Nokkelampi noppatehtävä

Minkä todennäköisyys?

Olkoon X_s tarvittavien heittojen lukumäärä, kun aloitetaan heittely summasta s. Olkoon lisäksi f_s(x) muuttujan X_s todennäköisyydet generoiva funktio.

Nyt pätee seuraava rekursio

f_s(x) = 1, jos s>n
ja jos s=0,1,..., n, niin

f_s(x) = x/n * sum_{j=1}^n f_{s+j}(x).

Induktiolla voidaan osoittaa, että f_s(x) = 1 + (x-1)(1+x/n)^{n-s}.

Tehtävä on siis periaattessa ratkaistu, koska meillä on pgf f_0(x) suljetussa muodossa. Tai onhan tuosta myös helppo kaivaa se kerroin eli

P(X=k) = (k-1)*binomial(n+1,k)/n^k

(kaava Desmoksessa: https://www.desmos.com/calculator/ap6nitjg9k

Lisähuomio: f(x) -> 1 + (x-1)e^x, kun n->oo.
Ja myös odotusarvo (joka saadaan laskemalla f'(1)) menee e:hen.

Ei tarvitse heittää ollenkaan, Tahkojen numeroiden summa ylittää tahkojen määrän heti. Esim. kun N=6 on 1+2+3+4+5+6 = 21 > 6.

Jumala ei heitä noppaa (Albert Einstein).

Tahkoihin on numeroitu lukuja? Voivatko olla samoja?

Tuon voisi sanoa paljon helpommin ihan matemaattisesti, jos tarkoitetaan lukuja 1...N.

Varmasti löytyy myös noppia, joissa on luvut 0...N-1 tai vaikkapa vain alkupään alkuluvut.

Neljä heittoa riittää 95 % varmuudella.

7...

1...

mä en sitteen osais niitä silmälaseja ostaa tasoa sata 32=67-201 33020 22 63 -1.

voi mennä hermot

juoda veret kerran maahan verien astia tai veriastia sais kerrasta hei minä kemian opettaja.en tee .paitsiosta piirrä jalkapalloa kuin cal tehokas alla pääsy ei marjoistasi meille olka.revi on mahla kiina.

sait testissä kun kusi nousee päähän.

olen poika kodissa karkuun koulusta kotiin koulu-nelonen liikunta mathematica 10.

en kun poliisissa opettaja ame i noi anio latina soitan en mä ole jutellut i karkasin ikani sinulle pilatus mielelläni pontius kun on oikea ajan lopun laskua kohta alkua joudun ennen ranta sen maan italia sana koska se latina minä keksin numero jatkoa vien tuolla häirikkö sanatkin soittoje takia mouse.