtävässä, jossa kysytään periaatteessa miten piiri (tai sen neliö, mutta jos oletetaan piiri=1) ja ala suhtautuvat toisiinsa, että miten pieni niiden suhde voi olla.
Absoluuttisen maksimisuhteen löytämiseksi se kärkipistekään ei ole olennainen, täytyy vaan valita muuttuvat parametrit niin, että saadaan kaikki mahdolliset kolmiot (joissa kantakulma ei ole tylppä). Kun tehtävässä käsiteltiin suorakulmion ympyrän alan suhdetta kolmion alaan, valitsin kolmion kannan ja korkeuden pituuden, koska ne määräävät kolmion alan. Tehtävää helpotti se, että kun kanta ja korkeus on fiksattu, suorakulmion ala ei riipu kolmion muodosta, joten tarvitsee maksimoida vain ympyrän ala.
Kolmion alalle A, piirille p ja sisään piirretyn ympyrän säteelle r voidaan aika helposti osoittaa yhteys: A = pr/2, eli ala per piiri maksimoituu tasasivuisessa kolmiossa.