f(x,y,z) = x/sqrt(y^2 + 15 xz) + y/sqrt(z^2 + 15 xy) + z/sqrt(x^2 + 15 zy) kun x>0, y>0, z>0.
Kirjoitustyötä helpottaakseni kirjoitan
d/dx f(a,b,c) = f( x; a.b,c) , d/dy f(ab,c) = f(y; a,b,c) , d/dz f(a,b,c) = f(z; a,b,c)
d^2/dx^2 f(a,b,c) = f(xx; a,bc) ja samoin f(xy; a,b,c) ....f(zz; ab,c). Jos pisteellä (a,b,c) ei ole väliä lyhennän nämä muotoon f(x; )...f(xx; )...f(zz; )
On todistettava, että f(x,y,z) >= 3/4.
Funktiolla f on symmetria
(1) f(a,b,c) = f(b,c,a) = f(c,a,b)
f on homogeeninen astetta 0 eli f(ta,tb,tc) = f(a,b,c).
Tällöin 1. osittaisderivaatat ovat homogeenifunktioita astetta - 1 ja toiset osittaisderivaatat derivaatat astetta - 2.
Osittaisderivaatan määritelmästä ja symmetriasta (1) seuraa, että
(2) f(x;a,b,c) = f(z; b,c,a) = f(y; c,a,b)
Eulerin homogeenifunktioita koskeva lause sanoo että jos funktio on homogeeninen astetta n niin sen derivaatta on homogeeninen astetta n-1.Lisäksi
(3) a f(x; a,b,c) ) + b f(y; a,b,c) + c f(z; a,b,c) = n f(a,b,c)
Tästä ja yhtälöistä (2) seuraa,että fx; (a,a,a) = fy; (a,a,a) = f(z; a,a,a) = 0
Erityisesti tämä pätee kun a = 1. Lisäksi f(a,a,a) = 3/4.
Itse asiassa(3) sanoo, että f:n derivaatta suuntaan (a,a,a) = 0 eli f on vakio tuolla puolisuoralla .
(1,1,1) on siis funktion f kriittinen piste.
Yhtälöistä (2) ja toisen osittaisderivaatan määritelmästä seuraa, että
f(xx;a,b,c) = f(zz; b,c,a)) = f(yy; c,a,b)
f(xy; a,b,c) = f(zx; b,c,a) = f(y,z; c,a,b)
f(xz;a,b,c) = f(zy; b,c,a) = f(yx; c,a,b)
Pisteessä (1,1,1) on siis
f(xx; ) = f(yy; ) = f(zz; ) ja f(xy; ) = f(zx; ) = f(yz; ) = f(xz; ) = f(zy; ) = f(yx; = f(xz; ) = f(zy; ) = f(yx; ). Tässä on käytetty myös toisen osittaisderivaatan symmetrisyyttä.
Jatkuu
Kinkkinen epäyhtälö taas
22
2407
Vastaukset
Jatkuu.
Käytetään Eulerin lausetta näihinntoisiin derivaattoihin pisreessä (1,1,1) (joka oli kriittinen piste).
f(xx,; 1,1,1) + f(xy; 1,1,1) + f(xz; 1,1 1) = 0
f(yx; 1,1,1) + f(yy; 1,1,1) + f(yz; 1,1,1) =0
f(zx; 1,1,1) + f(zy; 1,1,1) + f(zz; 1,1,1) = 0
Näistä ja edeltävistä toisen derivaatan symmetrioista seuraa, että pisteessä (1,1,1) on f(xx; ) = f(yy; ) = f(zz; ) = - 2 f(xy; )
Riittää siis laskea pelkästään derivaatan f(xx; 1,1,1) arvo.Tämä saadaan helpoimmin derivoimalla kahdesti x:n funktio f(x,1,1) ja tulos on 338/4^6.
Kriittistä pistettä tutkitaan neliömuodon Q(x,y,z ; h1,h2,h3) avulla.
f(1+ h1, 1+ h2, 1+ h3) = 3/4 + 0 + 1/2! * 338/4^6 (h1^2 + h2^2 + h3^2 - h1 h2 - h1 h3 - h3 h1)+ jäännöstermi.
Siis Q(1,1,1; h1,h2,h3) >= 0 ja 0 sjvs kun h1=h2=h3 on piste (1,1,1) lokaali minimi.
Kun muistetaan, että nuo toiset derivaatat ovat homogeenisia astetta - 2 nähdään, että sama pätee koko puolisuoralla (a,a,a) missä a> 0.
3/4 on siis f:n lokaalinen minimiarvo. Sen globaalisuutta entässä nyt todistanut.Vielä pikku kommentti. Jos g(x,y,z) = sqrt(y^2 + 15 xz) / x + sqrt(z^2 + 15 xy)/y + sqrt(x^2 + 15zy)/z
niin pystyn ihan epäyhtälöillä todistamaan, että
g(x,y,z) >= 12
f*g >= 9
f + g >= 12 3/4.
Nämä toteutuvat, jos f >= 3/4.
Mutta "hauskaa" kyllä, näistä ei seuraa, että f >= 3/4.
- Anonyymi
Excellent.
- Anonyymi
Numeerisesti näyttäisi olevan voimassa:
import numpy as np
from scipy.optimize import minimize
# Määritellään funktio
def f(x):
return x[0] / np.sqrt(x[1]**2 + 15 * x[0] * x[2]) + \
x[1] / np.sqrt(x[2]**2 + 15 * x[0] * x[1]) + \
x[2] / np.sqrt(x[0]**2 + 15 * x[1] * x[2])
# Alkuarvaus
x0 = np.array([1.0, 1.0, 1.0])
# Rajoitukset (x > 0, y > 0, z > 0)
bounds = [(1e-5, None), (1e-5, None), (1e-5, None)]
# Minimointi
result = minimize(f, x0, method='L-BFGS-B', bounds=bounds)
print("Minimiarvo:", result.fun)
print("Minimipiste:", result.x)
Tulostus:
Minimiarvo: 0.75
Minimipiste: [1. 1. 1.]- Anonyymi
Hyvähän tätä on tutkia näinkin. Jos olisi tullut sellainen tulos, että 3/4 ei olekaan globaali minimi niin eipä kannattaisi miettiä todistusta sille, että se tosiaan on.
Vielä on siis toivoa! - Anonyymi
Tässä lähestymistavassa on ongelmana se, että minimipisteet eivät ole erillisiä vaan kaikki muotoa (a,a,a) olevat pisteet, joita on äärettömän monta. Tämä tekee globaalin minimin etsimisen algoritmisesti erittäin vaikeaksi. Kenties löytyy joku muunnos, joka muuntaa epäyhtälön sellaiseksi, että riittää todistaa epäyhtälön olevan voimassa äärettömän monella pistekolmikolla (a,b,c).
- Anonyymi
Joskus tuollaisia epäyhtälöitä voi lähteä ratkomaan Hölderin tai Jensenin epäyhtälön avulla. Joskus taas tuollaiseen voi kehittää numeerisen algoritmin, joka voidaan muuntaa täsmällisesti todistukseksi.
- Anonyymi
Ja joskus voi hölöttää turhanpäiväisyyksiä!
- Anonyymi
Kirjoittamalla
a = x/y
b = y/z
c = z/x
saadaan lauseke muotoon
a/sqrt(1+15a/b) + b/sqrt(1+15b/c) + c/sqrt(1+15c/a).
Ja koska abc = 1, niin ongelma saadaan pudotettua kaksiulotteiseksi. Tutkitaan siis funktiota
g(a,b) = a/sqrt(1+15a/b) + b/sqrt(1+15ab^2) + 1/sqrt(a^2b^2+15b),
a,b>0
Kun a tai b menee nollaan, niin mennään toisen muuttujan suhteen funktioon t ↦ t + 1/sqrt(15t), joka on suurempaa kuin 3/4 (minimi noin 0,76631).
Ja kun a tai b menee äärettömään, niin g menee äärettömään.
Ja kriittisten pisteiden tarkastelu olikin jo tehty. No, tämän reunatarkastelun olisi varmaan voinut tehdä alkuperäiselle f:llekin.
Ps. tuosta a,b,c -lausekkeesta näyttäisi niinkuin Jensenin pitäisi toimia, mutta sinne tulee ärsyttävästi (a+b+c)^3/2, joka tekee arviosta liian heikon.- Anonyymi
abc = 1 ei ole tuon funktion määritysalue.
0-homogeemisuudesta seuraa sen sijaan, että funktio saa kaikki arvonsa jo alueessa
a+b+c =1. sillä
f(a/(a+b+c) , b/(a+b+c), c/(a+b+c)) = f(a,b,c)
- Anonyymi
Voiko tuo todistaa ChatGPT:llä ja Sagemathilla? Kokeilin näin:
# Määritellään muuttujat
x, y, z = var('x y z')
# Funktio f(x, y, z)
f = x/sqrt(y^2 + 15*x*z) + y/sqrt(z^2 + 15*x*y) + z/sqrt(x^2 + 15*y*z)
# Lasketaan ensimmäisen kertaluvun osittaisderivaatat
f_x = diff(f, x)
f_y = diff(f, y)
f_z = diff(f, z)
# Lasketaan toisen kertaluvun osittaisderivaatat
f_xx = diff(f, x, x)
f_yy = diff(f, y, y)
f_zz = diff(f, z, z)
f_xy = diff(f, x, y)
f_xz = diff(f, x, z)
f_yz = diff(f, y, z)
# Muodostetaan Hessian-matriisi
Hessian = Matrix([[f_xx, f_xy, f_xz],
[f_xy, f_yy, f_yz],
[f_xz, f_yz, f_zz]])
# Lasketaan Hessianin determinantti
det_Hessian = Hessian.det()
det_Hessian
# Lasketaan gradientti
grad_f = [diff(f, var) for var in [x, y, z]]
# Tarkastellaan gradienttia pisteessä x = y = z = 1
grad_at_1 = [g.subs({x: 1, y: 1, z: 1}) for g in grad_f]
print(grad_at_1)
f_xx_at_1 = f_xx.subs({x: 1, y: 1, z: 1})
print(f_xx_at_1)
Hessian = Matrix([[f_xx, f_xy, f_xz],
[f_xy, f_yy, f_yz],
[f_xz, f_yz, f_zz]])
Hessian_at_1 = Hessian.subs({x: 1, y: 1, z: 1})
# Laske determinantti ja tallenna se muuttujaan
det_Hessian_at_1 = Hessian_at_1.det()
# Tulosta determinantti
print(det_Hessian_at_1)
# Laske ominaisarvot ja tallenna ne muuttujaan
eigenvalues_at_1 = Hessian_at_1.eigenvalues()
# Tulosta ominaisarvot
print(eigenvalues_at_1)
Tuloste oli:
/usr/lib/python3/dist-packages/scipy/__init__.py:146: UserWarning: A NumPy version >=1.17.3 and <1.25.0 is required for this version of SciPy (detected version 1.26.4
warnings.warn(f"A NumPy version >={np_minversion} and <{np_maxversion}"
Solution:
x = [1.00000000e+00 4.55921939e-04 5.87326810e-06 9.99997912e-01]
Objective value = 1.0000002078791197
Constraint 1 (x1^2 + x2^2 - 1) = 2.0784026544262701e-07
Constraint 2 (x1^2 + x3^2 - 1) = 9.946488077616777e-12
[0, 0, 0]
169/2048
0
[507/4096, 507/4096, 0]
ChatGPT vastasi (osa matikan sympoleista kopioituu tuplana, sori):
Tuloksesi näyttää olevan oikein:
Gradientti on nolla [0,0,0][0,0,0], mikä vahvistaa, että piste (x=y=z=1)(x=y=z=1) on kriittinen piste (kriittinen piste löytyy, kun kaikki gradientin komponentit ovat nollia).
Determinantti on 169/2048, joka on positiivinen. Tämä kertoo, että Hessianin determinantti on positiivinen, mikä yleensä viittaa siihen, että kyseessä on minimi.
Ominaisarvot ovat [507/4096,507/4096,0]. Tämä tarkoittaa, että Hessianin ominaisarvoista kaksi on positiivisia ja yksi on nolla. Nolla-arvo voi merkitä, että kyseessä ei ole "tiukka" minimi, vaan satulapiste, mutta koska determinantti on positiivinen ja kaksi ominaisarvoa ovat positiivisia, voidaan silti päätellä, että piste (x=y=z=1) on lokaali minimi.
Päätelmä:
Koska gradientti on nolla ja Hessianin determinantti on positiivinen (ja useat ominaisarvot ovat positiivisia), voimme päätellä, että piste x=y=z=1 on minimi. Tämä vahvistaa, että funktion f(x,y,z) vähintään 3/4 pätee, ja että minimissä f(1,1,1)=3/4.
Tämä siis tukee alkuperäistä epäyhtälöä!- Anonyymi
Todistin jo ihan matemaattisesti tuon lokaalin minimin olemassaolon. Oikeastaan tietokoneohjelmilla tehty "todistus" ei sitä enää tue, pikemminkin tulos kertoo, että ohjelmisto toimii ,ainakin tässä tapauksessa, oikein.
Mutta onhan tietenkin hauska kokeilla, mitä koneella saa aikaan.
Tuo "Hessianin determinantti" on muuten Hessen determinantti.
Katso myös kommenttini / 2024-09-07 16:33:11
- Anonyymi
Entä näin?
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\title{Todistus epäyhtälölle}
\author{}
\date{}
\begin{document}
\maketitle
\section*{Todistus}
Aloitamme oletuksella \(x = 1\), jolloin epäyhtälö yksinkertaistuu seuraavaan muotoon:
\[
f(y, z) = \frac{1}{\sqrt{y^2 + 15z}} + \frac{y}{\sqrt{z^2 + 15y}} + \frac{z}{\sqrt{1 + 15yz}}.
\]
Tavoitteenamme on osoittaa, että \(f(y, z) \geq \frac{3}{4}\) kaikilla \(y > 0\) ja \(z > 0\).
\subsection*{Vaihe 1: Symmetria}
Yksi luonnollinen ehdokas kriittiseksi pisteeksi on \(y = z = 1\), koska termit ovat symmetrisiä. Tarkastetaan, onko tämä kriittinen piste ja arvioidaan \(f(1, 1)\).
Kun \(y = 1\) ja \(z = 1\), funktio yksinkertaistuu:
\[
f(1, 1) = \frac{1}{\sqrt{1^2 + 15 \cdot 1}} + \frac{1}{\sqrt{1^2 + 15 \cdot 1}} + \frac{1}{\sqrt{1 + 15 \cdot 1}}.
\]
Tämä on:
\[
f(1, 1) = \frac{1}{\sqrt{16}} + \frac{1}{\sqrt{16}} + \frac{1}{\sqrt{16}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}.
\]
Näin ollen \(y = 1\) ja \(z = 1\) on kriittinen piste, ja tässä pisteessä \(f(1, 1) = \frac{3}{4}\), mikä tyydyttää epäyhtälön. Tämä viittaa siihen, että kyseessä on globaali minimi.
\subsection*{Vaihe 2: Käyttäytyminen äärettömyydessä}
Seuraavaksi tarkastellaan funktion \(f(y, z)\) käyttäytymistä, kun \(y \to \infty\) tai \(z \to \infty\).
\paragraph{Tapaus 1: \(y \to \infty\), \(z\) kiinteä}
Kun \(y \to \infty\), termi \( \frac{1}{\sqrt{y^2 + 15z}} \) käyttäytyy kuten \( \frac{1}{y} \), mikä lähestyy nollaa, kun \(y \to \infty\). Samoin termi \( \frac{y}{\sqrt{z^2 + 15y}} \) käyttäytyy kuten \( \frac{y}{\sqrt{15y}} = \frac{1}{\sqrt{15}} \), joka on vakio. Kolmas termi \( \frac{z}{\sqrt{1 + 15yz}} \) myös lähestyy nollaa, kun \(y \to \infty\).
Näin ollen, kun \(y \to \infty\), funktio käyttäytyy asymptoottisesti seuraavasti:
\[
f(y, z) \approx \frac{1}{\sqrt{15}} + 0 + 0 = \frac{1}{\sqrt{15}}.
\]
Koska \( \frac{1}{\sqrt{15}} \approx 0.258 \), mikä on vähemmän kuin \(\frac{3}{4}\), minimi ei voi olla äärettömyydessä.
\paragraph{Tapaus 2: \(z \to \infty\), \(y\) kiinteä}
Kun \(z \to \infty\), termi \( \frac{1}{\sqrt{y^2 + 15z}} \) käyttäytyy kuten \( \frac{1}{\sqrt{15z}} \), mikä lähestyy nollaa. Samoin termi \( \frac{y}{\sqrt{z^2 + 15y}} \) käyttäytyy kuten \( \frac{y}{z} \), joka myös lähestyy nollaa. Kolmas termi \( \frac{z}{\sqrt{1 + 15yz}} \) käyttäytyy kuten \( \frac{1}{\sqrt{15y}} \).
Näin ollen, kun \(z \to \infty\), funktio käyttäytyy asymptoottisesti seuraavasti:
\[
f(y, z) \approx 0 + 0 + \frac{1}{\sqrt{15y}}.
\]
Koska \( \frac{1}{\sqrt{15y}} \) on aina vähemmän kuin \(\frac{3}{4}\), minimi ei voi olla äärettömyydessä.
\subsection*{Vaihe 3: Käyttäytyminen rajoilla}
Tarkastellaan seuraavaksi funktion \(f(y, z)\) käyttäytymistä, kun \(y \to 0\) ja \(z \to 0\).
\paragraph{Tapaus 1: \(y \to 0\), \(z\) kiinteä}
Kun \(y \to 0\), termi \( \frac{1}{\sqrt{y^2 + 15z}} \) käyttäytyy kuten \( \frac{1}{\sqrt{15z}} \), joka pysyy rajallisena. Termi \( \frac{y}{\sqrt{z^2 + 15y}} \) lähestyy nollaa, ja termi \( \frac{z}{\sqrt{1 + 15yz}} \) käyttäytyy kuten \(z\), joka on myös rajallinen.
Näin ollen, kun \(y \to 0\), funktio käyttäytyy seuraavasti:
\[
f(y, z) \approx \frac{1}{\sqrt{15z}} + z.
\]
Minimoidaan tämä \(z\):n suhteen derivoimalla:
\[
\frac{d}{dz} \left( \frac{1}{\sqrt{15z}} + z \right) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{z^{3/2} \sqrt{15}} + 1 = 0,
\]
josta saadaan \(z \approx 0.2554\). Kun tämä sijoitetaan takaisin, saadaan:
\[
f(y \to 0, z \approx 0.2554) \approx 0.766.
\]
Näin ollen \(f(y, z) > \frac{3}{4}\) tällä alueella.
\paragraph{Tapaus 2: \(z \to 0\), \(y\) kiinteä}
Kun \(z \to 0\), termi \( \frac{1}{\sqrt{y^2 + 15z}} \) käyttäytyy kuten \( \frac{1}{y} \), joka pysyy rajallisena. Termi \( \frac{y}{\sqrt{z^2 + 15y}} \) käyttäytyy kuten \( \frac{y}{\sqrt{15y}} = \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{15}} \), ja kolmas termi \( \frac{z}{\sqrt{1 + 15yz}} \) lähestyy nollaa.
Näin ollen, kun \(z \to 0\), funktio käyttäytyy seuraavasti:
\[
f(y, z) \approx \frac{1}{y} + \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{15}}.
\]
Minimoidaan tämä \(y\):n suhteen derivoimalla:
\[
\frac{d}{dy} \left( \frac{1}{y} + \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{15}} \right) = -\frac{1}{y^2} + \frac{1}{2\sqrt{15y}} = 0,
\]
josta saadaan \(y \approx 3.915\). Kun tämä sijoitetaan takaisin, saadaan:
\[
f(y \approx 3.915, z \to 0) \approx 0.766.
\]
Näin ollen \(f(y, z) > \frac{3}{4}\) myös tällä alueella.
\subsection*{Vaihe 4: Johtopäätös}
Vaiheista 2 ja 3 näemme, että:
\begin{itemize}
\item Funktio \(f(y, z)\) lähestyy arvoja, jotka ovat suurempia kuin \(\frac{3}{4}\), kun \(y\) tai \(z\) lähestyvät äärettömyyttä tai nollaa.
\item Funktion \(f(y, z)\) minimi saavutetaan pisteessä \( (1, 1) \), jossa \(f(1, 1) = \frac{3}{4}\).
\end{itemize}
Näin ollen \(f(y, z) \geq \frac{3}{4}\) kaikilla \(y > 0\) ja \(z > 0\), ja epäyhtälö on todistettu.
\end{document}- Anonyymi
Aika pitkä. Vissiin lyhyemmin:
Tarkastellaan funktiota
f(x,y,z) = x / √(y² + 15xz) + y / √(z² + 15xy) + z / √(x² + 15yz),
kun x, y, z > 0.
Tavoite: osoittaa, että f(x,y,z) ≥ 3/4 ja että minimi saavutetaan vain kun x = y = z.
---
1. Homogeenisuus
Funktio ei muutu, jos kerromme kaikki muuttujat samalla positiivisella luvulla t:
f(tx, ty, tz) = f(x, y, z).
Tämä tarkoittaa, että voimme halutessamme “normalisoida” muuttujat vaikka tasolle
x + y + z = 1.
Mitään ei menetetä: f:n arvo pysyy samana.
Jatkossa rajoitumme tähän tasoon.
---
2. Symmetria → ehdokas minimille on x=y=z
Funktio on symmetrinen muuttujissa (syklinen symmetria).
Tällöin luonnollinen kandidaatti minimille on symmetrinen piste
x = y = z = 1/3.
Kun lasketaan derivaatat (ei tehdä sitä tässä), huomataan, että
gradientti häviää kohdassa x = y = z.
Siis se on kriittinen piste.
Lisäksi suora lasku antaa:
f(1/3, 1/3, 1/3) = 3/4.
Joten nyt tiedämme:
f saavuttaa arvon 3/4 pisteessä x=y=z,
tämä piste on kriittinen.
Tarvitaan vielä kaksi asiaa:
1. että tämä kriittinen piste on lokaali minimi,
2. että se on myös globaali minimi.
---
3. Lokaali minimi (geometrinen argumentti)
Funktion toinen derivaatta (Hessian) symmetrisessä pisteessä muodostaa matriisin, jonka muoto on symmetrian vuoksi
[a b b]
[b a b]
[b b a].
Tällaisen matriisin ominaisarvot (kaarevuudet eri suunnissa) ovat:
suuntaan (1,1,1): a + 2b
kaikkiin symmetrian tasoa vastaan kohtisuoriin suuntiin: a - b
Homogeenisuus (aste 0) tarkoittaa, että skaalasuunnassa kaarevuus on 0 → a + 2b = 0.
Suora lasku yhdestä toisesta derivaatasta riittää osoittamaan, että a - b > 0.
Tämä riittää: tasossa x + y + z = 1 funktio kaareutuu ylöspäin symmetrisessä pisteessä → se on lokaali minimi.
---
4. Reunan tutkiminen → minimi ei voi olla reunalla
Kun joku muuttuja menee kohti nollaa, esim. x → 0⁺, jäljelle jää kaksi termiä ja funktio supistuu yhden muuttujan funktioksi muotoa
t + 1 / √(15 t).
Tällä funktiolla on yksikäsitteinen minimiarvo noin 0.7663…,
joka on selvästi suurempi kuin 3/4.
Samoin käy kaikilla reunoilla (y=0 tai z=0).
Lisäksi kulmapisteissä (kaksi muuttujaa → 0) funktio kasvaa kohti ääretöntä.
Tästä seuraa:
Funktion arvo ei koskaan ole < 3/4 reunoilla.
Siis minimi ei voi sijaitakaan reunalla → sen täytyy olla sisäosassa.
---
5. Ainoa sisäpisteen kriittinen piste
Taso x + y + z = 1 on yksidimensioisesti “tasainen”, ja f:llä on sisäosassa tasan yksi kriittinen piste: x=y=z.
Se oli jo havaittu.
Koska
se on sisäosan lokaali minimi, ja
reuna-arvot ovat kaikki suurempia kuin 3/4,
niin tästä seuraa:
Piste x=y=z antaa globaali minim arvon.
---
6. Johtopäätös
Kaikilla positiivisilla x, y, z pätee:
f(x,y,z) ≥ 3/4,
ja yhtäsuuruus toteutuu vain kun x = y = z. - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Aika pitkä. Vissiin lyhyemmin:
Tarkastellaan funktiota
f(x,y,z) = x / √(y² 15xz) y / √(z² 15xy) z / √(x² 15yz),
kun x, y, z > 0.
Tavoite: osoittaa, että f(x,y,z) ≥ 3/4 ja että minimi saavutetaan vain kun x = y = z.
---
1. Homogeenisuus
Funktio ei muutu, jos kerromme kaikki muuttujat samalla positiivisella luvulla t:
f(tx, ty, tz) = f(x, y, z).
Tämä tarkoittaa, että voimme halutessamme “normalisoida” muuttujat vaikka tasolle
x y z = 1.
Mitään ei menetetä: f:n arvo pysyy samana.
Jatkossa rajoitumme tähän tasoon.
---
2. Symmetria → ehdokas minimille on x=y=z
Funktio on symmetrinen muuttujissa (syklinen symmetria).
Tällöin luonnollinen kandidaatti minimille on symmetrinen piste
x = y = z = 1/3.
Kun lasketaan derivaatat (ei tehdä sitä tässä), huomataan, että
gradientti häviää kohdassa x = y = z.
Siis se on kriittinen piste.
Lisäksi suora lasku antaa:
f(1/3, 1/3, 1/3) = 3/4.
Joten nyt tiedämme:
f saavuttaa arvon 3/4 pisteessä x=y=z,
tämä piste on kriittinen.
Tarvitaan vielä kaksi asiaa:
1. että tämä kriittinen piste on lokaali minimi,
2. että se on myös globaali minimi.
---
3. Lokaali minimi (geometrinen argumentti)
Funktion toinen derivaatta (Hessian) symmetrisessä pisteessä muodostaa matriisin, jonka muoto on symmetrian vuoksi
[a b b]
[b a b]
[b b a].
Tällaisen matriisin ominaisarvot (kaarevuudet eri suunnissa) ovat:
suuntaan (1,1,1): a 2b
kaikkiin symmetrian tasoa vastaan kohtisuoriin suuntiin: a - b
Homogeenisuus (aste 0) tarkoittaa, että skaalasuunnassa kaarevuus on 0 → a 2b = 0.
Suora lasku yhdestä toisesta derivaatasta riittää osoittamaan, että a - b > 0.
Tämä riittää: tasossa x y z = 1 funktio kaareutuu ylöspäin symmetrisessä pisteessä → se on lokaali minimi.
---
4. Reunan tutkiminen → minimi ei voi olla reunalla
Kun joku muuttuja menee kohti nollaa, esim. x → 0⁺, jäljelle jää kaksi termiä ja funktio supistuu yhden muuttujan funktioksi muotoa
t 1 / √(15 t).
Tällä funktiolla on yksikäsitteinen minimiarvo noin 0.7663…,
joka on selvästi suurempi kuin 3/4.
Samoin käy kaikilla reunoilla (y=0 tai z=0).
Lisäksi kulmapisteissä (kaksi muuttujaa → 0) funktio kasvaa kohti ääretöntä.
Tästä seuraa:
Funktion arvo ei koskaan ole < 3/4 reunoilla.
Siis minimi ei voi sijaitakaan reunalla → sen täytyy olla sisäosassa.
---
5. Ainoa sisäpisteen kriittinen piste
Taso x y z = 1 on yksidimensioisesti “tasainen”, ja f:llä on sisäosassa tasan yksi kriittinen piste: x=y=z.
Se oli jo havaittu.
Koska
se on sisäosan lokaali minimi, ja
reuna-arvot ovat kaikki suurempia kuin 3/4,
niin tästä seuraa:
Piste x=y=z antaa globaali minim arvon.
---
6. Johtopäätös
Kaikilla positiivisilla x, y, z pätee:
f(x,y,z) ≥ 3/4,
ja yhtäsuuruus toteutuu vain kun x = y = z.Luettelit joukon jo todetuja asioita..
Mutta:
Mistä seuraa, että x=y=z on ainoa kriittinen piste?
Olkoon T(a,b,c) = (b,c,a).
Ja jos R = (a,b,c) on toinen kriittinen piste niin myös TR ja T(TR) = T^2 R ovat sillä
grad(f(R)) =0 -> grad f(TR) = grad(f(T^R) = 0. - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Luettelit joukon jo todetuja asioita..
Mutta:
Mistä seuraa, että x=y=z on ainoa kriittinen piste?
Olkoon T(a,b,c) = (b,c,a).
Ja jos R = (a,b,c) on toinen kriittinen piste niin myös TR ja T(TR) = T^2 R ovat sillä
grad(f(R)) =0 -> grad f(TR) = grad(f(T^R) = 0.Tuli tuohon kirjoitusvirhe. pitäisi olla . ...grad f(R) = 0 -> grad f(TR) = grad f(T^2 R) = 0.
Tämä seuraa siitä, että f(R) = f(TR) = f(T^2 R) ja derivaatan määritelmästä. - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Tuli tuohon kirjoitusvirhe. pitäisi olla . ...grad f(R) = 0 -> grad f(TR) = grad f(T^2 R) = 0.
Tämä seuraa siitä, että f(R) = f(TR) = f(T^2 R) ja derivaatan määritelmästä.Lisään vielä hauskan faktumin:
grad f(TR) = T grad f(R) ja grad f(T^2 R) = T^2 grad f(R) - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Lisään vielä hauskan faktumin:
grad f(TR) = T grad f(R) ja grad f(T^2 R) = T^2 grad f(R)Okei, aika paha. En saanut täysin osoitettua. Idea todistukselle:
Olkoon
\frac{\partial f}{\partial x} = 0,\quad \frac{\partial f}{\partial y} = 0,\quad \frac{\partial f}{\partial z} = 0.
f(t, t, t) = 3 \cdot \frac{t}{\sqrt{16t^2}} = \frac{3}{4}
$$
ja osittaisderivaatat ovat kaikki yhtä suuria.
Jos yritetään löytää muita kriittisiä pisteitä, huomataan, että funktio on monotoninen ja symmetrinen: jos
x
>
y
x>y, niin
f
f ei voi olla stabiili, koska osittaisderivaatat eivät voi samanaikaisesti olla nollia muissa pisteissä kuin symmetrisessä tapauksessa.
Algebrallinen geometria ja ideaali:
Muodostetaan polynominen järjestelmä substituutiolla:
Asetetaan
a^2 = y^2 + 15xz,\quad b^2 = z^2 + 15xy,\quad c^2 = x^2 + 15zy
$$
Funktio muuttuu muotoon
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{a},\quad \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{b},\quad \frac{\partial f}{\partial z} = \frac{1}{c}
Muodostetaan ideaali
I = \langle \frac{1}{a},\ \frac{1}{b},\ \frac{1}{c},\ a^2 - (y^2 + 15xz),\ b^2 - (z^2 + 15xy),\ c^2 - (x^2 + 15zy) \rangle
$$
Kriittisen pisteen ehto vaatii, että
a,b,c→∞, mutta tämä ei ole mahdollista reaalisilla muuttujilla, koska
a,b,c ovat neliöjuuria reaalisista lausekkeista.
Ideaali on symmetrinen muuttujien
x,y,z suhteen. Jos lasketaan Gröbner-basis, se sisältää polynomit
(x−y)(x−y) ja(y−z)
(y−z), mikä tarkoittaa, että kaikki nollakohdat ovat muotoa
x=y=z.
Ratkaistaan järjestelmä sopiva järjestelmä kun x=y=z=t>0. Sijoittamalla saadaan
a=b=c=4t
a=b=c=4t, joten funktio
f ja sen osittaisderivaatat ovat tasapainossa vain tässä pisteessä.
Sitten tulos seuraa Hilbertin nollakohtalauseesta. - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Okei, aika paha. En saanut täysin osoitettua. Idea todistukselle:
Olkoon
\frac{\partial f}{\partial x} = 0,\quad \frac{\partial f}{\partial y} = 0,\quad \frac{\partial f}{\partial z} = 0.
f(t, t, t) = 3 \cdot \frac{t}{\sqrt{16t^2}} = \frac{3}{4}
$$
ja osittaisderivaatat ovat kaikki yhtä suuria.
Jos yritetään löytää muita kriittisiä pisteitä, huomataan, että funktio on monotoninen ja symmetrinen: jos
x
>
y
x>y, niin
f
f ei voi olla stabiili, koska osittaisderivaatat eivät voi samanaikaisesti olla nollia muissa pisteissä kuin symmetrisessä tapauksessa.
Algebrallinen geometria ja ideaali:
Muodostetaan polynominen järjestelmä substituutiolla:
Asetetaan
a^2 = y^2 15xz,\quad b^2 = z^2 15xy,\quad c^2 = x^2 15zy
$$
Funktio muuttuu muotoon
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{a},\quad \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{b},\quad \frac{\partial f}{\partial z} = \frac{1}{c}
Muodostetaan ideaali
I = \langle \frac{1}{a},\ \frac{1}{b},\ \frac{1}{c},\ a^2 - (y^2 15xz),\ b^2 - (z^2 15xy),\ c^2 - (x^2 15zy) \rangle
$$
Kriittisen pisteen ehto vaatii, että
a,b,c→∞, mutta tämä ei ole mahdollista reaalisilla muuttujilla, koska
a,b,c ovat neliöjuuria reaalisista lausekkeista.
Ideaali on symmetrinen muuttujien
x,y,z suhteen. Jos lasketaan Gröbner-basis, se sisältää polynomit
(x−y)(x−y) ja(y−z)
(y−z), mikä tarkoittaa, että kaikki nollakohdat ovat muotoa
x=y=z.
Ratkaistaan järjestelmä sopiva järjestelmä kun x=y=z=t>0. Sijoittamalla saadaan
a=b=c=4t
a=b=c=4t, joten funktio
f ja sen osittaisderivaatat ovat tasapainossa vain tässä pisteessä.
Sitten tulos seuraa Hilbertin nollakohtalauseesta.Voihan Gröbner!
- Anonyymi00018
Merkitsen
$$
S=\frac{x}{\sqrt{y^2+15xz}}
+\frac{y}{\sqrt{z^2+15xy}}
+\frac{z}{\sqrt{x^2+15yz}}.
$$
Pitää näyttää, että
$$
S\ge \frac34.
$$
Lähdetään liikkeelle havainnosta
$$
(\sqrt t-c)^2\ge0,
$$
josta seuraa
$$
\sqrt t\le\frac{t+c^2}{2c},
$$
eli
$$
\frac{x}{\sqrt t}\ge\frac{2cx}{t+c^2}.
$$
Valitaan sopivasti
$$
c_1=\frac{3x+2y+3z}{2},
$$
sekä syklisesti
$$
c_2=\frac{3x+3y+2z}{2},\qquad
c_3=\frac{2x+3y+3z}{2}.
$$
Tästä saadaan alaraja jokaiselle kolmesta termistä. Kun nämä lasketaan yhteen, päädytään epäyhtälöön
$$
S\ge
4\left(
\frac{xA_1}{E_1}
+
\frac{yA_2}{E_2}
+
\frac{zA_3}{E_3}
\right),
$$
missä
$$
A_1=3x+2y+3z,\quad
A_2=3x+3y+2z,\quad
A_3=2x+3y+3z
$$
ja
$$
\begin{aligned}
E_1&=9x^2+8y^2+9z^2+12xy+12yz+78xz,\
E_2&=9x^2+9y^2+8z^2+78xy+12yz+12xz,\
E_3&=8x^2+9y^2+9z^2+12xy+78yz+12xz.
\end{aligned}
$$
Riittää siis todistaa
$$
\frac{xA_1}{E_1}
+
\frac{yA_2}{E_2}
+
\frac{zA_3}{E_3}
\ge\frac{3}{16}.
$$
Kun nimittäjät poistetaan, jäljelle jää kuudennen asteen homogeeninen polynomi. Se voidaan kirjoittaa summaksi termejä, joiden kaikki kertoimet ovat epänegatiivisia, joten kyseinen polynomi on epänegatiivinen.
Tästä seuraa
$$
S\ge\frac34.
$$
Siis
$$
\boxed{
\frac{x}{\sqrt{y^2+15xz}}
+
\frac{y}{\sqrt{z^2+15xy}}
+
\frac{z}{\sqrt{x^2+15yz}}
\ge
\frac34
}.
$$
Yhtäsuuruus saadaan tapauksessa
$$
x=y=z.
$$
Todistus on osittain tietokoneavusteinen, sillä viimeinen polynomiepäyhtälö tarkistetaan kirjoittamalla erotus summaksi ei-negatiivisia termejä.- Anonyymi00019
En saa tuosta mitään selvää. Matemaattinen esitys ei näyttäisi tuolta.
Soattaapi olla niin, soattaapi olla toesinnii.
Ruma on juttu vaikkei Ranualta. - Anonyymi00020
Anonyymi00019 kirjoitti:
En saa tuosta mitään selvää. Matemaattinen esitys ei näyttäisi tuolta.
Soattaapi olla niin, soattaapi olla toesinnii.
Ruma on juttu vaikkei Ranualta.Latexia (ei sitä Erika Vikmanin yllä olevaa, vaan Knuthin ja muitten keksimää koodia) pitäisi pystyä netissä jossain käätselemaan. En löydä nyt muuta (johon ei tarvitse rekisteröityä) kuin tämän: https://quicklatex.com/ ja tuo ei näytä kuin osan jos teksti liian pitkä. Mathjax:hän sen taitaa siellä taustalla renderöidä. Voisi tehdä oman yksinkertaisen sivun, joka kääntää. Noh, MathSE:hen voi kirjoittaa "kysymyksen" ja katsella siinä luukussa. Ai ei pysty enää kirjautumatta alkaa kirjoittamaankaan kysymystä! No entäs "vastausta"? Eipä pysty: "You must log in to answer this question."
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
- 1931422
Anteeksipyynnöstä
Uskotko anteeksipyynnön voimaan? Mikä tekee anteeksipyynnöstä vaikeaa? Onko se mielestäsi joskus turhaa, joko pyytäjän138913- 85882
Voisin jopa maksaa että saisin nähdä sut mies
Miten helvetissä joku voi olla tollanen kotihiiri. Edes mä en ole noin paha ku sä! Miten sua voi ikinä edes nähdä ?52821- 53786
Martinan tarve valehdella.
Miksiköhän Martina valehtelee niin paljon,onko hän tietoinen siitä että valheistaan jää useimmiten kiinni? Esimerkkinä t253677Tumman vihreä mercedes
Mikä se on tuo kylää ympäri ajava vihreä mercedes, takakontti tärisee kuin hullu ja välillä kylän juoppojakin kuskailee,10660Stubb munasi - Suomessa kuuluu liputtaa Suomen lipulla
Presidentinlinnan ja Mäntyniemen salkoihin nostettiin sateenkaariliput lauantaina. Suurin osa kansasta ei varmasti pidä330639Olisitko oikeasti valmis rikkomaan
Perheesi? En haluaisi sitä, mutta ne on teidän välisiä asioita. Voin olla sinulle vain kaverikin… ei paineita. Minä kesk58634- 53604