Kuinka monta kertaa N-määrän tahkoja sisältävää noppaa on heitettävä, jotta tahkoihin numeroitujen lukujen summa ylittää tahkojen määrän?
Siis perusnoppaa missä 6 tahkoa on heitettävä vähintään kaksi kertaa, mutta enintään seitsemän kertaa.
Vaan mikä on todennäköisyys yleisellä tasolla?
Siis perusnoppaa missä 6 tahkoa on heitettävä vähintään kaksi kertaa, mutta enintään seitsemän kertaa.
Vaan mikä on todennäköisyys yleisellä tasolla?
Vastaukset 24
Vanhimmat
Minkä todennäköisyys?
Että monellkoa heitolla summa ylittää tahkojen määrän. Onko se sitten N/2+1.
Olkoon X_s tarvittavien heittojen lukumäärä, kun aloitetaan heittely summasta s. Olkoon lisäksi f_s(x) muuttujan X_s todennäköisyydet generoiva funktio.
Nyt pätee seuraava rekursio
f_s(x) = 1, jos s>n
ja jos s=0,1,..., n, niin
f_s(x) = x/n * sum_{j=1}^n f_{s+j}(x).
Induktiolla voidaan osoittaa, että f_s(x) = 1 + (x-1)(1+x/n)^{n-s}.
Tehtävä on siis periaattessa ratkaistu, koska meillä on pgf f_0(x) suljetussa muodossa. Tai onhan tuosta myös helppo kaivaa se kerroin eli
P(X=k) = (k-1)*binomial(n+1,k)/n^k
(kaava Desmoksessa: https://www.desmos.com/calculator/ap6nitjg9k
Lisähuomio: f(x) -> 1 + (x-1)e^x, kun n->oo.
Ja myös odotusarvo (joka saadaan laskemalla f'(1)) menee e:hen.
Ei tarvitse heittää ollenkaan, Tahkojen numeroiden summa ylittää tahkojen määrän heti. Esim. kun N=6 on 1+2+3+4+5+6 = 21 > 6.
Jumala ei heitä noppaa (Albert Einstein).
Tahkoihin on numeroitu lukuja? Voivatko olla samoja?
Tuon voisi sanoa paljon helpommin ihan matemaattisesti, jos tarkoitetaan lukuja 1...N.
Varmasti löytyy myös noppia, joissa on luvut 0...N-1 tai vaikkapa vain alkupään alkuluvut.
Neljä heittoa riittää 95 % varmuudella.
Joo, P(4 riittää ) > 23/24 kaikilla n.
7...
1...
mä en sitteen osais niitä silmälaseja ostaa tasoa sata 32=67-201 33020 22 63 -1.
voi mennä hermot
juoda veret kerran maahan verien astia tai veriastia sais kerrasta hei minä kemian opettaja.en tee .paitsiosta piirrä jalkapalloa kuin cal tehokas alla pääsy ei marjoistasi meille olka.revi on mahla kiina.
sait testissä kun kusi nousee päähän.
olen poika kodissa karkuun koulusta kotiin koulu-nelonen liikunta mathematica 10.
en kun poliisissa opettaja ame i noi anio latina soitan en mä ole jutellut i karkasin ikani sinulle pilatus mielelläni pontius kun on oikea ajan lopun laskua kohta alkua joudun ennen ranta sen maan italia sana koska se latina minä keksin numero jatkoa vien tuolla häirikkö sanatkin soittoje takia mouse.
:DDDDDD
Tahkoja on siis N kappaletta ja ne on numeroitu 1,2,...,N.
Yhtä tuon arpamöhkäleen heittoa kuvaa satunnaismuuttuja X joka saa kunkin noista arvoista ot (1,...,N) todennäköisyydellä P(X= k) = 1/N. Jos meillä on n:n heiton sarja, sitä kuvaa stokastinren prosessi X(i) , i = 1,2,...,n , missä X(i)-muuttujat ovat riippumattomia ja jakautuvat kuten X.
S(k) = X(1) + X(2) +...X(k)
S(2) = X(1) + X(2) ja P(S(2) = s) saadaan muuttujien X(1) ja X(2) konvoluutiolla.
P(S(2) = s) = Summa (k = 1,..,s - 1 ) ( P(X(1) = k) P( X(2) = s - k))
2 <= s <= 2N
Huomattakoon tuossa laskukaavassa, että X(1) ja X(2) voivat saada vainnarvoja 1,...,N. Muilla arvoilla P(X) =0.
S(k+1) = S(k) + X(k+1) ja sen jakauma saadaan taas tuon summan termien konvoluutiolla.
P(S(k) > N) = 1 - P(S(k) <= N)
P(S(k) <= N) = Summa(s = 2,...,N) P(S(k) = s)
Tuli tuohon loppuun kirjoitusvirhe. P.o. : ...Summa(s = k,....,N) P(S(k) = s). Tosin toimiihan tuo entinenkin kaava koska P(S(k) = i) = 0 kun i < k.
Jatkan vielä hiukan. Kts. esim. Wikipedia (eng.): Discrete uniform distribution , Characteristic function (probability theory).
Nuo X(i) - muuttujat olivat siis identtisesti ja tasaisesti jakautuvia riippumattomia muuttajia., jotka saavat arvot välillä (1,N). Tällaisen muuttujan karakteristinen funktio on
f(t) = (e^(it) - e^(it (N+1))) / ((1 - e^(it)) N) ja summan S(k) karakteristinen funktio on siis
F(t) = (f(t))^k.
Siitä vaan tuon summan jakaumaa etsimään! Helposti (heko-heko).
Jatkan vieläkin. On vielä tapa lähestyä asiaa generoivan funktion avulla. Erinomaisessa kirjassaan "Todennäköisyyslaskenta" G. Elfving esitteli de Moivren probleeman: noppaa heitetään n kertaa, mikä on todennäköisyys, että saavutettu pistesumma on s (n <= s <= 6n).
Tulos:
P(s) = 1/6^n * Summa (0 <= i <= (s-n)/6 ) ( (- 1)^i C(n,i) * C(s - 6i - 1, n - 1) )
Tässä C(k,l) = k!/(l! (k-l)!) (binomikerroin).
P( s ) <= K) saadaan laskemalla yhteen luvut P(s) missä 6 <= s <= K
P(s > K) = 1 - P(s <= K)
Aloittajan kysymyksessä olisi tavallisen nopan heitossa siis K = 6.
Jos arpamöhkäleessä onkin N tahkoa, lukija osannee päätellä, miten lasku silloin menee.
P.S. Tuo kirja on vieläkin erinomainen esitys aiheestaan. Maltilliseen sivumäärään on saatu paljon asiaa, myös tilastotiedettä. Tiivis matemaattinen esitystapa. Suosittelen opiskelijalle jos antikvariaatista sattuisi löytymään.
Kirjoitin tuossa väärin. P.O.:
P(s <= K)) saadaan laskemalla yhteen luvut P(s) missä n <= s <= K. Ja tietysti n:llä heitolla K<= 6n.
Eiks tuo tarkoita sitä kuinka monta kertaa saa peräkkäin pelkän ykkösen? Nopassa on kuusi sivua, jos saat kuusi kertaa peräkkäin luvun yksi, niin seitsemäs menee väkisin yli kuuden. Onko tämä sitten enää mitään oikeaa todennäköisyyttä.
Minnekä lie hävinnyt eilinen vastaukseni???
Et ole ymmärtänyt esitystäni.
Siis: Ei tarkoita. On oikeaa todennäköisyyttä.
Perehdy seuraaviin käsitteisiin ennenkuin intät:
todennäköisyysavaruus
sen "tapahtumat" (tietyt osajoukot) ja niiden muodostama sigma-algebra
tuossa algebrassa määritelty todennäköisyysmitta
stokastinen muuttuja ja laskutoimitukset niillä
riippumattomuus/riippuvuus