Terve!
Tarvitsen kipeästi apua näihin. Muuten maanantain koe epäonnistuu :(
Tässä on yhtälö
x^2 (1/x^2)-a=0
josta pitäisi ratkaista millä a:n arvoilla ratkaisuja löytyy
a) nolla
b) kaksi
c) neljä.
Tässä on toinen yhtälö
x^2 (1/x^4 2x^2 1)=a
josta pitäisi ratkaista millä a:n arvoilla ratkaisuja löytyy
a) nolla,
b) kaksi
c) kolme
d) neljä.
Tarvitsen kipeästi apua näihin. Muuten maanantain koe epäonnistuu :(
Tässä on yhtälö
x^2 (1/x^2)-a=0
josta pitäisi ratkaista millä a:n arvoilla ratkaisuja löytyy
a) nolla
b) kaksi
c) neljä.
Tässä on toinen yhtälö
x^2 (1/x^4 2x^2 1)=a
josta pitäisi ratkaista millä a:n arvoilla ratkaisuja löytyy
a) nolla,
b) kaksi
c) kolme
d) neljä.
Vastaukset 22
Vanhimmat
Etsi kirjasta tietoa miten yhtälön korkeimmat potenssit ja ratkaisujen määrät liittyvät toisiinsa.
Lisäksi kannattaa piirtää parvi funktion kuvaajia muuttamalla parametrin a arvoa. Kuvaajista pääset käsitykseen juurten määristä.
Vinkki: merkkaa y = x^2.
Ilmeisesti tarkoitetaan reaalijuuria.
x^2 1/x^2 - a =0
x^4 - a x^2 1 = 0 . Olkoon t = x^2.
t^2 - a t 1 = 0. Tällä on juuret t = 1/2 * (a /- sqrt(a^2 - 4)).
Jos a= 2 niin t =1 joten x = /- 1. Juuria siis 2.
Jos a < 2 niin a^- 4 < 0 ja ei ole reaaliratkaisuja t:lle eikä siis reaaliratkaisuja myöskään x:lle.
Jos a > 2 niin ratkaisuja on 4: x = /- sqrt( t) missä t:llä on nuo yllä saadut 2 arvoa.
x^2 1/(x^4 2 x^2 1) = a. Tätäkö tarkoitit? Oliko sulkumerkki väärässä paikassa? En rupea tätä laskemaan koska en ole varma mitä oikein tarkoitit.
Tarkoitin juuri tuota, pahoittelut, kun en osannut käyttää sulkeita. Kiitos ohjeista ensimmäiseen. Yritän samalla tyylillä itse selvittää tämän jälkimmäisenkin.
Kirjoita x^2 1 = t. Yhtälösi on nyt
t-1 1/t^2 = a eli
t^3 -(1 a) t^2 1 = 0
Pääsetkö tästä eteenpäin?
Tässä vielä lisäohje jos saat selvää englanninkielisestä:
Kts. Wikipedia (engl.) : Cubic equation, erityisesti kohdat:
Discriminant
Nature of roots
Multiple root
Englanti ei oikein taivu. Jaksaisitko vielä tehdä eteenpäin tuota toistakin. On sen verran monimutkaisempi kuin ensimmäinen. Suuri kiitos avusta.
Mää ihmettelen kauhiast.
Sinulla on ratkottavana noinkin konstikas tehtävä mutta koulutukseesi ei silti kuulu vähäinenkään englanninkielen taito. Tuo W:n englanninkielinen matemaattinen teksti ei paljon kielitaitoa vaadi.Kuinka on mahdollista Suomessa kouluttautua noinkin pitkälle kuin sinä ilmeisesti ole kouluttaunut ilman että on joutumut oppimaan yhtään englantia?
PS. Ja löytyyhän noita suomenkielisiäkin nohjeita. Googlaa "kolmannen asteen yhtälö".
Siihen diskriminantin tutkimiseen joudutaan. Ja sen jälkeen on vielä tutkittava mitä tuosta sijoituksesta t = x^2 1 seurasi eli niitä mahdollisia x:n arvoja.
No, jatkan tätä toisella menetelmällä.
Olkoonnsiis t = x^2 1. Täytyy siis olla t >= 1.
f(t) = t 1/t^2 - a - 1
f'(t)= 1 - 2/t^3 =0 mistä t = 2^(1/3)
f''(t)= 6/t^4 > 0 jotennkyseessä lokaali minimi.
f(2^(1/3)) = 2^(1/3) 1/2^(2/3) - a - 1 = (3 - 2^(2/3))/2^(2/3) - a > 0 kun a < (3-2^(2/3))/2^(2/3). Minimiarvo on siis arvon a yläpuolella ja tarkaisuja ei ole.
Jos a = (3 - 2^(2/3))/2^(2/3) niin minimiarvo on a. Tällöin x^2 1 = 2^(1/3) eli
x = /- sqrt(2^(1/3) - 1).
Ratkaisuja on kaksi.
Olkoon nyt a > (3 -2^(2/3))/2^(2/3). f'(t) > 0 kun t > 2^(1/3) eli f on minimipisteen jälkeen koko ajan kasvava funktio ja kasvaa rajatta. Se siis saavuttaa arvon a jossain pisteessä t > 2^(1/3) ja vain tässä. On siis yksi ratkaisun t-arvo eli kaksi x:n arvoa ratkaisuna.
Jatkoa: Jäi nyt vielä tutkimatta mitä tapahtuu välillä 1 <= t <= 2^(1/3). Mutta jääkin nyt ainakin tältä illalta.
Jatkoa.Ensin pari korjausta.
"Minimiarvo on siis arvon a yläpuolella..." p.o. "...arvon 0 yläpuolella ja ratkaisuja ei ole."
"...niin minimiarvo on 0."
"...saavuttaa arvon a jossain pisteessä.." p.o. "...arvon 0 jossain..."
Nämä sekaannukset syntyivät kun ensin mietiskelin funktiota f(t) = t 1/t^2. Olisi ehkä ollut parempi kirjoittaa koko juttu uudestaan.
Tässä tehtävässä täytyy siis olla t >= 1 sillä 1 x^2 >= 1.
f(1) = 1 - a. Välillä 1 <= t < 2^(1/3) on f'(t) < 0 ja f on siis tuolla välillä vähenevä funktio. Jos siis (3 - 2^(2/3))/2^(2/3) <a <= 1 löytyy tuolta t-väliltä ratkaisu. Mutta koska f on pisteen t = 2^(1/3) jälkeen kasvava ja kasvaa rajatta, löytyy sieltäkin piste missä f(t) = 0.
x-ratkaisuja on 4.
Hei sori kun tukin nyt samaan ketjuun, mutta mites tämmöinen:
Piste (x0, y0) on paraabelilla f(x)= ax^2. Osoita, että pisteen kautta piirretyn paraabelin tangentin yhtälö voidaan aina kirjoittaa muodossa: y y0=2ax0x
Nuo nollat x:n ja y:n perässä on siis joka kohdassa alaindeksissä.
Yhtälön kulmakertoimeksi saan kyllä 2ax, kun derivoin f(x) yhtälön, mutta mun yhtälöstä tulee y-y0=2ax(x-x0)
Paraabelin f(x) tangentin kulmakerroin pisteessä (x0, f(x0)) on f'(x0) = 2 a x0.
Tuon pisteen kautta kulkevan tangenttisuoran yhtälö on
y - y0 = 2 a x0 (x - x0)
No, vien nyt loppuun asti:
y - y0 = 2 a x0 x - 2 a x0^2 = 2 a x0 x- 2 y0 joten y y0 = 2 a x0 x.
Hei kiitti, nyt tajusin :)
Päättelyllä seuraavasti:
Merkataan x^2 = y, y>=0; silloin saadaan yhtälö:
a = y 1/y
Siitä nähdään, että jos y = b on ratkaisu niin myös y = 1/b on ratkaisu. Jos on ratkaisu, on toinenkin ratkaisu, paitsi kun y= 1, jolloin on vain yksi ratkaisu a = 2.
Osoitetaan että 2 on a:n minimiarvo, jolloin a<2 ei saada ratkaisua.
Merkataan y = 1 c, c>0, silloin yhtälö saadaan muotoon:
a = 2 c^2/(1 c), eli a>2 kun c>0 ja y>1. Sama pätee kun y<1, koska b ja 1/b antavat saman arvon a:lle.
Koska y=x^2, saadaan kullekin y ratkaisua vastaten kaksi x arvoa. Joten:
0 ratkaisua, kun a<2
2 ratkaisua, kun a=2
4 ratkaisua, kun a>2
b)
x^2 1/(x^4 2x^2 1)
= x^2 1/(x^2 1)^2
Merkitään t = x^2 1. Tällöin jokaiselle t>1 on kaksi x-ratkaisua ja arvolle t=1 yksi.
Edellinen lauseke t:n avulla kirjoitettuna on t - 1 1/t^2 . Asetetaan tämä alkuperäisen yhtälön mukaan yhtäsuureksi kuin a.
t 1/t^2 - 1 - a = 0
Lavennetaan saman nimisiksi ja saadaan, että nimittäjän pitää olla nolla
t^3 - (a 1)t^2 1 = 0
Merkitään g(t) = t^3 - (a 1)t^2 1.
Koska g(0)=1 ja g menee miinus äärettömään, kun t menee neg. äärettömään, niin aina on yksi negatiinen juuri. Näin ollen alueessa t>=1 voi olla korkeintaan kaksi juurta.
Koska g'(t) = 3t^2 - 2(a 1)t ja g''(t) = 6t, niin t0 = 2(a 1)/3 on g:n lokaali minimi kun t0>=1. Selvitetään a:n arvo, jolla g sivuaa x-akselia t0:ssa. Tällöin täytyy olla
g(t0)=0 eli
(2(a 1)/3)^3 - (a 1)(2(a 1)/3)^2 1 = 0
(8/27-4/9)(a 1)^3 = - 1
(a 1)^3 = 27/4
a = (27/4)^(1/3)-1 = 3/4^(1/3)-1.
Koska tällä arvolla saatava juuri on suurempi kuin 1 (tark. laskemalla että se on 1,26), niin se tuottaa kaksi x-juurta.
Entäpä sitten se kohta, jossa toinen g:n positiivinen juuri menee alle ykkösen. Sehän tapahtuu arvolla a=1, koska tuolloin g(t) = t^3 - 2t^2 -1, jolla on juuri t=1.
Koska graafi painuu vaaka-akselin alle kohdassa 1,26, niin suurempi juuri on aina yli 1 ja se tuottaa kaksi x-juurta. Pienempi juuri siis tuottaa myös kaksi siihen asti kunhan siitä tulee arvoltaan yksi, jolloin se tuottaa yhden x-juuren ja sen jälkeen ei enää yhtään.
Siis ratkaisu tehtävään on (merk. a0 = 3/4^(1/3)-1 = 0,88988)
nolla juurta, kun a < t0,
kaksi juurta, kun a = t0 tai a>1,
kolme juurta, kun a=1,
neljä juurta, kun t0<a<1.
Kiitos tästä. En olisi kyllä osannut näin perusteellisesti selvittää tehtävää. Toivottavasti kokeessa ei ole mitään näin vaikeaa.
Tuo b-kohta menee hieman helpommin, jos käytetään edellisen ratkaisun sijoitusta t=x^2 1 ja lähdetään tutkimaan funktiota:
a 1 = t 1/t^2
Derivoimalla saadaan funktio 1-2/t^3, jonka 0-kohdaksi nähdään crt2 (kuutiojuuri). Helposti nähdään myös, että tuo on minimikohta, ja että funktio on vähenevä ennen sitä ja kasvava sen jälkeen.
On tosiaan selkeämpää tutkia funktiota g(t) = t 1/t. Vaikka aloitin mietiskelyn sitä käyttäen niin lipsahdin jotenkin tuohon funktioon f(t) = g(t) - a - 1.No, kävihän se silläkin joten kuten. Vai kävikö?