Lukiolaisille: Derivaatan olemassaolon vaihtoehtoinen esimerkki

En muista koskaan nähneeni derivaatan esityksiä näin enkä perustana olevaa tangentin määritelmää raja-arvona muissakaan esimerkeissä: milloin se on tai ei ole määritelty. Jos etsii todistusta tangentin olemassaololle voi törmätä tyypilliseen derivaatan määritelmään kuten tähän https://math.stackexchange.com/questions/2659689/prove-the-tangent-line-exists/2659708
Ks. myös funktion sileyden todistukset.

Allaoleva on pidempi esitys tangenteille sisältäen useampia objekteja ja olettaa vain raja-arvon käsitteen.

Käytän kahta funktiota merkittävinä perusesimerkkinä ja lopussa voidaan todeta esityksen yleispätevyys.

Avaa nämä kuvaajat (Tapaus 1, Tapaus 2):

https://www.desmos.com/calculator/bjeithauy9
https://www.desmos.com/calculator/00pqjgtvvv

Ensimmäinen on paloittain määritelty funktio y= x ja y=-x . Joka tulee olemaan derivoitumaton pisteessä (0,0) toisin kuin alaspäinen y=-x^2. Näiden funktioiden eroa voidaan havainnollistaa kolmella pisteellä, jotka ovat funktion käyrällä ja tarkastellun origon ympärillä. Jos muunnellaan vakioita d ja c liukusäätimestä nähdään ehkä tapauksessa 1. tapahtuu niin, että kuvajan huipulle jää aina hyvin läheltäkin nollaa tarkasteltuna yksi piste jolle ei voida määritellä yhtä tangenttia kuten opettajat sanovat. Tapauksessa 2. tapahtuu jotain kun pisteet valitaan lähempää toisiaan, ja haluasimme tutkia tätä tilannetta kuvaajien huipulla, kun reunapisteet ovat infinitesimaalisen lähellä keskimmäistä. Onko tapauksen 1 laki piste teistä edelleen yksin tällä huipulla, vaikka siitä seuraaviin oleviin pisteisiin on esim. pelkässä alaspäisessä suunnassa matkaa äärettömän vähän? Ovatko toisen tapauksen pisteet samoin nousseet niin ylös origon vierelle, että ne tukevat tangenttia jotenkin paremmin kuin 1?

Tapaus 2 jatkuu:
https://www.desmos.com/calculator/yifohibiei

Ensin voidaan piirtää apuviivat parabelin pisteille, jotka näyttävät suoran etäisyyden pisteiden välillä. Vihreä ja sininen viiva ovat suoria ja poikkeavat kaarevasta punaisesta funktiosta. Tässä kohtaa huomatutettava, että funktiota f kohti on aina määritelty tietyt L-apuviivat jokaiselle valitulle c:n arvolle eli ne ovat ikäänkuin L:= L_f (c). Tähänkin liittyviä poikkeustapauksia on mainittu lopussa. Lyhimmän etäisyyden tapauksessa palataan samaan merkintään d kuin toisessa kuvassa ja liukusäädinkin on siinä.

Nämä apuviivat, jotka sisältyvät jo tapaukseen 1 itsestään, voivat lisäksi määritellä niiden välisen kulman phi. Sen avulla tapausten erojen voidaan sanoa olevan siinä, että tapaus 1:ssä kulma säilyy vakiona, kun d muuttuu. Toisessa sillä on jokin d:n funktio, jonka olen jättänyt sijoittamatta viimeisen lausekkeen kulmakertoimiin ja esittänyt erikseen alimpana. Oikein valitussa kvadraatissa phi on muotoa pi - arctan (g(d)). Voit nähdä g:n eri arvoilla kytkemällä yhden y= -lausekeeen näkyviin.

Tulemme nyt vaiheeseen, jossa käytetään raja-arvoa eli annetaan d:n lähestyä kummassakin kuvaajassa nollaa : d -> 0.

1: phi (d lähestyy nollaa) -> pi / 2
2: g(d) (d lähestyy nollaa) -> 0
ja atan(g) (g lähestyy nollaa) -> 0

Tästä nähdään, että apuviivojen välisen kulman lähestyessä 180 astetta, lähestyvät yhtä suoraa, joka on -x^2 lakipisteen kautta kulkeva tangentti. Kannattaa huomata, että kyseessä on vain raja-arvo, eli käyrältä -x^2 ei voida valita kolmea pistettä, jotka sijaitsevat tällä tangentilla. Mutta on olemassa tasan kaksi pistettä joiden etäisyys on infinitesimaalisen lähellä (lähestyy nollaa) sitä. Jos näiden vierestä valitaan 4. ja 5. piste, on kyseessä äärellisen kaukana tangentista ja kauempana olevat pisteet, tai sitten tehtäisiin kaksi raja-arvoa ja väitettäisiin kahden eri etäisyyden lähestyvän yhtä lähelle nollaa niiden, (mikä kai on käytännössä sama piste).

Tapauksessa 1 käy myös siten, että jos tehdään suora kuten y=0 yritteeksi, muodostuu erilaisia kateetteja, jotka erottavat sen pisteistä 2. ja 3. Hypotenuusan d lähestyessä nollaa myös kateetti lähestyy, jolloin ensimmäiset pisteet ovat yhtä lähellä suoraa kuin derivoituvassakin tapauksessa. Siksi tulee tarkastella pisteiden kautta kulkevia suoria ja määritellä kulma phi, koska vain kulma ja yksi toinen tieto (tai niitä vastaava joukko tietoa) voi määritellä, että kaksi suoraa on lähestymässä toisiaan, kun kerran niiden kaikki parametrit ovat lähestyneet. Yllä siis tosiasiassa apuviivat tulisi myös venyttää suoriksi, koska raja-arvoja ottaessa avut muuttuvat pisteiksi, mutta suorat eivät ja tarkemmin tämän vuoksi tapaus 1:teen jää erilaisia suoria.

Tangentin määrittävät kolme pistettä voidaan valita mistä tahansa muustakin kohtaa kuin funktion lokaaleista maksimi pisteistä ja sama tarkastelu pätee esim. 1/x: n taskussa. Äärettömyydessä ei ole mielekästä valita vierekkäisiä pisteitä eikä epäjatkuvuuskohdissa saada näillä merkinnöillä valittua kuin kaksi, mikä ei ole riittäävää tarkasteluun.

Tapa poikkeaa siitä, miten derivaatan olemassaolo todistetaan,kun raja-arvoa ei todisteta olevan olemassa eri puolilta vaan sen on oltava yksi pi.