Kinkkinen epäyhtälö taas

Jatkuu.
Käytetään Eulerin lausetta näihinntoisiin derivaattoihin pisreessä (1,1,1) (joka oli kriittinen piste).
f(xx,; 1,1,1) + f(xy; 1,1,1) + f(xz; 1,1 1) = 0
f(yx; 1,1,1) + f(yy; 1,1,1) + f(yz; 1,1,1) =0
f(zx; 1,1,1) + f(zy; 1,1,1) + f(zz; 1,1,1) = 0
Näistä ja edeltävistä toisen derivaatan symmetrioista seuraa, että pisteessä (1,1,1) on f(xx; ) = f(yy; ) = f(zz; ) = - 2 f(xy; )

Riittää siis laskea pelkästään derivaatan f(xx; 1,1,1) arvo.Tämä saadaan helpoimmin derivoimalla kahdesti x:n funktio f(x,1,1) ja tulos on 338/4^6.

Kriittistä pistettä tutkitaan neliömuodon Q(x,y,z ; h1,h2,h3) avulla.
f(1+ h1, 1+ h2, 1+ h3) = 3/4 + 0 + 1/2! * 338/4^6 (h1^2 + h2^2 + h3^2 - h1 h2 - h1 h3 - h3 h1)+ jäännöstermi.
Siis Q(1,1,1; h1,h2,h3) >= 0 ja 0 sjvs kun h1=h2=h3 on piste (1,1,1) lokaali minimi.

Kun muistetaan, että nuo toiset derivaatat ovat homogeenisia astetta - 2 nähdään, että sama pätee koko puolisuoralla (a,a,a) missä a> 0.
3/4 on siis f:n lokaalinen minimiarvo. Sen globaalisuutta entässä nyt todistanut.

Excellent.

Numeerisesti näyttäisi olevan voimassa:

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize

# Määritellään funktio
def f(x):
return x[0] / np.sqrt(x[1]**2 + 15 * x[0] * x[2]) + \
x[1] / np.sqrt(x[2]**2 + 15 * x[0] * x[1]) + \
x[2] / np.sqrt(x[0]**2 + 15 * x[1] * x[2])

# Alkuarvaus
x0 = np.array([1.0, 1.0, 1.0])

# Rajoitukset (x > 0, y > 0, z > 0)
bounds = [(1e-5, None), (1e-5, None), (1e-5, None)]

# Minimointi
result = minimize(f, x0, method='L-BFGS-B', bounds=bounds)

print("Minimiarvo:", result.fun)
print("Minimipiste:", result.x)

Tulostus:

Minimiarvo: 0.75
Minimipiste: [1. 1. 1.]

Joskus tuollaisia epäyhtälöitä voi lähteä ratkomaan Hölderin tai Jensenin epäyhtälön avulla. Joskus taas tuollaiseen voi kehittää numeerisen algoritmin, joka voidaan muuntaa täsmällisesti todistukseksi.

Kirjoittamalla

a = x/y
b = y/z
c = z/x

saadaan lauseke muotoon

a/sqrt(1+15a/b) + b/sqrt(1+15b/c) + c/sqrt(1+15c/a).

Ja koska abc = 1, niin ongelma saadaan pudotettua kaksiulotteiseksi. Tutkitaan siis funktiota

g(a,b) = a/sqrt(1+15a/b) + b/sqrt(1+15ab^2) + 1/sqrt(a^2b^2+15b),
a,b>0

Kun a tai b menee nollaan, niin mennään toisen muuttujan suhteen funktioon t ↦ t + 1/sqrt(15t), joka on suurempaa kuin 3/4 (minimi noin 0,76631).
Ja kun a tai b menee äärettömään, niin g menee äärettömään.

Ja kriittisten pisteiden tarkastelu olikin jo tehty. No, tämän reunatarkastelun olisi varmaan voinut tehdä alkuperäiselle f:llekin.

Ps. tuosta a,b,c -lausekkeesta näyttäisi niinkuin Jensenin pitäisi toimia, mutta sinne tulee ärsyttävästi (a+b+c)^3/2, joka tekee arviosta liian heikon.

Voiko tuo todistaa ChatGPT:llä ja Sagemathilla? Kokeilin näin:

# Määritellään muuttujat
x, y, z = var('x y z')

# Funktio f(x, y, z)
f = x/sqrt(y^2 + 15*x*z) + y/sqrt(z^2 + 15*x*y) + z/sqrt(x^2 + 15*y*z)

# Lasketaan ensimmäisen kertaluvun osittaisderivaatat
f_x = diff(f, x)
f_y = diff(f, y)
f_z = diff(f, z)

# Lasketaan toisen kertaluvun osittaisderivaatat
f_xx = diff(f, x, x)
f_yy = diff(f, y, y)
f_zz = diff(f, z, z)
f_xy = diff(f, x, y)
f_xz = diff(f, x, z)
f_yz = diff(f, y, z)

# Muodostetaan Hessian-matriisi
Hessian = Matrix([[f_xx, f_xy, f_xz],
[f_xy, f_yy, f_yz],
[f_xz, f_yz, f_zz]])

# Lasketaan Hessianin determinantti
det_Hessian = Hessian.det()
det_Hessian

# Lasketaan gradientti
grad_f = [diff(f, var) for var in [x, y, z]]

# Tarkastellaan gradienttia pisteessä x = y = z = 1
grad_at_1 = [g.subs({x: 1, y: 1, z: 1}) for g in grad_f]
print(grad_at_1)

f_xx_at_1 = f_xx.subs({x: 1, y: 1, z: 1})
print(f_xx_at_1)
Hessian = Matrix([[f_xx, f_xy, f_xz],
[f_xy, f_yy, f_yz],
[f_xz, f_yz, f_zz]])
Hessian_at_1 = Hessian.subs({x: 1, y: 1, z: 1})
# Laske determinantti ja tallenna se muuttujaan
det_Hessian_at_1 = Hessian_at_1.det()

# Tulosta determinantti
print(det_Hessian_at_1)

# Laske ominaisarvot ja tallenna ne muuttujaan
eigenvalues_at_1 = Hessian_at_1.eigenvalues()

# Tulosta ominaisarvot
print(eigenvalues_at_1)

Tuloste oli:

/usr/lib/python3/dist-packages/scipy/__init__.py:146: UserWarning: A NumPy version >=1.17.3 and <1.25.0 is required for this version of SciPy (detected version 1.26.4
warnings.warn(f"A NumPy version >={np_minversion} and <{np_maxversion}"
Solution:
x = [1.00000000e+00 4.55921939e-04 5.87326810e-06 9.99997912e-01]
Objective value = 1.0000002078791197
Constraint 1 (x1^2 + x2^2 - 1) = 2.0784026544262701e-07
Constraint 2 (x1^2 + x3^2 - 1) = 9.946488077616777e-12
[0, 0, 0]
169/2048
0
[507/4096, 507/4096, 0]

ChatGPT vastasi (osa matikan sympoleista kopioituu tuplana, sori):
Tuloksesi näyttää olevan oikein:

Gradientti on nolla [0,0,0][0,0,0], mikä vahvistaa, että piste (x=y=z=1)(x=y=z=1) on kriittinen piste (kriittinen piste löytyy, kun kaikki gradientin komponentit ovat nollia).

Determinantti on 169/2048​, joka on positiivinen. Tämä kertoo, että Hessianin determinantti on positiivinen, mikä yleensä viittaa siihen, että kyseessä on minimi.

Ominaisarvot ovat [507/4096,507/4096,0]. Tämä tarkoittaa, että Hessianin ominaisarvoista kaksi on positiivisia ja yksi on nolla. Nolla-arvo voi merkitä, että kyseessä ei ole "tiukka" minimi, vaan satulapiste, mutta koska determinantti on positiivinen ja kaksi ominaisarvoa ovat positiivisia, voidaan silti päätellä, että piste (x=y=z=1) on lokaali minimi.

Päätelmä:

Koska gradientti on nolla ja Hessianin determinantti on positiivinen (ja useat ominaisarvot ovat positiivisia), voimme päätellä, että piste x=y=z=1 on minimi. Tämä vahvistaa, että funktion f(x,y,z) vähintään 3/4​ pätee, ja että minimissä f(1,1,1)=3/4​.

Tämä siis tukee alkuperäistä epäyhtälöä!

Entä näin?

\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage{amsmath,amssymb}

\title{Todistus epäyhtälölle}
\author{}
\date{}

\begin{document}

\maketitle

\section*{Todistus}

Aloitamme oletuksella \(x = 1\), jolloin epäyhtälö yksinkertaistuu seuraavaan muotoon:

\[
f(y, z) = \frac{1}{\sqrt{y^2 + 15z}} + \frac{y}{\sqrt{z^2 + 15y}} + \frac{z}{\sqrt{1 + 15yz}}.
\]

Tavoitteenamme on osoittaa, että \(f(y, z) \geq \frac{3}{4}\) kaikilla \(y > 0\) ja \(z > 0\).

\subsection*{Vaihe 1: Symmetria}

Yksi luonnollinen ehdokas kriittiseksi pisteeksi on \(y = z = 1\), koska termit ovat symmetrisiä. Tarkastetaan, onko tämä kriittinen piste ja arvioidaan \(f(1, 1)\).

Kun \(y = 1\) ja \(z = 1\), funktio yksinkertaistuu:

\[
f(1, 1) = \frac{1}{\sqrt{1^2 + 15 \cdot 1}} + \frac{1}{\sqrt{1^2 + 15 \cdot 1}} + \frac{1}{\sqrt{1 + 15 \cdot 1}}.
\]

Tämä on:

\[
f(1, 1) = \frac{1}{\sqrt{16}} + \frac{1}{\sqrt{16}} + \frac{1}{\sqrt{16}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}.
\]

Näin ollen \(y = 1\) ja \(z = 1\) on kriittinen piste, ja tässä pisteessä \(f(1, 1) = \frac{3}{4}\), mikä tyydyttää epäyhtälön. Tämä viittaa siihen, että kyseessä on globaali minimi.

\subsection*{Vaihe 2: Käyttäytyminen äärettömyydessä}

Seuraavaksi tarkastellaan funktion \(f(y, z)\) käyttäytymistä, kun \(y \to \infty\) tai \(z \to \infty\).

\paragraph{Tapaus 1: \(y \to \infty\), \(z\) kiinteä}
Kun \(y \to \infty\), termi \( \frac{1}{\sqrt{y^2 + 15z}} \) käyttäytyy kuten \( \frac{1}{y} \), mikä lähestyy nollaa, kun \(y \to \infty\). Samoin termi \( \frac{y}{\sqrt{z^2 + 15y}} \) käyttäytyy kuten \( \frac{y}{\sqrt{15y}} = \frac{1}{\sqrt{15}} \), joka on vakio. Kolmas termi \( \frac{z}{\sqrt{1 + 15yz}} \) myös lähestyy nollaa, kun \(y \to \infty\).

Näin ollen, kun \(y \to \infty\), funktio käyttäytyy asymptoottisesti seuraavasti:

\[
f(y, z) \approx \frac{1}{\sqrt{15}} + 0 + 0 = \frac{1}{\sqrt{15}}.
\]

Koska \( \frac{1}{\sqrt{15}} \approx 0.258 \), mikä on vähemmän kuin \(\frac{3}{4}\), minimi ei voi olla äärettömyydessä.

\paragraph{Tapaus 2: \(z \to \infty\), \(y\) kiinteä}
Kun \(z \to \infty\), termi \( \frac{1}{\sqrt{y^2 + 15z}} \) käyttäytyy kuten \( \frac{1}{\sqrt{15z}} \), mikä lähestyy nollaa. Samoin termi \( \frac{y}{\sqrt{z^2 + 15y}} \) käyttäytyy kuten \( \frac{y}{z} \), joka myös lähestyy nollaa. Kolmas termi \( \frac{z}{\sqrt{1 + 15yz}} \) käyttäytyy kuten \( \frac{1}{\sqrt{15y}} \).

Näin ollen, kun \(z \to \infty\), funktio käyttäytyy asymptoottisesti seuraavasti:

\[
f(y, z) \approx 0 + 0 + \frac{1}{\sqrt{15y}}.
\]

Koska \( \frac{1}{\sqrt{15y}} \) on aina vähemmän kuin \(\frac{3}{4}\), minimi ei voi olla äärettömyydessä.

\subsection*{Vaihe 3: Käyttäytyminen rajoilla}

Tarkastellaan seuraavaksi funktion \(f(y, z)\) käyttäytymistä, kun \(y \to 0\) ja \(z \to 0\).

\paragraph{Tapaus 1: \(y \to 0\), \(z\) kiinteä}
Kun \(y \to 0\), termi \( \frac{1}{\sqrt{y^2 + 15z}} \) käyttäytyy kuten \( \frac{1}{\sqrt{15z}} \), joka pysyy rajallisena. Termi \( \frac{y}{\sqrt{z^2 + 15y}} \) lähestyy nollaa, ja termi \( \frac{z}{\sqrt{1 + 15yz}} \) käyttäytyy kuten \(z\), joka on myös rajallinen.

Näin ollen, kun \(y \to 0\), funktio käyttäytyy seuraavasti:

\[
f(y, z) \approx \frac{1}{\sqrt{15z}} + z.
\]

Minimoidaan tämä \(z\):n suhteen derivoimalla:

\[
\frac{d}{dz} \left( \frac{1}{\sqrt{15z}} + z \right) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{z^{3/2} \sqrt{15}} + 1 = 0,
\]

josta saadaan \(z \approx 0.2554\). Kun tämä sijoitetaan takaisin, saadaan:

\[
f(y \to 0, z \approx 0.2554) \approx 0.766.
\]

Näin ollen \(f(y, z) > \frac{3}{4}\) tällä alueella.

\paragraph{Tapaus 2: \(z \to 0\), \(y\) kiinteä}
Kun \(z \to 0\), termi \( \frac{1}{\sqrt{y^2 + 15z}} \) käyttäytyy kuten \( \frac{1}{y} \), joka pysyy rajallisena. Termi \( \frac{y}{\sqrt{z^2 + 15y}} \) käyttäytyy kuten \( \frac{y}{\sqrt{15y}} = \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{15}} \), ja kolmas termi \( \frac{z}{\sqrt{1 + 15yz}} \) lähestyy nollaa.

Näin ollen, kun \(z \to 0\), funktio käyttäytyy seuraavasti:

\[
f(y, z) \approx \frac{1}{y} + \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{15}}.
\]

Minimoidaan tämä \(y\):n suhteen derivoimalla:

\[
\frac{d}{dy} \left( \frac{1}{y} + \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{15}} \right) = -\frac{1}{y^2} + \frac{1}{2\sqrt{15y}} = 0,
\]

josta saadaan \(y \approx 3.915\). Kun tämä sijoitetaan takaisin, saadaan:

\[
f(y \approx 3.915, z \to 0) \approx 0.766.
\]

Näin ollen \(f(y, z) > \frac{3}{4}\) myös tällä alueella.

\subsection*{Vaihe 4: Johtopäätös}

Vaiheista 2 ja 3 näemme, että:

\begin{itemize}
\item Funktio \(f(y, z)\) lähestyy arvoja, jotka ovat suurempia kuin \(\frac{3}{4}\), kun \(y\) tai \(z\) lähestyvät äärettömyyttä tai nollaa.
\item Funktion \(f(y, z)\) minimi saavutetaan pisteessä \( (1, 1) \), jossa \(f(1, 1) = \frac{3}{4}\).
\end{itemize}

Näin ollen \(f(y, z) \geq \frac{3}{4}\) kaikilla \(y > 0\) ja \(z > 0\), ja epäyhtälö on todistettu.

\end{document}