En ole mikään matematiikka guru, mutta pähkäilen monesti kiikkustuolissa mitä monenlaisimpia asioita. Tässäpä eräs pulma.
Kuvitellaan sentin pituinen matka, se puolitetaan, ja taas puolikas puolitetaan, jne.. Eli 1cm, 0.5cm, 0.25cm, 0.125cm, jne.. Puolittamista voisi matemaattisesti jatkaa vaikka ikuisuuteen, eikä välimatka koskaan menisi nollaan. Se vain lähestyisi sitä, mutta aina olisi pieni rako kahden etäisyyttä kuvaavan viivan välillä, äärettömyyteen astiko?
Entä sama asia kun sormen päät ovat 1cm päässä toisistaan, sitten 0.5cm, sitten 0.25cm, jne. Sormet eivät tällä tavalla koskaan koskettaisi toisiaan , vain lähestyisivät. Olenko ymmärtänyt oikein?
Kuvitellaan sentin pituinen matka, se puolitetaan, ja taas puolikas puolitetaan, jne.. Eli 1cm, 0.5cm, 0.25cm, 0.125cm, jne.. Puolittamista voisi matemaattisesti jatkaa vaikka ikuisuuteen, eikä välimatka koskaan menisi nollaan. Se vain lähestyisi sitä, mutta aina olisi pieni rako kahden etäisyyttä kuvaavan viivan välillä, äärettömyyteen astiko?
Entä sama asia kun sormen päät ovat 1cm päässä toisistaan, sitten 0.5cm, sitten 0.25cm, jne. Sormet eivät tällä tavalla koskaan koskettaisi toisiaan , vain lähestyisivät. Olenko ymmärtänyt oikein?
Vastaukset 12
Vanhimmat
Jos jatkaa äärettömyyteen asti, niin nollaan menee, molemmissa tapauksissa.
Jos jatkaa mielivaltaisen pitkään, mutta kuitenkin äärellisen verran toistoja, niin sitten ei nollaa saavuteta ensimmäisessä kohdassa.
Sormien osalta tulee esiin kysymyksiä, mitä tarkoitetaan välimatkalla, ja mitä osumisella. Koska mikään pinta ei ole aivan "paikallaan" elektronien liikkeestä johtuen, niin määrittelyistä riippuen saattaisi äärellinenkin puolittamisien määrä johtaa lopulta osumaan.
Juu, noin se varmaan menee. Aika velmua..
1/2^n
1/2^n -> 1/2^ääretön = 1/ääretön = 0 ,kun n -> ääretön
joo, matka on sopimus.
1/ääretön on sopimus.
Evoluutio on sopimus.
Se, että Jeesus on Jumalan poika on sopimus.
ota kuitenkin huomioon että keskustelun aloittaja ei sanonut missä lämpötilassa tämä sormien välimatkan jatkuva puolittaminen tapahtuisi...
et ilmeisesti tullut ajatelleeksi että atomien liike lakkaa absoluuttisessa nollapisteessä mutta jos lämpötila on yli tämän absoluuttisen nollapisteen niin silloin olet oikeassa...
kun taas tuossa vaihtoehdossa jossa kyseisiä kappaleita ovat viivat on antamasi vastaus virheellinen.
mutta käytännössä ei.
Kehiin astuu kvantittuminen.
Eli tietyn pituuden jälkeen seuraava olisi tasan nolla.
Tämä rajapituus on ns. Planckin pituus jota pienempää ei ole olemassa.
Sama pätee aikaan, jos jaat sekunnin pienempään ja pienempään niin tietyn jaon jälkeen aika loppui totaalisesti.
Vaikeaa, vai?
Mutta kanttiteoria on ihan todistettu juttu, esim. metallia jäähdytettäessä sen sähkövastus pienenee ja pienenee kunnes yhtäkkiä se putoaa tasan nollaan.
Aine siirtyy suprajohtavaan tilaan.
Niin jos en ihan väärin muista niin kyseessä on Zenonin paradoksi. Käsittääkseni ongelma syntyy siitä, että tehtävässä sivuutetaan jatkuvuuden käsite ja käsitellään matematiikkaa luonteeltaan vain diskreettinä.
Zenonin paradoksilla on useita muotoja, joista ehkä tunnetuin on se, kun kilpikonna ja kilpajuoksija Akhilleus juoksevat kilpaa. Akhilleus on paljon nopeampi kuin kilpikonna ja siksi kilpikonalle annetaan etumatkaa. Akhilleus ei kuitenkaan koskaan voi saavuttaa kilpikonnaa, koska silloin kun Akhilleus saavuttaa sen pisteen, missä kilpikonna oli alussa on kilpikonna jo edennyt taas jonkin matkaa. Sitten kun Akhilleus saavuttaa taas sen pisteen, missä kilpikonna oli äsken niin kilpikonna on taas mennyt eteenpäin ja siis karkuun Akhilleukselta. Jatkettiinpa tätä kuinka pitkälle tahansa Akhilleus ei koskaan voi saavuttaa kilpikonnaa ja siten Akhilleus ei voi koskaan saavuttaa kilpikonnaa, vaikka hän olisi 100 kertaa nopeampi kuin kilpikonna.
akhilleus on 100 kertaa nopeampi kuin kilpikonna...
oletetaan että kilpikonna liikkuu 1km/h ja akhilleus 100km/h
kilpikonnalle annetaan kilometrin verran etumatkaa ja he lähtevät liikkeelle yhtä aikaa jolloin tunnin kulutta akhilleus on 98km kilpikonnaa edellä...
ja vastaus tuohon alkuperäiseen kysymykseen on että matemaattisessa mielessä nämä kaksi viivaa eivät koskaan kohtaa toisiaan ne vain lähestyvät (se on mahdotonta mutta jos joku tarpeeksi tyhmä niin menee kokeilemaan ja kertoo sitten täälläkin kuinka pitkälle laski ennen kuin älysi etteivät ne kaksi viivaa koskaan saavuta toisiaan)...
ja jos asia ajatellaan niin että kyseessä ovat sormet joiden välimatka aina puolittuu niin myöskään silloin ne eivät kosketa toisiaan sillä yhteys atomitasolla muodostuu vain fuusiossa...
mutta jos asia ajatellaan maanläheisemmin niin silloin ne koskettavat sillä tarpeeksi lähekkäin olevien kappaleiden atomit vaikuttavat toisiinsa siten että ihminen tuntee kosketuksen vaikkei sitä tosi asiassa ole eikä jossain vaiheessa ihmisen lihasvoima saa sormia enää liikkumaan lähemmäs toisiaan.
toivottavasti tämä valaisi asiaa edes jonkin verran nyt kun en jaksanut enää enempää kirjoittaa.
Niin siis itseasiassa kilpikonna ja Akhilleus molemmat lähestyvät sitä kohtaa, jossa Akhilleus ohittaa kilpikonnan. En ymmärrä mitä ihmeellistä siinä on?
Mieleen tuli seuraavanlainen ajatus:
Kuvitellaan taas tämä kilpikonna ja Akhilleus asetelma, eli kilpikonna saa etumatkaa jonkinverran ja Akhilleus lähtee nopeammin perässä. Olkoot nyt vaikka kilpikonnan nopeus 1 km/h ja Akhilleuksen nopeus 100 000 km/h :). Asetetaanpa sillälailla, että kun Akhilleus saavuttaa kilpikonnan lähtöpisteen, niin molempien nopeus pienenee puolella. Ja kun Akhilleus saapuu siihen pisteeseen, missä kilpikonna oli, kun nopeudet puolitettiin, niin molempien nopeudet tippuvat 1/3 kertaisiksi verrattunia alkuperäisiin.
Yleisesti: Kun Akhilleus saapuu siihen pisteeseen, missä kilpikonna oli, kun nopeudet pudotettiin 1/(n-1) kertaiseksi verrattuna alkuperäiseen, niin molempien nopeudet tippuvat 1/n kertaisiksi verrattuna alkuperäisiin.
Nythän tässä käypi sillälailla, että kilpikonna ja Akhilleus matkaavat ikuisuuksia, eikä Akhilleus koskaan saavuta kilpikonnaa, vaikka Akhilleuksen nopeus on aina suurempi kuin kilpikonnan.
Että silläviisiin... 8-)
olet siis ymmärtänyt oikein, mutta käytännössä tälläinen puolittelu on mahdotonta;)