Kuinka monta kertaa N-määrän tahkoja sisältävää noppaa on heitettävä, jotta tahkoihin numeroitujen lukujen summa ylittää tahkojen määrän?
Siis perusnoppaa missä 6 tahkoa on heitettävä vähintään kaksi kertaa, mutta enintään seitsemän kertaa.
Vaan mikä on todennäköisyys yleisellä tasolla?
Nokkelampi noppatehtävä
Anonyymi-ap
24
609
Vastaukset
- Anonyymi00001
Minkä todennäköisyys?
- Anonyymi00002
Että monellkoa heitolla summa ylittää tahkojen määrän. Onko se sitten N/2+1.
- Anonyymi00003
Olkoon X_s tarvittavien heittojen lukumäärä, kun aloitetaan heittely summasta s. Olkoon lisäksi f_s(x) muuttujan X_s todennäköisyydet generoiva funktio.
Nyt pätee seuraava rekursio
f_s(x) = 1, jos s>n
ja jos s=0,1,..., n, niin
f_s(x) = x/n * sum_{j=1}^n f_{s+j}(x).
Induktiolla voidaan osoittaa, että f_s(x) = 1 + (x-1)(1+x/n)^{n-s}.
Tehtävä on siis periaattessa ratkaistu, koska meillä on pgf f_0(x) suljetussa muodossa. Tai onhan tuosta myös helppo kaivaa se kerroin eli
P(X=k) = (k-1)*binomial(n+1,k)/n^k
(kaava Desmoksessa: https://www.desmos.com/calculator/ap6nitjg9k
Lisähuomio: f(x) -> 1 + (x-1)e^x, kun n->oo.
Ja myös odotusarvo (joka saadaan laskemalla f'(1)) menee e:hen. - Anonyymi00005
Ei tarvitse heittää ollenkaan, Tahkojen numeroiden summa ylittää tahkojen määrän heti. Esim. kun N=6 on 1+2+3+4+5+6 = 21 > 6.
- Anonyymi00006
Jumala ei heitä noppaa (Albert Einstein).
- Anonyymi00007
Tahkoihin on numeroitu lukuja? Voivatko olla samoja?
Tuon voisi sanoa paljon helpommin ihan matemaattisesti, jos tarkoitetaan lukuja 1...N.
Varmasti löytyy myös noppia, joissa on luvut 0...N-1 tai vaikkapa vain alkupään alkuluvut. - Anonyymi00008
Neljä heittoa riittää 95 % varmuudella.
- Anonyymi00009
Joo, P(4 riittää ) > 23/24 kaikilla n.
- Anonyymi00010
7...
- Anonyymi00011
1...
- Anonyymi00012
mä en sitteen osais niitä silmälaseja ostaa tasoa sata 32=67-201 33020 22 63 -1.
- Anonyymi00013
voi mennä hermot
- Anonyymi00014
juoda veret kerran maahan verien astia tai veriastia sais kerrasta hei minä kemian opettaja.en tee .paitsiosta piirrä jalkapalloa kuin cal tehokas alla pääsy ei marjoistasi meille olka.revi on mahla kiina.
- Anonyymi00015
sait testissä kun kusi nousee päähän.
- Anonyymi00016
olen poika kodissa karkuun koulusta kotiin koulu-nelonen liikunta mathematica 10.
- Anonyymi00017
en kun poliisissa opettaja ame i noi anio latina soitan en mä ole jutellut i karkasin ikani sinulle pilatus mielelläni pontius kun on oikea ajan lopun laskua kohta alkua joudun ennen ranta sen maan italia sana koska se latina minä keksin numero jatkoa vien tuolla häirikkö sanatkin soittoje takia mouse.
- Anonyymi00022
:DDDDDD
- Anonyymi00023
Tahkoja on siis N kappaletta ja ne on numeroitu 1,2,...,N.
Yhtä tuon arpamöhkäleen heittoa kuvaa satunnaismuuttuja X joka saa kunkin noista arvoista ot (1,...,N) todennäköisyydellä P(X= k) = 1/N. Jos meillä on n:n heiton sarja, sitä kuvaa stokastinren prosessi X(i) , i = 1,2,...,n , missä X(i)-muuttujat ovat riippumattomia ja jakautuvat kuten X.
S(k) = X(1) + X(2) +...X(k)
S(2) = X(1) + X(2) ja P(S(2) = s) saadaan muuttujien X(1) ja X(2) konvoluutiolla.
P(S(2) = s) = Summa (k = 1,..,s - 1 ) ( P(X(1) = k) P( X(2) = s - k))
2 <= s <= 2N
Huomattakoon tuossa laskukaavassa, että X(1) ja X(2) voivat saada vainnarvoja 1,...,N. Muilla arvoilla P(X) =0.
S(k+1) = S(k) + X(k+1) ja sen jakauma saadaan taas tuon summan termien konvoluutiolla.
P(S(k) > N) = 1 - P(S(k) <= N)
P(S(k) <= N) = Summa(s = 2,...,N) P(S(k) = s)- Anonyymi00024
Tuli tuohon loppuun kirjoitusvirhe. P.o. : ...Summa(s = k,....,N) P(S(k) = s). Tosin toimiihan tuo entinenkin kaava koska P(S(k) = i) = 0 kun i < k.
- Anonyymi00025
Anonyymi00024 kirjoitti:
Tuli tuohon loppuun kirjoitusvirhe. P.o. : ...Summa(s = k,....,N) P(S(k) = s). Tosin toimiihan tuo entinenkin kaava koska P(S(k) = i) = 0 kun i < k.
Jatkan vielä hiukan. Kts. esim. Wikipedia (eng.): Discrete uniform distribution , Characteristic function (probability theory).
Nuo X(i) - muuttujat olivat siis identtisesti ja tasaisesti jakautuvia riippumattomia muuttajia., jotka saavat arvot välillä (1,N). Tällaisen muuttujan karakteristinen funktio on
f(t) = (e^(it) - e^(it (N+1))) / ((1 - e^(it)) N) ja summan S(k) karakteristinen funktio on siis
F(t) = (f(t))^k.
Siitä vaan tuon summan jakaumaa etsimään! Helposti (heko-heko). - Anonyymi00026
Anonyymi00025 kirjoitti:
Jatkan vielä hiukan. Kts. esim. Wikipedia (eng.): Discrete uniform distribution , Characteristic function (probability theory).
Nuo X(i) - muuttujat olivat siis identtisesti ja tasaisesti jakautuvia riippumattomia muuttajia., jotka saavat arvot välillä (1,N). Tällaisen muuttujan karakteristinen funktio on
f(t) = (e^(it) - e^(it (N 1))) / ((1 - e^(it)) N) ja summan S(k) karakteristinen funktio on siis
F(t) = (f(t))^k.
Siitä vaan tuon summan jakaumaa etsimään! Helposti (heko-heko).Jatkan vieläkin. On vielä tapa lähestyä asiaa generoivan funktion avulla. Erinomaisessa kirjassaan "Todennäköisyyslaskenta" G. Elfving esitteli de Moivren probleeman: noppaa heitetään n kertaa, mikä on todennäköisyys, että saavutettu pistesumma on s (n <= s <= 6n).
Tulos:
P(s) = 1/6^n * Summa (0 <= i <= (s-n)/6 ) ( (- 1)^i C(n,i) * C(s - 6i - 1, n - 1) )
Tässä C(k,l) = k!/(l! (k-l)!) (binomikerroin).
P( s ) <= K) saadaan laskemalla yhteen luvut P(s) missä 6 <= s <= K
P(s > K) = 1 - P(s <= K)
Aloittajan kysymyksessä olisi tavallisen nopan heitossa siis K = 6.
Jos arpamöhkäleessä onkin N tahkoa, lukija osannee päätellä, miten lasku silloin menee.
P.S. Tuo kirja on vieläkin erinomainen esitys aiheestaan. Maltilliseen sivumäärään on saatu paljon asiaa, myös tilastotiedettä. Tiivis matemaattinen esitystapa. Suosittelen opiskelijalle jos antikvariaatista sattuisi löytymään. - Anonyymi00027
Anonyymi00026 kirjoitti:
Jatkan vieläkin. On vielä tapa lähestyä asiaa generoivan funktion avulla. Erinomaisessa kirjassaan "Todennäköisyyslaskenta" G. Elfving esitteli de Moivren probleeman: noppaa heitetään n kertaa, mikä on todennäköisyys, että saavutettu pistesumma on s (n <= s <= 6n).
Tulos:
P(s) = 1/6^n * Summa (0 <= i <= (s-n)/6 ) ( (- 1)^i C(n,i) * C(s - 6i - 1, n - 1) )
Tässä C(k,l) = k!/(l! (k-l)!) (binomikerroin).
P( s ) <= K) saadaan laskemalla yhteen luvut P(s) missä 6 <= s <= K
P(s > K) = 1 - P(s <= K)
Aloittajan kysymyksessä olisi tavallisen nopan heitossa siis K = 6.
Jos arpamöhkäleessä onkin N tahkoa, lukija osannee päätellä, miten lasku silloin menee.
P.S. Tuo kirja on vieläkin erinomainen esitys aiheestaan. Maltilliseen sivumäärään on saatu paljon asiaa, myös tilastotiedettä. Tiivis matemaattinen esitystapa. Suosittelen opiskelijalle jos antikvariaatista sattuisi löytymään.Kirjoitin tuossa väärin. P.O.:
P(s <= K)) saadaan laskemalla yhteen luvut P(s) missä n <= s <= K. Ja tietysti n:llä heitolla K<= 6n.
- Anonyymi00028
Eiks tuo tarkoita sitä kuinka monta kertaa saa peräkkäin pelkän ykkösen? Nopassa on kuusi sivua, jos saat kuusi kertaa peräkkäin luvun yksi, niin seitsemäs menee väkisin yli kuuden. Onko tämä sitten enää mitään oikeaa todennäköisyyttä.
- Anonyymi00029
Minnekä lie hävinnyt eilinen vastaukseni???
Et ole ymmärtänyt esitystäni.
Siis: Ei tarkoita. On oikeaa todennäköisyyttä.
Perehdy seuraaviin käsitteisiin ennenkuin intät:
todennäköisyysavaruus
sen "tapahtumat" (tietyt osajoukot) ja niiden muodostama sigma-algebra
tuossa algebrassa määritelty todennäköisyysmitta
stokastinen muuttuja ja laskutoimitukset niillä
riippumattomuus/riippuvuus
Ketjusta on poistettu 5 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Perintovero 100 prosenttiin, työeläkkeet ja maataloustuet pois
Noilla eväillä lähden tasapainottamaan valtiontaloutta ja korjaamaan työntekijöiden palkkakuoppaa nostamatta työnantajie1223835Riikka runnoo: polttoöljyn hinta nousi maaliskuussa 40 prosenttia
Onko irvistelijällä sakset hävinneet, vai miksei osaa leikata polttoaineiden hintaa kansalaisten kukkarolle sopivalle ta163577Demariskandaali! Eveliina Heinäluoma (sdp) kahmii kaikki Hitas asunnot itselleen!
Heinäluoma on ostanut useita yhteiskunnan tukemia, hintasäännösteltyjä asuntoja itselleen! Ei ihme, että Hitas on ollut1172509Mökkejä ostellaan nyt ihan hulluna!
Tyypilliset lainamäärät on yli 500 000€ mökkejä ostellessa eli erityisesti tuollaiset miljoonamökit on nyt suomalaisten802460Päivän Riikka: polttoöljyn hinta räjähti
Näyttää tuo putinismi ilmenevän persuissa myös Suomen yrittäjien kampittamisena. Polttoöljy on se katalyytti, joka pitää532432Purra ryöväsi Marinin Itä.-Suomelle neuvottelemat EU-rahat
Perust vihaavat suomalaisia, mutta eritoten itäsuomalaisia. "Osa kaksikäyttörahoista on alun perin Itä- ja Pohjois-Suom82380Miksi persut hyökkäävät jatkuvasti henkilöitä päin?
Miksei persut yritä lainkaan korjata asioita, vaan koko ajan haukkuvat henkilöitä? Ei tuollaisilla turvanpieksäjillä ole212337Helsingin yllä valopalloja
https://www.iltalehti.fi/kotimaa/a/1508be00-28c9-4156-83dc-0be5e7aa3066 "Helsingin taivaalla lensi lauantaina puolen yön1582246HÄLYYTYS!!
Ukraina se hyökkää jo Suomen maaperälle. https://www.iltalehti.fi/kotimaa/a/645b83ce-e074-4f00-8b99-245d01b38a364362007Demarien sanoin kuvaamaton ahneus - Eveliina Heinäluoma vain yksi esimerkki
Mutta näin se on demari-eliitissä aina ollut, käytännössä siis nämä eliittiin kuuluvat ovat puhtaasti porvareita - Marin591935