f(x,y,z) = x/sqrt(y^2 + 15 xz) + y/sqrt(z^2 + 15 xy) + z/sqrt(x^2 + 15 zy) kun x>0, y>0, z>0.
Kirjoitustyötä helpottaakseni kirjoitan
d/dx f(a,b,c) = f( x; a.b,c) , d/dy f(ab,c) = f(y; a,b,c) , d/dz f(a,b,c) = f(z; a,b,c)
d^2/dx^2 f(a,b,c) = f(xx; a,bc) ja samoin f(xy; a,b,c) ....f(zz; ab,c). Jos pisteellä (a,b,c) ei ole väliä lyhennän nämä muotoon f(x; )...f(xx; )...f(zz; )
On todistettava, että f(x,y,z) >= 3/4.
Funktiolla f on symmetria
(1) f(a,b,c) = f(b,c,a) = f(c,a,b)
f on homogeeninen astetta 0 eli f(ta,tb,tc) = f(a,b,c).
Tällöin 1. osittaisderivaatat ovat homogeenifunktioita astetta - 1 ja toiset osittaisderivaatat derivaatat astetta - 2.
Osittaisderivaatan määritelmästä ja symmetriasta (1) seuraa, että
(2) f(x;a,b,c) = f(z; b,c,a) = f(y; c,a,b)
Eulerin homogeenifunktioita koskeva lause sanoo että jos funktio on homogeeninen astetta n niin sen derivaatta on homogeeninen astetta n-1.Lisäksi
(3) a f(x; a,b,c) ) + b f(y; a,b,c) + c f(z; a,b,c) = n f(a,b,c)
Tästä ja yhtälöistä (2) seuraa,että fx; (a,a,a) = fy; (a,a,a) = f(z; a,a,a) = 0
Erityisesti tämä pätee kun a = 1. Lisäksi f(a,a,a) = 3/4.
Itse asiassa(3) sanoo, että f:n derivaatta suuntaan (a,a,a) = 0 eli f on vakio tuolla puolisuoralla .
(1,1,1) on siis funktion f kriittinen piste.
Yhtälöistä (2) ja toisen osittaisderivaatan määritelmästä seuraa, että
f(xx;a,b,c) = f(zz; b,c,a)) = f(yy; c,a,b)
f(xy; a,b,c) = f(zx; b,c,a) = f(y,z; c,a,b)
f(xz;a,b,c) = f(zy; b,c,a) = f(yx; c,a,b)
Pisteessä (1,1,1) on siis
f(xx; ) = f(yy; ) = f(zz; ) ja f(xy; ) = f(zx; ) = f(yz; ) = f(xz; ) = f(zy; ) = f(yx; = f(xz; ) = f(zy; ) = f(yx; ). Tässä on käytetty myös toisen osittaisderivaatan symmetrisyyttä.
Jatkuu
Kinkkinen epäyhtälö taas
19
1927
Vastaukset
Jatkuu.
Käytetään Eulerin lausetta näihinntoisiin derivaattoihin pisreessä (1,1,1) (joka oli kriittinen piste).
f(xx,; 1,1,1) + f(xy; 1,1,1) + f(xz; 1,1 1) = 0
f(yx; 1,1,1) + f(yy; 1,1,1) + f(yz; 1,1,1) =0
f(zx; 1,1,1) + f(zy; 1,1,1) + f(zz; 1,1,1) = 0
Näistä ja edeltävistä toisen derivaatan symmetrioista seuraa, että pisteessä (1,1,1) on f(xx; ) = f(yy; ) = f(zz; ) = - 2 f(xy; )
Riittää siis laskea pelkästään derivaatan f(xx; 1,1,1) arvo.Tämä saadaan helpoimmin derivoimalla kahdesti x:n funktio f(x,1,1) ja tulos on 338/4^6.
Kriittistä pistettä tutkitaan neliömuodon Q(x,y,z ; h1,h2,h3) avulla.
f(1+ h1, 1+ h2, 1+ h3) = 3/4 + 0 + 1/2! * 338/4^6 (h1^2 + h2^2 + h3^2 - h1 h2 - h1 h3 - h3 h1)+ jäännöstermi.
Siis Q(1,1,1; h1,h2,h3) >= 0 ja 0 sjvs kun h1=h2=h3 on piste (1,1,1) lokaali minimi.
Kun muistetaan, että nuo toiset derivaatat ovat homogeenisia astetta - 2 nähdään, että sama pätee koko puolisuoralla (a,a,a) missä a> 0.
3/4 on siis f:n lokaalinen minimiarvo. Sen globaalisuutta entässä nyt todistanut.Vielä pikku kommentti. Jos g(x,y,z) = sqrt(y^2 + 15 xz) / x + sqrt(z^2 + 15 xy)/y + sqrt(x^2 + 15zy)/z
niin pystyn ihan epäyhtälöillä todistamaan, että
g(x,y,z) >= 12
f*g >= 9
f + g >= 12 3/4.
Nämä toteutuvat, jos f >= 3/4.
Mutta "hauskaa" kyllä, näistä ei seuraa, että f >= 3/4.
- Anonyymi
Excellent.
- Anonyymi
Numeerisesti näyttäisi olevan voimassa:
import numpy as np
from scipy.optimize import minimize
# Määritellään funktio
def f(x):
return x[0] / np.sqrt(x[1]**2 + 15 * x[0] * x[2]) + \
x[1] / np.sqrt(x[2]**2 + 15 * x[0] * x[1]) + \
x[2] / np.sqrt(x[0]**2 + 15 * x[1] * x[2])
# Alkuarvaus
x0 = np.array([1.0, 1.0, 1.0])
# Rajoitukset (x > 0, y > 0, z > 0)
bounds = [(1e-5, None), (1e-5, None), (1e-5, None)]
# Minimointi
result = minimize(f, x0, method='L-BFGS-B', bounds=bounds)
print("Minimiarvo:", result.fun)
print("Minimipiste:", result.x)
Tulostus:
Minimiarvo: 0.75
Minimipiste: [1. 1. 1.]- Anonyymi
Hyvähän tätä on tutkia näinkin. Jos olisi tullut sellainen tulos, että 3/4 ei olekaan globaali minimi niin eipä kannattaisi miettiä todistusta sille, että se tosiaan on.
Vielä on siis toivoa! - Anonyymi
Tässä lähestymistavassa on ongelmana se, että minimipisteet eivät ole erillisiä vaan kaikki muotoa (a,a,a) olevat pisteet, joita on äärettömän monta. Tämä tekee globaalin minimin etsimisen algoritmisesti erittäin vaikeaksi. Kenties löytyy joku muunnos, joka muuntaa epäyhtälön sellaiseksi, että riittää todistaa epäyhtälön olevan voimassa äärettömän monella pistekolmikolla (a,b,c).
- Anonyymi
Joskus tuollaisia epäyhtälöitä voi lähteä ratkomaan Hölderin tai Jensenin epäyhtälön avulla. Joskus taas tuollaiseen voi kehittää numeerisen algoritmin, joka voidaan muuntaa täsmällisesti todistukseksi.
- Anonyymi
Ja joskus voi hölöttää turhanpäiväisyyksiä!
- Anonyymi
Kirjoittamalla
a = x/y
b = y/z
c = z/x
saadaan lauseke muotoon
a/sqrt(1+15a/b) + b/sqrt(1+15b/c) + c/sqrt(1+15c/a).
Ja koska abc = 1, niin ongelma saadaan pudotettua kaksiulotteiseksi. Tutkitaan siis funktiota
g(a,b) = a/sqrt(1+15a/b) + b/sqrt(1+15ab^2) + 1/sqrt(a^2b^2+15b),
a,b>0
Kun a tai b menee nollaan, niin mennään toisen muuttujan suhteen funktioon t ↦ t + 1/sqrt(15t), joka on suurempaa kuin 3/4 (minimi noin 0,76631).
Ja kun a tai b menee äärettömään, niin g menee äärettömään.
Ja kriittisten pisteiden tarkastelu olikin jo tehty. No, tämän reunatarkastelun olisi varmaan voinut tehdä alkuperäiselle f:llekin.
Ps. tuosta a,b,c -lausekkeesta näyttäisi niinkuin Jensenin pitäisi toimia, mutta sinne tulee ärsyttävästi (a+b+c)^3/2, joka tekee arviosta liian heikon.- Anonyymi
abc = 1 ei ole tuon funktion määritysalue.
0-homogeemisuudesta seuraa sen sijaan, että funktio saa kaikki arvonsa jo alueessa
a+b+c =1. sillä
f(a/(a+b+c) , b/(a+b+c), c/(a+b+c)) = f(a,b,c)
- Anonyymi
Voiko tuo todistaa ChatGPT:llä ja Sagemathilla? Kokeilin näin:
# Määritellään muuttujat
x, y, z = var('x y z')
# Funktio f(x, y, z)
f = x/sqrt(y^2 + 15*x*z) + y/sqrt(z^2 + 15*x*y) + z/sqrt(x^2 + 15*y*z)
# Lasketaan ensimmäisen kertaluvun osittaisderivaatat
f_x = diff(f, x)
f_y = diff(f, y)
f_z = diff(f, z)
# Lasketaan toisen kertaluvun osittaisderivaatat
f_xx = diff(f, x, x)
f_yy = diff(f, y, y)
f_zz = diff(f, z, z)
f_xy = diff(f, x, y)
f_xz = diff(f, x, z)
f_yz = diff(f, y, z)
# Muodostetaan Hessian-matriisi
Hessian = Matrix([[f_xx, f_xy, f_xz],
[f_xy, f_yy, f_yz],
[f_xz, f_yz, f_zz]])
# Lasketaan Hessianin determinantti
det_Hessian = Hessian.det()
det_Hessian
# Lasketaan gradientti
grad_f = [diff(f, var) for var in [x, y, z]]
# Tarkastellaan gradienttia pisteessä x = y = z = 1
grad_at_1 = [g.subs({x: 1, y: 1, z: 1}) for g in grad_f]
print(grad_at_1)
f_xx_at_1 = f_xx.subs({x: 1, y: 1, z: 1})
print(f_xx_at_1)
Hessian = Matrix([[f_xx, f_xy, f_xz],
[f_xy, f_yy, f_yz],
[f_xz, f_yz, f_zz]])
Hessian_at_1 = Hessian.subs({x: 1, y: 1, z: 1})
# Laske determinantti ja tallenna se muuttujaan
det_Hessian_at_1 = Hessian_at_1.det()
# Tulosta determinantti
print(det_Hessian_at_1)
# Laske ominaisarvot ja tallenna ne muuttujaan
eigenvalues_at_1 = Hessian_at_1.eigenvalues()
# Tulosta ominaisarvot
print(eigenvalues_at_1)
Tuloste oli:
/usr/lib/python3/dist-packages/scipy/__init__.py:146: UserWarning: A NumPy version >=1.17.3 and <1.25.0 is required for this version of SciPy (detected version 1.26.4
warnings.warn(f"A NumPy version >={np_minversion} and <{np_maxversion}"
Solution:
x = [1.00000000e+00 4.55921939e-04 5.87326810e-06 9.99997912e-01]
Objective value = 1.0000002078791197
Constraint 1 (x1^2 + x2^2 - 1) = 2.0784026544262701e-07
Constraint 2 (x1^2 + x3^2 - 1) = 9.946488077616777e-12
[0, 0, 0]
169/2048
0
[507/4096, 507/4096, 0]
ChatGPT vastasi (osa matikan sympoleista kopioituu tuplana, sori):
Tuloksesi näyttää olevan oikein:
Gradientti on nolla [0,0,0][0,0,0], mikä vahvistaa, että piste (x=y=z=1)(x=y=z=1) on kriittinen piste (kriittinen piste löytyy, kun kaikki gradientin komponentit ovat nollia).
Determinantti on 169/2048, joka on positiivinen. Tämä kertoo, että Hessianin determinantti on positiivinen, mikä yleensä viittaa siihen, että kyseessä on minimi.
Ominaisarvot ovat [507/4096,507/4096,0]. Tämä tarkoittaa, että Hessianin ominaisarvoista kaksi on positiivisia ja yksi on nolla. Nolla-arvo voi merkitä, että kyseessä ei ole "tiukka" minimi, vaan satulapiste, mutta koska determinantti on positiivinen ja kaksi ominaisarvoa ovat positiivisia, voidaan silti päätellä, että piste (x=y=z=1) on lokaali minimi.
Päätelmä:
Koska gradientti on nolla ja Hessianin determinantti on positiivinen (ja useat ominaisarvot ovat positiivisia), voimme päätellä, että piste x=y=z=1 on minimi. Tämä vahvistaa, että funktion f(x,y,z) vähintään 3/4 pätee, ja että minimissä f(1,1,1)=3/4.
Tämä siis tukee alkuperäistä epäyhtälöä!- Anonyymi
Todistin jo ihan matemaattisesti tuon lokaalin minimin olemassaolon. Oikeastaan tietokoneohjelmilla tehty "todistus" ei sitä enää tue, pikemminkin tulos kertoo, että ohjelmisto toimii ,ainakin tässä tapauksessa, oikein.
Mutta onhan tietenkin hauska kokeilla, mitä koneella saa aikaan.
Tuo "Hessianin determinantti" on muuten Hessen determinantti.
Katso myös kommenttini / 2024-09-07 16:33:11
- Anonyymi
Entä näin?
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\title{Todistus epäyhtälölle}
\author{}
\date{}
\begin{document}
\maketitle
\section*{Todistus}
Aloitamme oletuksella \(x = 1\), jolloin epäyhtälö yksinkertaistuu seuraavaan muotoon:
\[
f(y, z) = \frac{1}{\sqrt{y^2 + 15z}} + \frac{y}{\sqrt{z^2 + 15y}} + \frac{z}{\sqrt{1 + 15yz}}.
\]
Tavoitteenamme on osoittaa, että \(f(y, z) \geq \frac{3}{4}\) kaikilla \(y > 0\) ja \(z > 0\).
\subsection*{Vaihe 1: Symmetria}
Yksi luonnollinen ehdokas kriittiseksi pisteeksi on \(y = z = 1\), koska termit ovat symmetrisiä. Tarkastetaan, onko tämä kriittinen piste ja arvioidaan \(f(1, 1)\).
Kun \(y = 1\) ja \(z = 1\), funktio yksinkertaistuu:
\[
f(1, 1) = \frac{1}{\sqrt{1^2 + 15 \cdot 1}} + \frac{1}{\sqrt{1^2 + 15 \cdot 1}} + \frac{1}{\sqrt{1 + 15 \cdot 1}}.
\]
Tämä on:
\[
f(1, 1) = \frac{1}{\sqrt{16}} + \frac{1}{\sqrt{16}} + \frac{1}{\sqrt{16}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}.
\]
Näin ollen \(y = 1\) ja \(z = 1\) on kriittinen piste, ja tässä pisteessä \(f(1, 1) = \frac{3}{4}\), mikä tyydyttää epäyhtälön. Tämä viittaa siihen, että kyseessä on globaali minimi.
\subsection*{Vaihe 2: Käyttäytyminen äärettömyydessä}
Seuraavaksi tarkastellaan funktion \(f(y, z)\) käyttäytymistä, kun \(y \to \infty\) tai \(z \to \infty\).
\paragraph{Tapaus 1: \(y \to \infty\), \(z\) kiinteä}
Kun \(y \to \infty\), termi \( \frac{1}{\sqrt{y^2 + 15z}} \) käyttäytyy kuten \( \frac{1}{y} \), mikä lähestyy nollaa, kun \(y \to \infty\). Samoin termi \( \frac{y}{\sqrt{z^2 + 15y}} \) käyttäytyy kuten \( \frac{y}{\sqrt{15y}} = \frac{1}{\sqrt{15}} \), joka on vakio. Kolmas termi \( \frac{z}{\sqrt{1 + 15yz}} \) myös lähestyy nollaa, kun \(y \to \infty\).
Näin ollen, kun \(y \to \infty\), funktio käyttäytyy asymptoottisesti seuraavasti:
\[
f(y, z) \approx \frac{1}{\sqrt{15}} + 0 + 0 = \frac{1}{\sqrt{15}}.
\]
Koska \( \frac{1}{\sqrt{15}} \approx 0.258 \), mikä on vähemmän kuin \(\frac{3}{4}\), minimi ei voi olla äärettömyydessä.
\paragraph{Tapaus 2: \(z \to \infty\), \(y\) kiinteä}
Kun \(z \to \infty\), termi \( \frac{1}{\sqrt{y^2 + 15z}} \) käyttäytyy kuten \( \frac{1}{\sqrt{15z}} \), mikä lähestyy nollaa. Samoin termi \( \frac{y}{\sqrt{z^2 + 15y}} \) käyttäytyy kuten \( \frac{y}{z} \), joka myös lähestyy nollaa. Kolmas termi \( \frac{z}{\sqrt{1 + 15yz}} \) käyttäytyy kuten \( \frac{1}{\sqrt{15y}} \).
Näin ollen, kun \(z \to \infty\), funktio käyttäytyy asymptoottisesti seuraavasti:
\[
f(y, z) \approx 0 + 0 + \frac{1}{\sqrt{15y}}.
\]
Koska \( \frac{1}{\sqrt{15y}} \) on aina vähemmän kuin \(\frac{3}{4}\), minimi ei voi olla äärettömyydessä.
\subsection*{Vaihe 3: Käyttäytyminen rajoilla}
Tarkastellaan seuraavaksi funktion \(f(y, z)\) käyttäytymistä, kun \(y \to 0\) ja \(z \to 0\).
\paragraph{Tapaus 1: \(y \to 0\), \(z\) kiinteä}
Kun \(y \to 0\), termi \( \frac{1}{\sqrt{y^2 + 15z}} \) käyttäytyy kuten \( \frac{1}{\sqrt{15z}} \), joka pysyy rajallisena. Termi \( \frac{y}{\sqrt{z^2 + 15y}} \) lähestyy nollaa, ja termi \( \frac{z}{\sqrt{1 + 15yz}} \) käyttäytyy kuten \(z\), joka on myös rajallinen.
Näin ollen, kun \(y \to 0\), funktio käyttäytyy seuraavasti:
\[
f(y, z) \approx \frac{1}{\sqrt{15z}} + z.
\]
Minimoidaan tämä \(z\):n suhteen derivoimalla:
\[
\frac{d}{dz} \left( \frac{1}{\sqrt{15z}} + z \right) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{z^{3/2} \sqrt{15}} + 1 = 0,
\]
josta saadaan \(z \approx 0.2554\). Kun tämä sijoitetaan takaisin, saadaan:
\[
f(y \to 0, z \approx 0.2554) \approx 0.766.
\]
Näin ollen \(f(y, z) > \frac{3}{4}\) tällä alueella.
\paragraph{Tapaus 2: \(z \to 0\), \(y\) kiinteä}
Kun \(z \to 0\), termi \( \frac{1}{\sqrt{y^2 + 15z}} \) käyttäytyy kuten \( \frac{1}{y} \), joka pysyy rajallisena. Termi \( \frac{y}{\sqrt{z^2 + 15y}} \) käyttäytyy kuten \( \frac{y}{\sqrt{15y}} = \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{15}} \), ja kolmas termi \( \frac{z}{\sqrt{1 + 15yz}} \) lähestyy nollaa.
Näin ollen, kun \(z \to 0\), funktio käyttäytyy seuraavasti:
\[
f(y, z) \approx \frac{1}{y} + \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{15}}.
\]
Minimoidaan tämä \(y\):n suhteen derivoimalla:
\[
\frac{d}{dy} \left( \frac{1}{y} + \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{15}} \right) = -\frac{1}{y^2} + \frac{1}{2\sqrt{15y}} = 0,
\]
josta saadaan \(y \approx 3.915\). Kun tämä sijoitetaan takaisin, saadaan:
\[
f(y \approx 3.915, z \to 0) \approx 0.766.
\]
Näin ollen \(f(y, z) > \frac{3}{4}\) myös tällä alueella.
\subsection*{Vaihe 4: Johtopäätös}
Vaiheista 2 ja 3 näemme, että:
\begin{itemize}
\item Funktio \(f(y, z)\) lähestyy arvoja, jotka ovat suurempia kuin \(\frac{3}{4}\), kun \(y\) tai \(z\) lähestyvät äärettömyyttä tai nollaa.
\item Funktion \(f(y, z)\) minimi saavutetaan pisteessä \( (1, 1) \), jossa \(f(1, 1) = \frac{3}{4}\).
\end{itemize}
Näin ollen \(f(y, z) \geq \frac{3}{4}\) kaikilla \(y > 0\) ja \(z > 0\), ja epäyhtälö on todistettu.
\end{document}- Anonyymi
Aika pitkä. Vissiin lyhyemmin:
Tarkastellaan funktiota
f(x,y,z) = x / √(y² + 15xz) + y / √(z² + 15xy) + z / √(x² + 15yz),
kun x, y, z > 0.
Tavoite: osoittaa, että f(x,y,z) ≥ 3/4 ja että minimi saavutetaan vain kun x = y = z.
---
1. Homogeenisuus
Funktio ei muutu, jos kerromme kaikki muuttujat samalla positiivisella luvulla t:
f(tx, ty, tz) = f(x, y, z).
Tämä tarkoittaa, että voimme halutessamme “normalisoida” muuttujat vaikka tasolle
x + y + z = 1.
Mitään ei menetetä: f:n arvo pysyy samana.
Jatkossa rajoitumme tähän tasoon.
---
2. Symmetria → ehdokas minimille on x=y=z
Funktio on symmetrinen muuttujissa (syklinen symmetria).
Tällöin luonnollinen kandidaatti minimille on symmetrinen piste
x = y = z = 1/3.
Kun lasketaan derivaatat (ei tehdä sitä tässä), huomataan, että
gradientti häviää kohdassa x = y = z.
Siis se on kriittinen piste.
Lisäksi suora lasku antaa:
f(1/3, 1/3, 1/3) = 3/4.
Joten nyt tiedämme:
f saavuttaa arvon 3/4 pisteessä x=y=z,
tämä piste on kriittinen.
Tarvitaan vielä kaksi asiaa:
1. että tämä kriittinen piste on lokaali minimi,
2. että se on myös globaali minimi.
---
3. Lokaali minimi (geometrinen argumentti)
Funktion toinen derivaatta (Hessian) symmetrisessä pisteessä muodostaa matriisin, jonka muoto on symmetrian vuoksi
[a b b]
[b a b]
[b b a].
Tällaisen matriisin ominaisarvot (kaarevuudet eri suunnissa) ovat:
suuntaan (1,1,1): a + 2b
kaikkiin symmetrian tasoa vastaan kohtisuoriin suuntiin: a - b
Homogeenisuus (aste 0) tarkoittaa, että skaalasuunnassa kaarevuus on 0 → a + 2b = 0.
Suora lasku yhdestä toisesta derivaatasta riittää osoittamaan, että a - b > 0.
Tämä riittää: tasossa x + y + z = 1 funktio kaareutuu ylöspäin symmetrisessä pisteessä → se on lokaali minimi.
---
4. Reunan tutkiminen → minimi ei voi olla reunalla
Kun joku muuttuja menee kohti nollaa, esim. x → 0⁺, jäljelle jää kaksi termiä ja funktio supistuu yhden muuttujan funktioksi muotoa
t + 1 / √(15 t).
Tällä funktiolla on yksikäsitteinen minimiarvo noin 0.7663…,
joka on selvästi suurempi kuin 3/4.
Samoin käy kaikilla reunoilla (y=0 tai z=0).
Lisäksi kulmapisteissä (kaksi muuttujaa → 0) funktio kasvaa kohti ääretöntä.
Tästä seuraa:
Funktion arvo ei koskaan ole < 3/4 reunoilla.
Siis minimi ei voi sijaitakaan reunalla → sen täytyy olla sisäosassa.
---
5. Ainoa sisäpisteen kriittinen piste
Taso x + y + z = 1 on yksidimensioisesti “tasainen”, ja f:llä on sisäosassa tasan yksi kriittinen piste: x=y=z.
Se oli jo havaittu.
Koska
se on sisäosan lokaali minimi, ja
reuna-arvot ovat kaikki suurempia kuin 3/4,
niin tästä seuraa:
Piste x=y=z antaa globaali minim arvon.
---
6. Johtopäätös
Kaikilla positiivisilla x, y, z pätee:
f(x,y,z) ≥ 3/4,
ja yhtäsuuruus toteutuu vain kun x = y = z. - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Aika pitkä. Vissiin lyhyemmin:
Tarkastellaan funktiota
f(x,y,z) = x / √(y² 15xz) y / √(z² 15xy) z / √(x² 15yz),
kun x, y, z > 0.
Tavoite: osoittaa, että f(x,y,z) ≥ 3/4 ja että minimi saavutetaan vain kun x = y = z.
---
1. Homogeenisuus
Funktio ei muutu, jos kerromme kaikki muuttujat samalla positiivisella luvulla t:
f(tx, ty, tz) = f(x, y, z).
Tämä tarkoittaa, että voimme halutessamme “normalisoida” muuttujat vaikka tasolle
x y z = 1.
Mitään ei menetetä: f:n arvo pysyy samana.
Jatkossa rajoitumme tähän tasoon.
---
2. Symmetria → ehdokas minimille on x=y=z
Funktio on symmetrinen muuttujissa (syklinen symmetria).
Tällöin luonnollinen kandidaatti minimille on symmetrinen piste
x = y = z = 1/3.
Kun lasketaan derivaatat (ei tehdä sitä tässä), huomataan, että
gradientti häviää kohdassa x = y = z.
Siis se on kriittinen piste.
Lisäksi suora lasku antaa:
f(1/3, 1/3, 1/3) = 3/4.
Joten nyt tiedämme:
f saavuttaa arvon 3/4 pisteessä x=y=z,
tämä piste on kriittinen.
Tarvitaan vielä kaksi asiaa:
1. että tämä kriittinen piste on lokaali minimi,
2. että se on myös globaali minimi.
---
3. Lokaali minimi (geometrinen argumentti)
Funktion toinen derivaatta (Hessian) symmetrisessä pisteessä muodostaa matriisin, jonka muoto on symmetrian vuoksi
[a b b]
[b a b]
[b b a].
Tällaisen matriisin ominaisarvot (kaarevuudet eri suunnissa) ovat:
suuntaan (1,1,1): a 2b
kaikkiin symmetrian tasoa vastaan kohtisuoriin suuntiin: a - b
Homogeenisuus (aste 0) tarkoittaa, että skaalasuunnassa kaarevuus on 0 → a 2b = 0.
Suora lasku yhdestä toisesta derivaatasta riittää osoittamaan, että a - b > 0.
Tämä riittää: tasossa x y z = 1 funktio kaareutuu ylöspäin symmetrisessä pisteessä → se on lokaali minimi.
---
4. Reunan tutkiminen → minimi ei voi olla reunalla
Kun joku muuttuja menee kohti nollaa, esim. x → 0⁺, jäljelle jää kaksi termiä ja funktio supistuu yhden muuttujan funktioksi muotoa
t 1 / √(15 t).
Tällä funktiolla on yksikäsitteinen minimiarvo noin 0.7663…,
joka on selvästi suurempi kuin 3/4.
Samoin käy kaikilla reunoilla (y=0 tai z=0).
Lisäksi kulmapisteissä (kaksi muuttujaa → 0) funktio kasvaa kohti ääretöntä.
Tästä seuraa:
Funktion arvo ei koskaan ole < 3/4 reunoilla.
Siis minimi ei voi sijaitakaan reunalla → sen täytyy olla sisäosassa.
---
5. Ainoa sisäpisteen kriittinen piste
Taso x y z = 1 on yksidimensioisesti “tasainen”, ja f:llä on sisäosassa tasan yksi kriittinen piste: x=y=z.
Se oli jo havaittu.
Koska
se on sisäosan lokaali minimi, ja
reuna-arvot ovat kaikki suurempia kuin 3/4,
niin tästä seuraa:
Piste x=y=z antaa globaali minim arvon.
---
6. Johtopäätös
Kaikilla positiivisilla x, y, z pätee:
f(x,y,z) ≥ 3/4,
ja yhtäsuuruus toteutuu vain kun x = y = z.Luettelit joukon jo todetuja asioita..
Mutta:
Mistä seuraa, että x=y=z on ainoa kriittinen piste?
Olkoon T(a,b,c) = (b,c,a).
Ja jos R = (a,b,c) on toinen kriittinen piste niin myös TR ja T(TR) = T^2 R ovat sillä
grad(f(R)) =0 -> grad f(TR) = grad(f(T^R) = 0. - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Luettelit joukon jo todetuja asioita..
Mutta:
Mistä seuraa, että x=y=z on ainoa kriittinen piste?
Olkoon T(a,b,c) = (b,c,a).
Ja jos R = (a,b,c) on toinen kriittinen piste niin myös TR ja T(TR) = T^2 R ovat sillä
grad(f(R)) =0 -> grad f(TR) = grad(f(T^R) = 0.Tuli tuohon kirjoitusvirhe. pitäisi olla . ...grad f(R) = 0 -> grad f(TR) = grad f(T^2 R) = 0.
Tämä seuraa siitä, että f(R) = f(TR) = f(T^2 R) ja derivaatan määritelmästä. - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Tuli tuohon kirjoitusvirhe. pitäisi olla . ...grad f(R) = 0 -> grad f(TR) = grad f(T^2 R) = 0.
Tämä seuraa siitä, että f(R) = f(TR) = f(T^2 R) ja derivaatan määritelmästä.Lisään vielä hauskan faktumin:
grad f(TR) = T grad f(R) ja grad f(T^2 R) = T^2 grad f(R) - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Lisään vielä hauskan faktumin:
grad f(TR) = T grad f(R) ja grad f(T^2 R) = T^2 grad f(R)Okei, aika paha. En saanut täysin osoitettua. Idea todistukselle:
Olkoon
\frac{\partial f}{\partial x} = 0,\quad \frac{\partial f}{\partial y} = 0,\quad \frac{\partial f}{\partial z} = 0.
f(t, t, t) = 3 \cdot \frac{t}{\sqrt{16t^2}} = \frac{3}{4}
$$
ja osittaisderivaatat ovat kaikki yhtä suuria.
Jos yritetään löytää muita kriittisiä pisteitä, huomataan, että funktio on monotoninen ja symmetrinen: jos
x
>
y
x>y, niin
f
f ei voi olla stabiili, koska osittaisderivaatat eivät voi samanaikaisesti olla nollia muissa pisteissä kuin symmetrisessä tapauksessa.
Algebrallinen geometria ja ideaali:
Muodostetaan polynominen järjestelmä substituutiolla:
Asetetaan
a^2 = y^2 + 15xz,\quad b^2 = z^2 + 15xy,\quad c^2 = x^2 + 15zy
$$
Funktio muuttuu muotoon
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{a},\quad \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{b},\quad \frac{\partial f}{\partial z} = \frac{1}{c}
Muodostetaan ideaali
I = \langle \frac{1}{a},\ \frac{1}{b},\ \frac{1}{c},\ a^2 - (y^2 + 15xz),\ b^2 - (z^2 + 15xy),\ c^2 - (x^2 + 15zy) \rangle
$$
Kriittisen pisteen ehto vaatii, että
a,b,c→∞, mutta tämä ei ole mahdollista reaalisilla muuttujilla, koska
a,b,c ovat neliöjuuria reaalisista lausekkeista.
Ideaali on symmetrinen muuttujien
x,y,z suhteen. Jos lasketaan Gröbner-basis, se sisältää polynomit
(x−y)(x−y) ja(y−z)
(y−z), mikä tarkoittaa, että kaikki nollakohdat ovat muotoa
x=y=z.
Ratkaistaan järjestelmä sopiva järjestelmä kun x=y=z=t>0. Sijoittamalla saadaan
a=b=c=4t
a=b=c=4t, joten funktio
f ja sen osittaisderivaatat ovat tasapainossa vain tässä pisteessä.
Sitten tulos seuraa Hilbertin nollakohtalauseesta. - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Okei, aika paha. En saanut täysin osoitettua. Idea todistukselle:
Olkoon
\frac{\partial f}{\partial x} = 0,\quad \frac{\partial f}{\partial y} = 0,\quad \frac{\partial f}{\partial z} = 0.
f(t, t, t) = 3 \cdot \frac{t}{\sqrt{16t^2}} = \frac{3}{4}
$$
ja osittaisderivaatat ovat kaikki yhtä suuria.
Jos yritetään löytää muita kriittisiä pisteitä, huomataan, että funktio on monotoninen ja symmetrinen: jos
x
>
y
x>y, niin
f
f ei voi olla stabiili, koska osittaisderivaatat eivät voi samanaikaisesti olla nollia muissa pisteissä kuin symmetrisessä tapauksessa.
Algebrallinen geometria ja ideaali:
Muodostetaan polynominen järjestelmä substituutiolla:
Asetetaan
a^2 = y^2 15xz,\quad b^2 = z^2 15xy,\quad c^2 = x^2 15zy
$$
Funktio muuttuu muotoon
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{a},\quad \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{b},\quad \frac{\partial f}{\partial z} = \frac{1}{c}
Muodostetaan ideaali
I = \langle \frac{1}{a},\ \frac{1}{b},\ \frac{1}{c},\ a^2 - (y^2 15xz),\ b^2 - (z^2 15xy),\ c^2 - (x^2 15zy) \rangle
$$
Kriittisen pisteen ehto vaatii, että
a,b,c→∞, mutta tämä ei ole mahdollista reaalisilla muuttujilla, koska
a,b,c ovat neliöjuuria reaalisista lausekkeista.
Ideaali on symmetrinen muuttujien
x,y,z suhteen. Jos lasketaan Gröbner-basis, se sisältää polynomit
(x−y)(x−y) ja(y−z)
(y−z), mikä tarkoittaa, että kaikki nollakohdat ovat muotoa
x=y=z.
Ratkaistaan järjestelmä sopiva järjestelmä kun x=y=z=t>0. Sijoittamalla saadaan
a=b=c=4t
a=b=c=4t, joten funktio
f ja sen osittaisderivaatat ovat tasapainossa vain tässä pisteessä.
Sitten tulos seuraa Hilbertin nollakohtalauseesta.Voihan Gröbner!
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Minkähän takia ns. persuille ei tunnu työ maistuvan?
Vaikuttavat olevan joutoväkeä syystä tai toisesta – työttömiä tai työeläkeloisia. Muiden rahoilla pötköttelevää väkeä,452271Suomen veroaste 5 %-yks liian matala
Palauttamalla kokonaisveroaste 1990-luvun tasolle saadaan hyvinvointivaltion palvelut rahoitettua ilman velan ottoa.932018Kolme neljästä suomalaisesta kannattaa miljonääriveroa
Kertoo vasemmistoliiton teettämä kysely. Veron ulkopuolelle jätettäisiin asunto. "Puolet vastaajista oli sitä mieltä, e891986Olit ihan
Kiihkona silloin. Sen näki ja lähes tunsi. Ei tainnut olla kaukana et olisit vetänyt lähellesi jos siihen olisi hetki tu241727MTV: Harvinainen haastattelu! Vappu Pimiä kommentoi vihdoinkin uutta TTK-juontajaa
TTK-juontajaspekuloinnit käyvät edelleen kuumana. Kenet sinä haluaisit uudeksi TTK-juontajaksi? Kommentoi alle! Lue,131721Evoluutioon ja alkuräjähdykseen uskominen vaatii todella vahvaa uskoa
Että tyhjästä syntyi ja kehittyi kaikki se mitä näemme ympärillämme.4921552Yleveron tuotto siirrettävä S-ryhmälle
Yleisradio on mukana kansanmurhassa. Tuollaista ei voi tukea verovaroin. S-ryhmä on ainoa selkärankainen iso toimija S21530Mikä ihme teitä lieksalaisia tuossa
p*rs*reiässä niin kiinnostelee? Että siitä pitää päntönnään huutaa?491360Mistä juttelit viimeisen kerran
Mistä juttelitte viimeisen kerran ikävöinnin kohteen kanssa? Irl tai viesteillä.761258Kemet lomautukset
Onkohan tuo oikein lain mukaista toimintaa jatkaa jo lomautettuina olevien uudelleen lomautusta yhdenvertaisuuden ja tas361256