Kinkkinen epäyhtälö taas

Jatkuu.
Käytetään Eulerin lausetta näihinntoisiin derivaattoihin pisreessä (1,1,1) (joka oli kriittinen piste).
f(xx,; 1,1,1) + f(xy; 1,1,1) + f(xz; 1,1 1) = 0
f(yx; 1,1,1) + f(yy; 1,1,1) + f(yz; 1,1,1) =0
f(zx; 1,1,1) + f(zy; 1,1,1) + f(zz; 1,1,1) = 0
Näistä ja edeltävistä toisen derivaatan symmetrioista seuraa, että pisteessä (1,1,1) on f(xx; ) = f(yy; ) = f(zz; ) = - 2 f(xy; )

Riittää siis laskea pelkästään derivaatan f(xx; 1,1,1) arvo.Tämä saadaan helpoimmin derivoimalla kahdesti x:n funktio f(x,1,1) ja tulos on 338/4^6.

Kriittistä pistettä tutkitaan neliömuodon Q(x,y,z ; h1,h2,h3) avulla.
f(1+ h1, 1+ h2, 1+ h3) = 3/4 + 0 + 1/2! * 338/4^6 (h1^2 + h2^2 + h3^2 - h1 h2 - h1 h3 - h3 h1)+ jäännöstermi.
Siis Q(1,1,1; h1,h2,h3) >= 0 ja 0 sjvs kun h1=h2=h3 on piste (1,1,1) lokaali minimi.

Kun muistetaan, että nuo toiset derivaatat ovat homogeenisia astetta - 2 nähdään, että sama pätee koko puolisuoralla (a,a,a) missä a> 0.
3/4 on siis f:n lokaalinen minimiarvo. Sen globaalisuutta entässä nyt todistanut.

Excellent.

Numeerisesti näyttäisi olevan voimassa:

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize

# Määritellään funktio
def f(x):
return x[0] / np.sqrt(x[1]**2 + 15 * x[0] * x[2]) + \
x[1] / np.sqrt(x[2]**2 + 15 * x[0] * x[1]) + \
x[2] / np.sqrt(x[0]**2 + 15 * x[1] * x[2])

# Alkuarvaus
x0 = np.array([1.0, 1.0, 1.0])

# Rajoitukset (x > 0, y > 0, z > 0)
bounds = [(1e-5, None), (1e-5, None), (1e-5, None)]

# Minimointi
result = minimize(f, x0, method='L-BFGS-B', bounds=bounds)

print("Minimiarvo:", result.fun)
print("Minimipiste:", result.x)

Tulostus:

Minimiarvo: 0.75
Minimipiste: [1. 1. 1.]

Joskus tuollaisia epäyhtälöitä voi lähteä ratkomaan Hölderin tai Jensenin epäyhtälön avulla. Joskus taas tuollaiseen voi kehittää numeerisen algoritmin, joka voidaan muuntaa täsmällisesti todistukseksi.

Kirjoittamalla

a = x/y
b = y/z
c = z/x

saadaan lauseke muotoon

a/sqrt(1+15a/b) + b/sqrt(1+15b/c) + c/sqrt(1+15c/a).

Ja koska abc = 1, niin ongelma saadaan pudotettua kaksiulotteiseksi. Tutkitaan siis funktiota

g(a,b) = a/sqrt(1+15a/b) + b/sqrt(1+15ab^2) + 1/sqrt(a^2b^2+15b),
a,b>0

Kun a tai b menee nollaan, niin mennään toisen muuttujan suhteen funktioon t ↦ t + 1/sqrt(15t), joka on suurempaa kuin 3/4 (minimi noin 0,76631).
Ja kun a tai b menee äärettömään, niin g menee äärettömään.

Ja kriittisten pisteiden tarkastelu olikin jo tehty. No, tämän reunatarkastelun olisi varmaan voinut tehdä alkuperäiselle f:llekin.

Ps. tuosta a,b,c -lausekkeesta näyttäisi niinkuin Jensenin pitäisi toimia, mutta sinne tulee ärsyttävästi (a+b+c)^3/2, joka tekee arviosta liian heikon.