Kinkkinen epäyhtälö taas

Jatkuu.
Käytetään Eulerin lausetta näihinntoisiin derivaattoihin pisreessä (1,1,1) (joka oli kriittinen piste).
f(xx,; 1,1,1) + f(xy; 1,1,1) + f(xz; 1,1 1) = 0
f(yx; 1,1,1) + f(yy; 1,1,1) + f(yz; 1,1,1) =0
f(zx; 1,1,1) + f(zy; 1,1,1) + f(zz; 1,1,1) = 0
Näistä ja edeltävistä toisen derivaatan symmetrioista seuraa, että pisteessä (1,1,1) on f(xx; ) = f(yy; ) = f(zz; ) = - 2 f(xy; )

Riittää siis laskea pelkästään derivaatan f(xx; 1,1,1) arvo.Tämä saadaan helpoimmin derivoimalla kahdesti x:n funktio f(x,1,1) ja tulos on 338/4^6.

Kriittistä pistettä tutkitaan neliömuodon Q(x,y,z ; h1,h2,h3) avulla.
f(1+ h1, 1+ h2, 1+ h3) = 3/4 + 0 + 1/2! * 338/4^6 (h1^2 + h2^2 + h3^2 - h1 h2 - h1 h3 - h3 h1)+ jäännöstermi.
Siis Q(1,1,1; h1,h2,h3) >= 0 ja 0 sjvs kun h1=h2=h3 on piste (1,1,1) lokaali minimi.

Kun muistetaan, että nuo toiset derivaatat ovat homogeenisia astetta - 2 nähdään, että sama pätee koko puolisuoralla (a,a,a) missä a> 0.
3/4 on siis f:n lokaalinen minimiarvo. Sen globaalisuutta entässä nyt todistanut.

Excellent.

Numeerisesti näyttäisi olevan voimassa:

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize

# Määritellään funktio
def f(x):
return x[0] / np.sqrt(x[1]**2 + 15 * x[0] * x[2]) + \
x[1] / np.sqrt(x[2]**2 + 15 * x[0] * x[1]) + \
x[2] / np.sqrt(x[0]**2 + 15 * x[1] * x[2])

# Alkuarvaus
x0 = np.array([1.0, 1.0, 1.0])

# Rajoitukset (x > 0, y > 0, z > 0)
bounds = [(1e-5, None), (1e-5, None), (1e-5, None)]

# Minimointi
result = minimize(f, x0, method='L-BFGS-B', bounds=bounds)

print("Minimiarvo:", result.fun)
print("Minimipiste:", result.x)

Tulostus:

Minimiarvo: 0.75
Minimipiste: [1. 1. 1.]

Joskus tuollaisia epäyhtälöitä voi lähteä ratkomaan Hölderin tai Jensenin epäyhtälön avulla. Joskus taas tuollaiseen voi kehittää numeerisen algoritmin, joka voidaan muuntaa täsmällisesti todistukseksi.

Kirjoittamalla

a = x/y
b = y/z
c = z/x

saadaan lauseke muotoon

a/sqrt(1+15a/b) + b/sqrt(1+15b/c) + c/sqrt(1+15c/a).

Ja koska abc = 1, niin ongelma saadaan pudotettua kaksiulotteiseksi. Tutkitaan siis funktiota

g(a,b) = a/sqrt(1+15a/b) + b/sqrt(1+15ab^2) + 1/sqrt(a^2b^2+15b),
a,b>0

Kun a tai b menee nollaan, niin mennään toisen muuttujan suhteen funktioon t ↦ t + 1/sqrt(15t), joka on suurempaa kuin 3/4 (minimi noin 0,76631).
Ja kun a tai b menee äärettömään, niin g menee äärettömään.

Ja kriittisten pisteiden tarkastelu olikin jo tehty. No, tämän reunatarkastelun olisi varmaan voinut tehdä alkuperäiselle f:llekin.

Ps. tuosta a,b,c -lausekkeesta näyttäisi niinkuin Jensenin pitäisi toimia, mutta sinne tulee ärsyttävästi (a+b+c)^3/2, joka tekee arviosta liian heikon.

Voiko tuo todistaa ChatGPT:llä ja Sagemathilla? Kokeilin näin:

# Määritellään muuttujat
x, y, z = var('x y z')

# Funktio f(x, y, z)
f = x/sqrt(y^2 + 15*x*z) + y/sqrt(z^2 + 15*x*y) + z/sqrt(x^2 + 15*y*z)

# Lasketaan ensimmäisen kertaluvun osittaisderivaatat
f_x = diff(f, x)
f_y = diff(f, y)
f_z = diff(f, z)

# Lasketaan toisen kertaluvun osittaisderivaatat
f_xx = diff(f, x, x)
f_yy = diff(f, y, y)
f_zz = diff(f, z, z)
f_xy = diff(f, x, y)
f_xz = diff(f, x, z)
f_yz = diff(f, y, z)

# Muodostetaan Hessian-matriisi
Hessian = Matrix([[f_xx, f_xy, f_xz],
[f_xy, f_yy, f_yz],
[f_xz, f_yz, f_zz]])

# Lasketaan Hessianin determinantti
det_Hessian = Hessian.det()
det_Hessian

# Lasketaan gradientti
grad_f = [diff(f, var) for var in [x, y, z]]

# Tarkastellaan gradienttia pisteessä x = y = z = 1
grad_at_1 = [g.subs({x: 1, y: 1, z: 1}) for g in grad_f]
print(grad_at_1)

f_xx_at_1 = f_xx.subs({x: 1, y: 1, z: 1})
print(f_xx_at_1)
Hessian = Matrix([[f_xx, f_xy, f_xz],
[f_xy, f_yy, f_yz],
[f_xz, f_yz, f_zz]])
Hessian_at_1 = Hessian.subs({x: 1, y: 1, z: 1})
# Laske determinantti ja tallenna se muuttujaan
det_Hessian_at_1 = Hessian_at_1.det()

# Tulosta determinantti
print(det_Hessian_at_1)

# Laske ominaisarvot ja tallenna ne muuttujaan
eigenvalues_at_1 = Hessian_at_1.eigenvalues()

# Tulosta ominaisarvot
print(eigenvalues_at_1)

Tuloste oli:

/usr/lib/python3/dist-packages/scipy/__init__.py:146: UserWarning: A NumPy version >=1.17.3 and <1.25.0 is required for this version of SciPy (detected version 1.26.4
warnings.warn(f"A NumPy version >={np_minversion} and <{np_maxversion}"
Solution:
x = [1.00000000e+00 4.55921939e-04 5.87326810e-06 9.99997912e-01]
Objective value = 1.0000002078791197
Constraint 1 (x1^2 + x2^2 - 1) = 2.0784026544262701e-07
Constraint 2 (x1^2 + x3^2 - 1) = 9.946488077616777e-12
[0, 0, 0]
169/2048
0
[507/4096, 507/4096, 0]

ChatGPT vastasi (osa matikan sympoleista kopioituu tuplana, sori):
Tuloksesi näyttää olevan oikein:

Gradientti on nolla [0,0,0][0,0,0], mikä vahvistaa, että piste (x=y=z=1)(x=y=z=1) on kriittinen piste (kriittinen piste löytyy, kun kaikki gradientin komponentit ovat nollia).

Determinantti on 169/2048​, joka on positiivinen. Tämä kertoo, että Hessianin determinantti on positiivinen, mikä yleensä viittaa siihen, että kyseessä on minimi.

Ominaisarvot ovat [507/4096,507/4096,0]. Tämä tarkoittaa, että Hessianin ominaisarvoista kaksi on positiivisia ja yksi on nolla. Nolla-arvo voi merkitä, että kyseessä ei ole "tiukka" minimi, vaan satulapiste, mutta koska determinantti on positiivinen ja kaksi ominaisarvoa ovat positiivisia, voidaan silti päätellä, että piste (x=y=z=1) on lokaali minimi.

Päätelmä:

Koska gradientti on nolla ja Hessianin determinantti on positiivinen (ja useat ominaisarvot ovat positiivisia), voimme päätellä, että piste x=y=z=1 on minimi. Tämä vahvistaa, että funktion f(x,y,z) vähintään 3/4​ pätee, ja että minimissä f(1,1,1)=3/4​.

Tämä siis tukee alkuperäistä epäyhtälöä!

Entä näin?

\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage{amsmath,amssymb}

\title{Todistus epäyhtälölle}
\author{}
\date{}

\begin{document}

\maketitle

\section*{Todistus}

Aloitamme oletuksella \(x = 1\), jolloin epäyhtälö yksinkertaistuu seuraavaan muotoon:

\[
f(y, z) = \frac{1}{\sqrt{y^2 + 15z}} + \frac{y}{\sqrt{z^2 + 15y}} + \frac{z}{\sqrt{1 + 15yz}}.
\]

Tavoitteenamme on osoittaa, että \(f(y, z) \geq \frac{3}{4}\) kaikilla \(y > 0\) ja \(z > 0\).

\subsection*{Vaihe 1: Symmetria}

Yksi luonnollinen ehdokas kriittiseksi pisteeksi on \(y = z = 1\), koska termit ovat symmetrisiä. Tarkastetaan, onko tämä kriittinen piste ja arvioidaan \(f(1, 1)\).

Kun \(y = 1\) ja \(z = 1\), funktio yksinkertaistuu:

\[
f(1, 1) = \frac{1}{\sqrt{1^2 + 15 \cdot 1}} + \frac{1}{\sqrt{1^2 + 15 \cdot 1}} + \frac{1}{\sqrt{1 + 15 \cdot 1}}.
\]

Tämä on:

\[
f(1, 1) = \frac{1}{\sqrt{16}} + \frac{1}{\sqrt{16}} + \frac{1}{\sqrt{16}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}.
\]

Näin ollen \(y = 1\) ja \(z = 1\) on kriittinen piste, ja tässä pisteessä \(f(1, 1) = \frac{3}{4}\), mikä tyydyttää epäyhtälön. Tämä viittaa siihen, että kyseessä on globaali minimi.

\subsection*{Vaihe 2: Käyttäytyminen äärettömyydessä}

Seuraavaksi tarkastellaan funktion \(f(y, z)\) käyttäytymistä, kun \(y \to \infty\) tai \(z \to \infty\).

\paragraph{Tapaus 1: \(y \to \infty\), \(z\) kiinteä}
Kun \(y \to \infty\), termi \( \frac{1}{\sqrt{y^2 + 15z}} \) käyttäytyy kuten \( \frac{1}{y} \), mikä lähestyy nollaa, kun \(y \to \infty\). Samoin termi \( \frac{y}{\sqrt{z^2 + 15y}} \) käyttäytyy kuten \( \frac{y}{\sqrt{15y}} = \frac{1}{\sqrt{15}} \), joka on vakio. Kolmas termi \( \frac{z}{\sqrt{1 + 15yz}} \) myös lähestyy nollaa, kun \(y \to \infty\).

Näin ollen, kun \(y \to \infty\), funktio käyttäytyy asymptoottisesti seuraavasti:

\[
f(y, z) \approx \frac{1}{\sqrt{15}} + 0 + 0 = \frac{1}{\sqrt{15}}.
\]

Koska \( \frac{1}{\sqrt{15}} \approx 0.258 \), mikä on vähemmän kuin \(\frac{3}{4}\), minimi ei voi olla äärettömyydessä.

\paragraph{Tapaus 2: \(z \to \infty\), \(y\) kiinteä}
Kun \(z \to \infty\), termi \( \frac{1}{\sqrt{y^2 + 15z}} \) käyttäytyy kuten \( \frac{1}{\sqrt{15z}} \), mikä lähestyy nollaa. Samoin termi \( \frac{y}{\sqrt{z^2 + 15y}} \) käyttäytyy kuten \( \frac{y}{z} \), joka myös lähestyy nollaa. Kolmas termi \( \frac{z}{\sqrt{1 + 15yz}} \) käyttäytyy kuten \( \frac{1}{\sqrt{15y}} \).

Näin ollen, kun \(z \to \infty\), funktio käyttäytyy asymptoottisesti seuraavasti:

\[
f(y, z) \approx 0 + 0 + \frac{1}{\sqrt{15y}}.
\]

Koska \( \frac{1}{\sqrt{15y}} \) on aina vähemmän kuin \(\frac{3}{4}\), minimi ei voi olla äärettömyydessä.

\subsection*{Vaihe 3: Käyttäytyminen rajoilla}

Tarkastellaan seuraavaksi funktion \(f(y, z)\) käyttäytymistä, kun \(y \to 0\) ja \(z \to 0\).

\paragraph{Tapaus 1: \(y \to 0\), \(z\) kiinteä}
Kun \(y \to 0\), termi \( \frac{1}{\sqrt{y^2 + 15z}} \) käyttäytyy kuten \( \frac{1}{\sqrt{15z}} \), joka pysyy rajallisena. Termi \( \frac{y}{\sqrt{z^2 + 15y}} \) lähestyy nollaa, ja termi \( \frac{z}{\sqrt{1 + 15yz}} \) käyttäytyy kuten \(z\), joka on myös rajallinen.

Näin ollen, kun \(y \to 0\), funktio käyttäytyy seuraavasti:

\[
f(y, z) \approx \frac{1}{\sqrt{15z}} + z.
\]

Minimoidaan tämä \(z\):n suhteen derivoimalla:

\[
\frac{d}{dz} \left( \frac{1}{\sqrt{15z}} + z \right) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{z^{3/2} \sqrt{15}} + 1 = 0,
\]

josta saadaan \(z \approx 0.2554\). Kun tämä sijoitetaan takaisin, saadaan:

\[
f(y \to 0, z \approx 0.2554) \approx 0.766.
\]

Näin ollen \(f(y, z) > \frac{3}{4}\) tällä alueella.

\paragraph{Tapaus 2: \(z \to 0\), \(y\) kiinteä}
Kun \(z \to 0\), termi \( \frac{1}{\sqrt{y^2 + 15z}} \) käyttäytyy kuten \( \frac{1}{y} \), joka pysyy rajallisena. Termi \( \frac{y}{\sqrt{z^2 + 15y}} \) käyttäytyy kuten \( \frac{y}{\sqrt{15y}} = \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{15}} \), ja kolmas termi \( \frac{z}{\sqrt{1 + 15yz}} \) lähestyy nollaa.

Näin ollen, kun \(z \to 0\), funktio käyttäytyy seuraavasti:

\[
f(y, z) \approx \frac{1}{y} + \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{15}}.
\]

Minimoidaan tämä \(y\):n suhteen derivoimalla:

\[
\frac{d}{dy} \left( \frac{1}{y} + \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{15}} \right) = -\frac{1}{y^2} + \frac{1}{2\sqrt{15y}} = 0,
\]

josta saadaan \(y \approx 3.915\). Kun tämä sijoitetaan takaisin, saadaan:

\[
f(y \approx 3.915, z \to 0) \approx 0.766.
\]

Näin ollen \(f(y, z) > \frac{3}{4}\) myös tällä alueella.

\subsection*{Vaihe 4: Johtopäätös}

Vaiheista 2 ja 3 näemme, että:

\begin{itemize}
\item Funktio \(f(y, z)\) lähestyy arvoja, jotka ovat suurempia kuin \(\frac{3}{4}\), kun \(y\) tai \(z\) lähestyvät äärettömyyttä tai nollaa.
\item Funktion \(f(y, z)\) minimi saavutetaan pisteessä \( (1, 1) \), jossa \(f(1, 1) = \frac{3}{4}\).
\end{itemize}

Näin ollen \(f(y, z) \geq \frac{3}{4}\) kaikilla \(y > 0\) ja \(z > 0\), ja epäyhtälö on todistettu.

\end{document}

Merkitsen

$$
S=\frac{x}{\sqrt{y^2+15xz}}
+\frac{y}{\sqrt{z^2+15xy}}
+\frac{z}{\sqrt{x^2+15yz}}.
$$

Pitää näyttää, että

$$
S\ge \frac34.
$$

Lähdetään liikkeelle havainnosta

$$
(\sqrt t-c)^2\ge0,
$$

josta seuraa

$$
\sqrt t\le\frac{t+c^2}{2c},
$$

eli

$$
\frac{x}{\sqrt t}\ge\frac{2cx}{t+c^2}.
$$

Valitaan sopivasti

$$
c_1=\frac{3x+2y+3z}{2},
$$

sekä syklisesti

$$
c_2=\frac{3x+3y+2z}{2},\qquad
c_3=\frac{2x+3y+3z}{2}.
$$

Tästä saadaan alaraja jokaiselle kolmesta termistä. Kun nämä lasketaan yhteen, päädytään epäyhtälöön

$$
S\ge
4\left(
\frac{xA_1}{E_1}
+
\frac{yA_2}{E_2}
+
\frac{zA_3}{E_3}
\right),
$$

missä

$$
A_1=3x+2y+3z,\quad
A_2=3x+3y+2z,\quad
A_3=2x+3y+3z
$$

ja

$$
\begin{aligned}
E_1&=9x^2+8y^2+9z^2+12xy+12yz+78xz,\
E_2&=9x^2+9y^2+8z^2+78xy+12yz+12xz,\
E_3&=8x^2+9y^2+9z^2+12xy+78yz+12xz.
\end{aligned}
$$

Riittää siis todistaa

$$
\frac{xA_1}{E_1}
+
\frac{yA_2}{E_2}
+
\frac{zA_3}{E_3}
\ge\frac{3}{16}.
$$

Kun nimittäjät poistetaan, jäljelle jää kuudennen asteen homogeeninen polynomi. Se voidaan kirjoittaa summaksi termejä, joiden kaikki kertoimet ovat epänegatiivisia, joten kyseinen polynomi on epänegatiivinen.

Tästä seuraa

$$
S\ge\frac34.
$$

Siis

$$
\boxed{
\frac{x}{\sqrt{y^2+15xz}}
+
\frac{y}{\sqrt{z^2+15xy}}
+
\frac{z}{\sqrt{x^2+15yz}}
\ge
\frac34
}.
$$

Yhtäsuuruus saadaan tapauksessa

$$
x=y=z.
$$

Todistus on osittain tietokoneavusteinen, sillä viimeinen polynomiepäyhtälö tarkistetaan kirjoittamalla erotus summaksi ei-negatiivisia termejä.

Olkoon

f=x/sqrt(y^2+15xz)+y/sqrt(z^2+15xy)+z/sqrt(x^2+15yz).

Todistetaan f>=3/4. Epäyhtälöstä

sqrt(t) <= (t+c^2)/(2c)

valitaan ensimmäiselle termille c=(3x+2y+3z)/2 ja muille syklisesti. Näin alkuperäinen väite palautuu homogeenisen 6. asteen polynomin P(x,y,z)>=0 todistamiseen. Homogeenisuuden vuoksi voidaan olettaa x+y+z=1.

Pisteen x=y=z=1/3 lähellä asetetaan x=1/3+u, y=1/3+v ja z=1/3-u-v sekä q=u^2+uv+v^2. P:n täsmällisestä kehitelmästä saadaan

P >= q B(sqrt(q)),

ja suoralla rationaalisella arviolla B>0 aina, kun q<=1/2500.

Simpleksin loppuosa tarkistettiin Berzin/Bernsteinin menetelmällä käyttäen vain tarkkoja murtolukuja. Adaptiivinen jako tuotti 93 kolmiota: 87:ssa kaikki Bernstein-kertoimet ovat epänegatiivisia ja loput 6 ovat alueella q<=1/2500. Siis P>=0 kaikkialla.

Näin f>=3/4. Kun x=y=z, jokainen termi on 1/4, joten yhtäsuuruus toteutuu.

ChatGpt: Epäyhtälön todistus

Väite. Kaikilla (x,y,z>0) pätee

[
\frac{x}{\sqrt{y^2+15xz}}
+\frac{y}{\sqrt{z^2+15xy}}
+\frac{z}{\sqrt{x^2+15yz}}
\ge \frac34.
]

Yhtäsuuruus toteutuu täsmälleen silloin, kun (x=y=z).

Todistus.

Käytetään aluksi kaikilla (A,D>0) voimassa olevaa epäyhtälöä

[
\frac1{\sqrt D}\ge\frac{4A}{A^2+4D}.
\tag{1}
]

Se seuraa suoraan epäyhtälöstä ((A-2\sqrt D)^2\ge0).

Merkitään

[
\begin{aligned}
D_1&=y^2+15xz, & A_1&=3x+y+4z,\
D_2&=z^2+15xy, & A_2&=4x+3y+z,\
D_3&=x^2+15yz, & A_3&=x+4y+3z
\end{aligned}
]

ja asetetaan (E_i=A_i^2+4D_i).

Epäyhtälöstä (1) saadaan

[
\frac{x}{\sqrt{D_1}}+
\frac{y}{\sqrt{D_2}}+
\frac{z}{\sqrt{D_3}}
\ge
4\left(
\frac{xA_1}{E_1}+
\frac{yA_2}{E_2}+
\frac{zA_3}{E_3}
\right).
]

Riittää siis osoittaa, että

[
16(xA_1E_2E_3+yA_2E_3E_1+zA_3E_1E_2)
-3E_1E_2E_3\ge0.
\tag{2}
]

Merkitään yhtälön (2) vasenta puolta (P(x,y,z)). Se on kuudennen asteen homogeeninen polynomi, joka on invariantti muuttujien syklisissä permutaatioissa.

Tämän vuoksi riittää käsitellä kaksi järjestystapausta.

Tapaus 1: (x\ge y\ge z).

Voimme kirjoittaa

[
x=a+b+c,\qquad y=b+c,\qquad z=c,
]

missä (a,b,c\ge0).

Suoralla polynomilaskulla saadaan

[
P=\sum_{k=0}^4c^kP_k(a,b),
]

missä

[
\begin{aligned}
P_0={}&(5a^2+18ab+29b^2)\
&\cdot(336a^4+3652a^3b+9537a^2b^2
+8792ab^3+2676b^4),\
P_1={}&4(3607a^5+46600a^4b+240124a^3b^2\
&\qquad+494006a^2b^3+423381ab^4+130113b^5),\
P_2={}&16(4247a^4+56874a^3b+166281a^2b^2\
&\qquad+180062ab^3+70655b^4),\
P_3={}&64(4834a^3+22463a^2b+28697ab^2+15902b^3),\
P_4={}&331776(a^2+ab+b^2).
\end{aligned}
]

Kaikkien näiden polynomien kertoimet ovat epänegatiivisia. Näin ollen (P\ge0).

Tapaus 2: (x\ge z\ge y).

Kirjoitetaan

[
x=a+b+c,\qquad y=c,\qquad z=b+c,
]

missä (a,b,c\ge0).

Jälleen saadaan

[
P=\sum_{k=0}^4c^kQ_k(a,b),
]

missä

[
\begin{aligned}
Q_0={}&(16a^2+40ab+29b^2)Q(a,b),\
Q_1={}&4(3607a^5+5411a^4b+2738a^3b^2\
&\qquad+101612a^2b^3+227184ab^4+130113b^5),\
Q_2={}&16(4247a^4+18122a^3b+50025a^2b^2\
&\qquad+102558ab^3+70655b^4),\
Q_3={}&64(4834a^3+12775a^2b+19009ab^2+15902b^3),\
Q_4={}&331776(a^2+ab+b^2)
\end{aligned}
]

ja

[
Q(a,b)=105a^4-250a^3b-783a^2b^2
+1912ab^3+2676b^4.
]

Polynomit (Q_1,Q_2,Q_3,Q_4) ovat selvästi epänegatiivisia. Jäljelle jää osoittaa, että (Q(a,b)\ge0).

Tätä varten käytetään identiteettiä

[
\boxed{
\begin{aligned}
21Q(a,b)={}&5(21a^2-25ab-105b^2)^2\
&+b^2(2482a^2+13902ab+1071b^2).
\end{aligned}
}
]

Oikean puolen molemmat termit ovat epänegatiivisia, joten (Q(a,b)\ge0). Siis myös (Q_0(a,b)\ge0), mistä seuraa (P\ge0).

Molemmat järjestystapaukset on nyt käsitelty. Syklisen symmetrian perusteella (2) pätee kaikilla (x,y,z>0), ja siten alkuperäinen epäyhtälö on todistettu.

Lopuksi, jos (x=y=z=t>0), niin jokainen alkuperäisen summan termi on (1/4), joten summa on (3/4).

Jos taas muuttujat eivät ole kaikki yhtä suuria, edellä esitetyt polynomihajotelmat antavat (P>0), jolloin alkuperäinen epäyhtälö on aito.

Siis yhtäsuuruus toteutuu täsmälleen silloin, kun (x=y=z). (\square)