ääretön luku

niin, hankala selittää.

en etsi lukujen suhdetta vaan teen luetteloa, jossa lasketaan kaiken maailmankaikkeudessa ilmenevän suhdetta toiseen/toisiin maailmankaikkeudessa ilmenevään/-viin asiaan/asioihin. siis vertaillaan asioita. yksi asioiden vertailu on yksi, toinen vertailu kaksi jne. äärettömään asti. eli lista ei lopu koskaan.

nyt jos lähtisin tekemään listaa, eli esittelemään tätä äärettömäksi katsomaani lukusarjaa, voisin ottaa kohteeksi 1 vaikka tuon sormiesi suhteen varpaisiisi. vertaisin siis sormiasi johonkin muuhun asiaan maailmankaikkeudessa; siis varpaisiisi.

äärettömässä listassani etenen nyt suoraan numeroon 725 septiljoonaa, jossa vertaan yhä sormiasi, mutta tällä kertaa otan niiden pariksi pluto-planeetan punertavan hiekanjyväsen, joka sijaitsee tarkalleen kohdassa x pluton pinnalla.

näin siis vuoro vuorolta vertailen kaikkea mahdollista kaikella tavalla kaikkeen ja lasken yhden vertailun aina yhdeksi tämän äärettömän lukusarjani numeroksi.

kehittäjä-poika kirjoitti:

niin, hankala selittää.

en etsi lukujen suhdetta vaan teen luetteloa, jossa lasketaan kaiken maailmankaikkeudessa ilmenevän suhdetta toiseen/toisiin maailmankaikkeudessa ilmenevään/-viin asiaan/asioihin. siis vertaillaan asioita. yksi asioiden vertailu on yksi, toinen vertailu kaksi jne. äärettömään asti. eli lista ei lopu koskaan.

nyt jos lähtisin tekemään listaa, eli esittelemään tätä äärettömäksi katsomaani lukusarjaa, voisin ottaa kohteeksi 1 vaikka tuon sormiesi suhteen varpaisiisi. vertaisin siis sormiasi johonkin muuhun asiaan maailmankaikkeudessa; siis varpaisiisi.

äärettömässä listassani etenen nyt suoraan numeroon 725 septiljoonaa, jossa vertaan yhä sormiasi, mutta tällä kertaa otan niiden pariksi pluto-planeetan punertavan hiekanjyväsen, joka sijaitsee tarkalleen kohdassa x pluton pinnalla.

näin siis vuoro vuorolta vertailen kaikkea mahdollista kaikella tavalla kaikkeen ja lasken yhden vertailun aina yhdeksi tämän äärettömän lukusarjani numeroksi.

Lue lisää

"Kaikkia tunnettuja" on äärellinen joukko, koska äärettömän joukon kaikkia alkioita ei tunneta. Tunteminen tarkoittaa sitä, että joukon kaikki alkiot on jollain tavalla käyty kerran läpi. Jos alkiota olisi ääretön määrä, läpikäynti ei koskaan loppuisi, eli kaikkia alkioita ei koskaan tultaisi tuntemaan.

Vertailusi tuottaa joukon kaikki kaksittain otetun kombinaatiot, joita äärellisessä joukossa on aina äärellinen määrä.

Kun puhut äärettömästä listasta eli äärettömästä joukosta, kombinaatioiden määrä siinä on tietysti ääretön. Mutta "tunnetuista" ei sitten enää voi puhua, eikä listasi koskaan valmistu.

tai ääretön kirjoitti:

"Kaikkia tunnettuja" on äärellinen joukko, koska äärettömän joukon kaikkia alkioita ei tunneta. Tunteminen tarkoittaa sitä, että joukon kaikki alkiot on jollain tavalla käyty kerran läpi. Jos alkiota olisi ääretön määrä, läpikäynti ei koskaan loppuisi, eli kaikkia alkioita ei koskaan tultaisi tuntemaan.

Vertailusi tuottaa joukon kaikki kaksittain otetun kombinaatiot, joita äärellisessä joukossa on aina äärellinen määrä.

Kun puhut äärettömästä listasta eli äärettömästä joukosta, kombinaatioiden määrä siinä on tietysti ääretön. Mutta "tunnetuista" ei sitten enää voi puhua, eikä listasi koskaan valmistu.

Lue lisää

yritän tarkentaa lisää:

- otan vertailuun kaikki tunnetut ja ihmiselle (vielä) tuntemattomat asiat. mahdolliset ja teoreettiset. siis kaiken, mitä maailmankaikkeudessa on. tämä tosin lienee äärellinen joukko ainakin hetkellä x.

- en rajaa vertailuja pelkkään pareittain vertailuun. voin verrata listassani 165 asiaa kolmeen biljoonaan asiaan jne. jokainen tällainen vertailu on äärettömässä lukusarjassani yksi järjestysluku, joita siis on ääretön määrä.

- voin valita vertailuun fyysisiä, psyykkisiä ym "suotimia": sijainti, aika, mielikuva...

- vertailussani siis jokaista maailmankaikkeuden pienintäkin osasta verrataan ääripäissään ensin jokaiseen muuhun maailmankaikkeuden osaseen yksitellen ja lopulta yhtä aikaa kaikkiin osasiin. ja kaikki vertailut siltä väliltä. ja mukaan myös "suotimet".

mutta olin ymmärtävinäni, että pidät tällaisen äärettömän listan olemassaoloa mahdollisena. kritisoit lähinnä sanaa "tunnettu", joka nyt unohdettakoon. olen siis (en ehkä ensimmäisenä) kehittänyt äärettömän asian, jota voidaan kuvailla ja selittää?

kehittäjä-poika kirjoitti:

yritän tarkentaa lisää:

- otan vertailuun kaikki tunnetut ja ihmiselle (vielä) tuntemattomat asiat. mahdolliset ja teoreettiset. siis kaiken, mitä maailmankaikkeudessa on. tämä tosin lienee äärellinen joukko ainakin hetkellä x.

- en rajaa vertailuja pelkkään pareittain vertailuun. voin verrata listassani 165 asiaa kolmeen biljoonaan asiaan jne. jokainen tällainen vertailu on äärettömässä lukusarjassani yksi järjestysluku, joita siis on ääretön määrä.

- voin valita vertailuun fyysisiä, psyykkisiä ym "suotimia": sijainti, aika, mielikuva...

- vertailussani siis jokaista maailmankaikkeuden pienintäkin osasta verrataan ääripäissään ensin jokaiseen muuhun maailmankaikkeuden osaseen yksitellen ja lopulta yhtä aikaa kaikkiin osasiin. ja kaikki vertailut siltä väliltä. ja mukaan myös "suotimet".

mutta olin ymmärtävinäni, että pidät tällaisen äärettömän listan olemassaoloa mahdollisena. kritisoit lähinnä sanaa "tunnettu", joka nyt unohdettakoon. olen siis (en ehkä ensimmäisenä) kehittänyt äärettömän asian, jota voidaan kuvailla ja selittää?

Lue lisää

>- en rajaa vertailuja pelkkään pareittain vertailuun. voin verrata listassani 165 asiaa kolmeen biljoonaan asiaan >jne. jokainen tällainen vertailu on äärettömässä lukusarjassani yksi järjestysluku, joita siis on ääretön määrä.

Ulosantisi on nyt todella epäselvää. Oletat ensin, että tietyllä hetkellä kaikkea on äärellinen määrä, mutta puhut jostain äärettömästä lukusarjastasi.

Jos vaikka A olisi joukko, joka sisältää kaiken ja on siis äärellinen, kuten oletat, niin kaikkien asioiden keskinäinen vertaaminen voidaan ajatella A:n osajoukkona. Eli poimitaan A:sta jokin mielivaltainen määrä alkioita vertailuun ja merkitään tätä joukkoa kirjaimella B. Nyt nämä kaikki A:n mahdolliset osajoukot B muodostavat A:n potenssijoukon P(A) = {B | B on A:n osajoukko} ja koska A on äärellinen, niin myös sen potenssijoukko on äärellinen, joten kaikkia vertailuja on äärellinen määrä.

tai ääretön kirjoitti:

"Kaikkia tunnettuja" on äärellinen joukko, koska äärettömän joukon kaikkia alkioita ei tunneta. Tunteminen tarkoittaa sitä, että joukon kaikki alkiot on jollain tavalla käyty kerran läpi. Jos alkiota olisi ääretön määrä, läpikäynti ei koskaan loppuisi, eli kaikkia alkioita ei koskaan tultaisi tuntemaan.

Vertailusi tuottaa joukon kaikki kaksittain otetun kombinaatiot, joita äärellisessä joukossa on aina äärellinen määrä.

Kun puhut äärettömästä listasta eli äärettömästä joukosta, kombinaatioiden määrä siinä on tietysti ääretön. Mutta "tunnetuista" ei sitten enää voi puhua, eikä listasi koskaan valmistu.

Lue lisää

"Jos alkiota olisi ääretön määrä, läpikäynti ei koskaan loppuisi--"

Ellei sitten koko ajan nopeutettaisi tarkastelua sopivasti: Käytetään ensimmäisen alkion tarkasteluun sekunti, toisen tarkasteluun puoli sekuntia, kolmanteen neljäsosasekunti ja niin edelleen. Koko joukko on näin tarkasteltu kahdessa sekunnissa.

Jos pitäydytään matematiikassa, ei ole tarvetta määritellä käsitettä "tunnettu" ainakaan niin kuin nimimerkki Tai ääretön tekee.

jukepuke kirjoitti:

>- en rajaa vertailuja pelkkään pareittain vertailuun. voin verrata listassani 165 asiaa kolmeen biljoonaan asiaan >jne. jokainen tällainen vertailu on äärettömässä lukusarjassani yksi järjestysluku, joita siis on ääretön määrä.

Ulosantisi on nyt todella epäselvää. Oletat ensin, että tietyllä hetkellä kaikkea on äärellinen määrä, mutta puhut jostain äärettömästä lukusarjastasi.

Jos vaikka A olisi joukko, joka sisältää kaiken ja on siis äärellinen, kuten oletat, niin kaikkien asioiden keskinäinen vertaaminen voidaan ajatella A:n osajoukkona. Eli poimitaan A:sta jokin mielivaltainen määrä alkioita vertailuun ja merkitään tätä joukkoa kirjaimella B. Nyt nämä kaikki A:n mahdolliset osajoukot B muodostavat A:n potenssijoukon P(A) = {B | B on A:n osajoukko} ja koska A on äärellinen, niin myös sen potenssijoukko on äärellinen, joten kaikkia vertailuja on äärellinen määrä.

Lue lisää

"Oletat ensin, että tietyllä hetkellä kaikkea on äärellinen määrä."

"...sisältää kaiken ja on siis äärellinen, kuten oletat..."

Miten niin oletan vertailuyksiköiltä äärellisyyttä, kuten noissa lainauksissani sanot?

Kuten sanoin, vertailut tehdään myös ajassa. Ja jos aika on ääretön, myös lukusarjani ollee ääretön. Onko aika ääretön? Toisaalta vertailut tehdään myös tilassa. Onko tila rajallinen? Ja kun otetaan vertailuun vielä persoona. Miten persoonan voi rajata äärelliseksi?

Eli lyhyt teoriani tiivistettynä:
- Kun kaikkea verrataan kaikkeen ja kaikin mahdollisin tavoin, vertailujen määrä on ääretön.

Näinkö?

...muuudda, jos jo pelkkä aika on ääretön, miksi enää hakea jollain kehittelemälläni vertailujärjestelmällä äärettömälle fysikaalisuuta?

kehittäjä-poika kirjoitti:

"Oletat ensin, että tietyllä hetkellä kaikkea on äärellinen määrä."

"...sisältää kaiken ja on siis äärellinen, kuten oletat..."

Miten niin oletan vertailuyksiköiltä äärellisyyttä, kuten noissa lainauksissani sanot?

Kuten sanoin, vertailut tehdään myös ajassa. Ja jos aika on ääretön, myös lukusarjani ollee ääretön. Onko aika ääretön? Toisaalta vertailut tehdään myös tilassa. Onko tila rajallinen? Ja kun otetaan vertailuun vielä persoona. Miten persoonan voi rajata äärelliseksi?

Eli lyhyt teoriani tiivistettynä:
- Kun kaikkea verrataan kaikkeen ja kaikin mahdollisin tavoin, vertailujen määrä on ääretön.

Näinkö?

...muuudda, jos jo pelkkä aika on ääretön, miksi enää hakea jollain kehittelemälläni vertailujärjestelmällä äärettömälle fysikaalisuuta?

Lue lisää

Jos verrattavia asioita on äärellinen määrä ja vertailuoperioita myös, niin kyllä vertailut pystytään suorittamaan äärellisessä ajassa.

jukepuke kirjoitti:

Jos verrattavia asioita on äärellinen määrä ja vertailuoperioita myös, niin kyllä vertailut pystytään suorittamaan äärellisessä ajassa.

Onko aika ääretön?
Onko maailmankaikkeuden tila rajaton?

Näihin jos vastaat, että "ei", niin olen ehkä metsässä. Mutta toisaalta haluaisin pohdintaa myös siitä, ovatko mailmankaikkeuden kaikkien yksikköjen kaikki mahdolliset vertailu- ja lähestymistavat todella rajallinen asia. Jäämmekö lukuun "ääretön-1 potenssiin ääretön-1"?

Mutta nyt tämä on jo aika kaukana matematiikasta!

kehittäjä-poika kirjoitti:

Onko aika ääretön?
Onko maailmankaikkeuden tila rajaton?

Näihin jos vastaat, että "ei", niin olen ehkä metsässä. Mutta toisaalta haluaisin pohdintaa myös siitä, ovatko mailmankaikkeuden kaikkien yksikköjen kaikki mahdolliset vertailu- ja lähestymistavat todella rajallinen asia. Jäämmekö lukuun "ääretön-1 potenssiin ääretön-1"?

Mutta nyt tämä on jo aika kaukana matematiikasta!

Lue lisää

Taisin ymmärtää väärin. Luulin, että rajoituit tarkastelemaan noita vertailuja jollakin kiinteällä ajanhetkellä.

Avaruus kai on ääretön, mutta tietyllä hetkellä aina äärellinen. Mitenkähän tuossa sitten käy. Lisääntyykö energia samalla kun avaruus laajenee? Tarkemmin ajatellen noita vertailutapojakin varmaan on kyllä ääretön määrä ainakin teoriassa. Hankala ainakin ajatella, että joskus oltaisiin mitattu jokin asia kaikilla mahdollisilla tavoilla.

Nyt taidan ymmärtää, mitä olet hakenut takaa :) (ainakin osittain).

jukepuke kirjoitti:

Taisin ymmärtää väärin. Luulin, että rajoituit tarkastelemaan noita vertailuja jollakin kiinteällä ajanhetkellä.

Avaruus kai on ääretön, mutta tietyllä hetkellä aina äärellinen. Mitenkähän tuossa sitten käy. Lisääntyykö energia samalla kun avaruus laajenee? Tarkemmin ajatellen noita vertailutapojakin varmaan on kyllä ääretön määrä ainakin teoriassa. Hankala ainakin ajatella, että joskus oltaisiin mitattu jokin asia kaikilla mahdollisilla tavoilla.

Nyt taidan ymmärtää, mitä olet hakenut takaa :) (ainakin osittain).

Lue lisää

Energia maailmankaikkeudessa ei lisäänny eikä vähene. se vain muuttaa muotoaan.

- tarkoitan 'asialla' mitä tahansa todellisuuden/todellisuuksien osasta. en jätä mitään sen ulkopuolelle.

- hyviä esimerkkejä laitoit. jos sormiesimerkkisi on osoitus äärettömyydestä, se ei mielestäni kuitenkaan kata kaikkea olemassa olevaa. itse kehittelen ristiintaulukointia, jossa kaikkea suhteutetaan kaikkeen, myös jokaista tuon sormen siirron aikana kohdattavaa ääretöntä (?) määrää paikkoja johonkin muuhun. mielestäni oma äärettömäni on kattavampi kuin tuon sormen siirron kohtaama paikkojen äärettömyys. äärettömyyksillä lienee siis eroja?

- luithan myöhemmätkin keskustelut sarjassa?

kehittäjä-poika kirjoitti:

- tarkoitan 'asialla' mitä tahansa todellisuuden/todellisuuksien osasta. en jätä mitään sen ulkopuolelle.

- hyviä esimerkkejä laitoit. jos sormiesimerkkisi on osoitus äärettömyydestä, se ei mielestäni kuitenkaan kata kaikkea olemassa olevaa. itse kehittelen ristiintaulukointia, jossa kaikkea suhteutetaan kaikkeen, myös jokaista tuon sormen siirron aikana kohdattavaa ääretöntä (?) määrää paikkoja johonkin muuhun. mielestäni oma äärettömäni on kattavampi kuin tuon sormen siirron kohtaama paikkojen äärettömyys. äärettömyyksillä lienee siis eroja?

- luithan myöhemmätkin keskustelut sarjassa?

Lue lisää

"tarkoitan 'asialla' mitä tahansa todellisuuden/todellisuuksien osasta"

Keskustelussa ei oikein ole mieltä. Matematiikassa on käsite Dedekindin äärettömyys, joka vastaa hyvinkin pitkälti intuitiivista äärettömyyttä. Siinä joukko on ääretön jos siltä on bijektio sen aidolle osajoukolle. Tämän käsitteen käyttö epätäsmällisessä kontekstissa ei ole oikein kantavaa.

"äärettömyyksillä lienee siis eroja?"

Näin voidaan sanoa. Yleisesti puhutaan joukkojen mahtavuuksista, joita on siis erilaisia. Ja äärettömyys on siis yleensä joukon ominaisuus.

Ääretöntä käytetään käsitteenä ainakin kahdessa eri yhteydessä. Äärettömällä luvulla tarkoitetaan rajatonta lukua, siis lukua, joka kasvaa rajattomasti. Toisaalta äärettömyydellä tarkoitetaan joukon ominaisuutta ja joskus tarkennetaan tällöin puhumalla Dedekindin äärettömästä.

Jos rajoitutaan joukkoihin, niin äärettömyyksiä on tietyssä mielessä rajattoman paljon ja puhutaan kardinaaliluvuista. Luonnollisten lukujen joukko on ns. numeroituvasti ääretön ja sitä kutsutaan mahtavuudeksi aleph nolla. Reaalilukujen joukko on sitten isompi ja sen mahtavuus on aleph yksi (reaalilukujen joukko ei ole numeroituva). Voidaankin generoida yleisesti rajaton määrä toinen toistaan mahtavampia joukkoja ja voidaan tällöin puhua äärettömästä määrästä eri tavalla äärettömiä joukkoja.

Ääretön ei ole aivan ongelmaton käsite matematiikkojenkaan keskuudessa. Joskus puhutaan myös potentiaalisesta äärettömästä (se rajatta kasvava luku) ja aktuaalisesta äärettömästä (joukko, joka on ääretön) tarkemman rajanvedon saamiseksi. Jos puhuu äärettömästä on käsite yleensä tarkennettava, ellei se ole konstekstista selvä.

faddaslkj kirjoitti:

"tarkoitan 'asialla' mitä tahansa todellisuuden/todellisuuksien osasta"

Keskustelussa ei oikein ole mieltä. Matematiikassa on käsite Dedekindin äärettömyys, joka vastaa hyvinkin pitkälti intuitiivista äärettömyyttä. Siinä joukko on ääretön jos siltä on bijektio sen aidolle osajoukolle. Tämän käsitteen käyttö epätäsmällisessä kontekstissa ei ole oikein kantavaa.

"äärettömyyksillä lienee siis eroja?"

Näin voidaan sanoa. Yleisesti puhutaan joukkojen mahtavuuksista, joita on siis erilaisia. Ja äärettömyys on siis yleensä joukon ominaisuus.

Ääretöntä käytetään käsitteenä ainakin kahdessa eri yhteydessä. Äärettömällä luvulla tarkoitetaan rajatonta lukua, siis lukua, joka kasvaa rajattomasti. Toisaalta äärettömyydellä tarkoitetaan joukon ominaisuutta ja joskus tarkennetaan tällöin puhumalla Dedekindin äärettömästä.

Jos rajoitutaan joukkoihin, niin äärettömyyksiä on tietyssä mielessä rajattoman paljon ja puhutaan kardinaaliluvuista. Luonnollisten lukujen joukko on ns. numeroituvasti ääretön ja sitä kutsutaan mahtavuudeksi aleph nolla. Reaalilukujen joukko on sitten isompi ja sen mahtavuus on aleph yksi (reaalilukujen joukko ei ole numeroituva). Voidaankin generoida yleisesti rajaton määrä toinen toistaan mahtavampia joukkoja ja voidaan tällöin puhua äärettömästä määrästä eri tavalla äärettömiä joukkoja.

Ääretön ei ole aivan ongelmaton käsite matematiikkojenkaan keskuudessa. Joskus puhutaan myös potentiaalisesta äärettömästä (se rajatta kasvava luku) ja aktuaalisesta äärettömästä (joukko, joka on ääretön) tarkemman rajanvedon saamiseksi. Jos puhuu äärettömästä on käsite yleensä tarkennettava, ellei se ole konstekstista selvä.

Lue lisää

...voiko tuota enää paremmin kiteyttää! Hyvältä kuullosti.

faddaslkj kirjoitti:

"tarkoitan 'asialla' mitä tahansa todellisuuden/todellisuuksien osasta"

Keskustelussa ei oikein ole mieltä. Matematiikassa on käsite Dedekindin äärettömyys, joka vastaa hyvinkin pitkälti intuitiivista äärettömyyttä. Siinä joukko on ääretön jos siltä on bijektio sen aidolle osajoukolle. Tämän käsitteen käyttö epätäsmällisessä kontekstissa ei ole oikein kantavaa.

"äärettömyyksillä lienee siis eroja?"

Näin voidaan sanoa. Yleisesti puhutaan joukkojen mahtavuuksista, joita on siis erilaisia. Ja äärettömyys on siis yleensä joukon ominaisuus.

Ääretöntä käytetään käsitteenä ainakin kahdessa eri yhteydessä. Äärettömällä luvulla tarkoitetaan rajatonta lukua, siis lukua, joka kasvaa rajattomasti. Toisaalta äärettömyydellä tarkoitetaan joukon ominaisuutta ja joskus tarkennetaan tällöin puhumalla Dedekindin äärettömästä.

Jos rajoitutaan joukkoihin, niin äärettömyyksiä on tietyssä mielessä rajattoman paljon ja puhutaan kardinaaliluvuista. Luonnollisten lukujen joukko on ns. numeroituvasti ääretön ja sitä kutsutaan mahtavuudeksi aleph nolla. Reaalilukujen joukko on sitten isompi ja sen mahtavuus on aleph yksi (reaalilukujen joukko ei ole numeroituva). Voidaankin generoida yleisesti rajaton määrä toinen toistaan mahtavampia joukkoja ja voidaan tällöin puhua äärettömästä määrästä eri tavalla äärettömiä joukkoja.

Ääretön ei ole aivan ongelmaton käsite matematiikkojenkaan keskuudessa. Joskus puhutaan myös potentiaalisesta äärettömästä (se rajatta kasvava luku) ja aktuaalisesta äärettömästä (joukko, joka on ääretön) tarkemman rajanvedon saamiseksi. Jos puhuu äärettömästä on käsite yleensä tarkennettava, ellei se ole konstekstista selvä.

Lue lisää

"Ääretön ei ole aivan ongelmaton käsite matematiikkojenkaan keskuudessa. Joskus puhutaan myös potentiaalisesta äärettömästä -- ja aktuaalisesta äärettömästä --"

En sanoisi, että tämä on mikään ongelma sinänsä. On vain kyse kahdesta eri asiasta, joista puhuttaessa käytetään sanaa ääretön eri merkityksissä.

Samuli kirjoitti:

"Ääretön ei ole aivan ongelmaton käsite matematiikkojenkaan keskuudessa. Joskus puhutaan myös potentiaalisesta äärettömästä -- ja aktuaalisesta äärettömästä --"

En sanoisi, että tämä on mikään ongelma sinänsä. On vain kyse kahdesta eri asiasta, joista puhuttaessa käytetään sanaa ääretön eri merkityksissä.

Lue lisää

"En sanoisi, että tämä on mikään ongelma sinänsä. On vain kyse kahdesta eri asiasta, joista puhuttaessa käytetään sanaa ääretön eri merkityksissä."

Asia ei ole aivan näin yksioikoinen. Matemaatikot ovat jakaantuneet leireihin sen mukaan miten ääretön halutaan tulkita. Esim. konstruktivistit ja platonistit lähestyvät asiaa hieman eri tavalla.

faddaslkj kirjoitti:

"tarkoitan 'asialla' mitä tahansa todellisuuden/todellisuuksien osasta"

Keskustelussa ei oikein ole mieltä. Matematiikassa on käsite Dedekindin äärettömyys, joka vastaa hyvinkin pitkälti intuitiivista äärettömyyttä. Siinä joukko on ääretön jos siltä on bijektio sen aidolle osajoukolle. Tämän käsitteen käyttö epätäsmällisessä kontekstissa ei ole oikein kantavaa.

"äärettömyyksillä lienee siis eroja?"

Näin voidaan sanoa. Yleisesti puhutaan joukkojen mahtavuuksista, joita on siis erilaisia. Ja äärettömyys on siis yleensä joukon ominaisuus.

Ääretöntä käytetään käsitteenä ainakin kahdessa eri yhteydessä. Äärettömällä luvulla tarkoitetaan rajatonta lukua, siis lukua, joka kasvaa rajattomasti. Toisaalta äärettömyydellä tarkoitetaan joukon ominaisuutta ja joskus tarkennetaan tällöin puhumalla Dedekindin äärettömästä.

Jos rajoitutaan joukkoihin, niin äärettömyyksiä on tietyssä mielessä rajattoman paljon ja puhutaan kardinaaliluvuista. Luonnollisten lukujen joukko on ns. numeroituvasti ääretön ja sitä kutsutaan mahtavuudeksi aleph nolla. Reaalilukujen joukko on sitten isompi ja sen mahtavuus on aleph yksi (reaalilukujen joukko ei ole numeroituva). Voidaankin generoida yleisesti rajaton määrä toinen toistaan mahtavampia joukkoja ja voidaan tällöin puhua äärettömästä määrästä eri tavalla äärettömiä joukkoja.

Ääretön ei ole aivan ongelmaton käsite matematiikkojenkaan keskuudessa. Joskus puhutaan myös potentiaalisesta äärettömästä (se rajatta kasvava luku) ja aktuaalisesta äärettömästä (joukko, joka on ääretön) tarkemman rajanvedon saamiseksi. Jos puhuu äärettömästä on käsite yleensä tarkennettava, ellei se ole konstekstista selvä.

Lue lisää

no, johan aukesi käsitteistön ovia. nyt uuden valon löytänyt kehittäjä-poika vetäytyy alkuasetelmiinsa ja alkaa miettiä asiaansa uudestaan. eikun kädestä pitäen kiitoksia nimimerkille vielä!

laf kirjoitti:

"En sanoisi, että tämä on mikään ongelma sinänsä. On vain kyse kahdesta eri asiasta, joista puhuttaessa käytetään sanaa ääretön eri merkityksissä."

Asia ei ole aivan näin yksioikoinen. Matemaatikot ovat jakaantuneet leireihin sen mukaan miten ääretön halutaan tulkita. Esim. konstruktivistit ja platonistit lähestyvät asiaa hieman eri tavalla.

Lue lisää

"Matemaatikot ovat jakaantuneet leireihin sen mukaan miten ääretön halutaan tulkita."

Tämä leireihin jakautunut osa on kooltaan mitätön verrattuna siihen matemaatikkojen joukkoon, joita koko potentiaalinen vs. aktuaalinen ääretön -kiista ei kiinnosta. Äärettömän kanssa tulee oikein hyvin toimeen miettimättä koskaan, onko aktuaalinen ääretön mahdollinen käsite.

Samuli kirjoitti:

"Matemaatikot ovat jakaantuneet leireihin sen mukaan miten ääretön halutaan tulkita."

Tämä leireihin jakautunut osa on kooltaan mitätön verrattuna siihen matemaatikkojen joukkoon, joita koko potentiaalinen vs. aktuaalinen ääretön -kiista ei kiinnosta. Äärettömän kanssa tulee oikein hyvin toimeen miettimättä koskaan, onko aktuaalinen ääretön mahdollinen käsite.

Lue lisää

"..leireihin jakautunut osa on kooltaan mitätön.."

Siksi sanoinkin, että käsite ei ole *aivan ongelmaton*. Tämähän tarkoittaa vain, että asiasta käydään keskustelua matemaatikkojenkin keskuudessa (ja filosofien) eikä aivan täyttä konsesusta ole saavutettu. Asiaan perehtyvän on hyvä tiedostaa tämäkin omaa kuvaa luodessaan ja tarkoitus olikin mainita asian filosofinen luonne.

En ymmärrä mitä ajat inttämiselläsi takaa, joten jätän tämän keskustelun tähän.

afd kirjoitti:

"..leireihin jakautunut osa on kooltaan mitätön.."

Siksi sanoinkin, että käsite ei ole *aivan ongelmaton*. Tämähän tarkoittaa vain, että asiasta käydään keskustelua matemaatikkojenkin keskuudessa (ja filosofien) eikä aivan täyttä konsesusta ole saavutettu. Asiaan perehtyvän on hyvä tiedostaa tämäkin omaa kuvaa luodessaan ja tarkoitus olikin mainita asian filosofinen luonne.

En ymmärrä mitä ajat inttämiselläsi takaa, joten jätän tämän keskustelun tähän.

Lue lisää

"En ymmärrä mitä ajat inttämiselläsi takaa, --"

Meillä on nyt tässä selvästi paha näkökulmaero. Sinä haluat --- aivan oikein --- huomauttaa, että on matemaatikkoja, jotka haluavat pitää potentiaalisen ja aktuaalisen äärettömän erillään. Minun korvissani tämä kuitenkin kuulostaa jotakuinkin samalta kuin kehotus vakavasti harkita evoluution ja ID-teorian välillä, vain sillä perusteella että muutama biologikin on hairahtunut jälkimmäiseen. Siis liioittelulta.

Olen käsittänyt, että viestiketjun perustaja halusi käsitellä asiaa nimenomaan matematiikan näkökulmasta. Ehkä jopa oppia jotain. Uutta oppivalle en haluaisi esittellä alan pohjamutien filosofista keskustelua, jolla ei sinänsä ole tekemistä varsinaisen matematiikan harrastamisen kanssa. Käytännön matemaattisessa probleemassa ei nimittäin tarvitse pohtia, onko kyseessä potentiaalinen vaiko aktuaalinen ääretön.

"-- asiasta käydään keskustelua matemaatikkojenkin keskuudessa -- eikä aivan täyttä konsesusta ole saavutettu. Asiaan perehtyvän on hyvä tiedostaa tämäkin omaa kuvaa luodessaan -- "

Asiasta käytävän keskustelun määrä on nähdäkseni mitätön. Jos henkilö haluaa oppia nimenomaan matematiikkaa, hänen kannattaa jättää tämä aktuaalinen vs. potentiaalinen -keskustelu täysin huomiotta. Hänen kannattaa keskittyä olennaiseen: mitä ääretön matemaattisessa mielessä tarkoittaa.

Matemaattis-filosofisia juttuja voi miettiä sitten myöhemmin.

Pahoittelen, jos kuulostan epäkohteliaalta. Käsittelemme oikeastaan mielipidekysymystä ("Miten kannattaa opettaa?"), joten asiassa ei onneksi taida olla lopullista totuutta.

Samuli kirjoitti:

"En ymmärrä mitä ajat inttämiselläsi takaa, --"

Meillä on nyt tässä selvästi paha näkökulmaero. Sinä haluat --- aivan oikein --- huomauttaa, että on matemaatikkoja, jotka haluavat pitää potentiaalisen ja aktuaalisen äärettömän erillään. Minun korvissani tämä kuitenkin kuulostaa jotakuinkin samalta kuin kehotus vakavasti harkita evoluution ja ID-teorian välillä, vain sillä perusteella että muutama biologikin on hairahtunut jälkimmäiseen. Siis liioittelulta.

Olen käsittänyt, että viestiketjun perustaja halusi käsitellä asiaa nimenomaan matematiikan näkökulmasta. Ehkä jopa oppia jotain. Uutta oppivalle en haluaisi esittellä alan pohjamutien filosofista keskustelua, jolla ei sinänsä ole tekemistä varsinaisen matematiikan harrastamisen kanssa. Käytännön matemaattisessa probleemassa ei nimittäin tarvitse pohtia, onko kyseessä potentiaalinen vaiko aktuaalinen ääretön.

"-- asiasta käydään keskustelua matemaatikkojenkin keskuudessa -- eikä aivan täyttä konsesusta ole saavutettu. Asiaan perehtyvän on hyvä tiedostaa tämäkin omaa kuvaa luodessaan -- "

Asiasta käytävän keskustelun määrä on nähdäkseni mitätön. Jos henkilö haluaa oppia nimenomaan matematiikkaa, hänen kannattaa jättää tämä aktuaalinen vs. potentiaalinen -keskustelu täysin huomiotta. Hänen kannattaa keskittyä olennaiseen: mitä ääretön matemaattisessa mielessä tarkoittaa.

Matemaattis-filosofisia juttuja voi miettiä sitten myöhemmin.

Pahoittelen, jos kuulostan epäkohteliaalta. Käsittelemme oikeastaan mielipidekysymystä ("Miten kannattaa opettaa?"), joten asiassa ei onneksi taida olla lopullista totuutta.

Lue lisää

Näkemysero kyllä, mutta uskoakseni hieman eri asiasta. Olet varmaan tietoinen, että lukua ääretön ei ole olemassa? Eli lim_{n\to \infty} on harhaanjohtava notaatio. Ääretön on matemaattisesti joukon ominaisuus eikä luvun. Luonnollisten lukujen joukko on ääretön, mutta yksikään luonnollinen luku ei ole ääretön. Kuitenkin ääretöntä käytetään juuri raja-arvojen yhteydessä hieman epätarkasti. Kun oikea matematiikka osallani aikonaan alkoi, niin ääretön vain tipahti pois muusta käytöstä kuin joukon ominaisuutena.

Otetaan esimerkkinä lim_{n \to \infty} 1/(2^n). Lienee kaikille selvä, että raja-arvo on nolla. Oikeasti (matemaattisessa mielessä) kuitenkin pitäisi merkitä "jokaiselle reaaliluvulle e > 0 on olemassa sellainen luonnollinen luku N, että kaikilla n > N pätee 1/(2^n) < e". (Miten esittäisit saman asian joukkojen mahtavuuksia käyttämällä?)

Jotta eron tajuaa on syytä tiedostaa käsitteiden erilaisuus. Minun mielestäni eron esittäminen on asian tajuamisen kannalta oleellista. Kun äärettömän käsitettä lähtee hieman pintaa syvemmältä tutkimaan, niin asiaan törmää jokseenkin väistämättä. (Tosin täytyy sanoa, että työskentelen itse logiikan parissa ja tällä suunnalla ero voi olla enemmän "tapetilla" kuin muualla.)

aljfds kirjoitti:

Näkemysero kyllä, mutta uskoakseni hieman eri asiasta. Olet varmaan tietoinen, että lukua ääretön ei ole olemassa? Eli lim_{n\to \infty} on harhaanjohtava notaatio. Ääretön on matemaattisesti joukon ominaisuus eikä luvun. Luonnollisten lukujen joukko on ääretön, mutta yksikään luonnollinen luku ei ole ääretön. Kuitenkin ääretöntä käytetään juuri raja-arvojen yhteydessä hieman epätarkasti. Kun oikea matematiikka osallani aikonaan alkoi, niin ääretön vain tipahti pois muusta käytöstä kuin joukon ominaisuutena.

Otetaan esimerkkinä lim_{n \to \infty} 1/(2^n). Lienee kaikille selvä, että raja-arvo on nolla. Oikeasti (matemaattisessa mielessä) kuitenkin pitäisi merkitä "jokaiselle reaaliluvulle e > 0 on olemassa sellainen luonnollinen luku N, että kaikilla n > N pätee 1/(2^n) < e". (Miten esittäisit saman asian joukkojen mahtavuuksia käyttämällä?)

Jotta eron tajuaa on syytä tiedostaa käsitteiden erilaisuus. Minun mielestäni eron esittäminen on asian tajuamisen kannalta oleellista. Kun äärettömän käsitettä lähtee hieman pintaa syvemmältä tutkimaan, niin asiaan törmää jokseenkin väistämättä. (Tosin täytyy sanoa, että työskentelen itse logiikan parissa ja tällä suunnalla ero voi olla enemmän "tapetilla" kuin muualla.)

Lue lisää

"Eli lim_{n\to \infty} on harhaanjohtava notaatio."

Mutta eihän n \to \infty perinteisesti tarkoitakaan "n lähestyy ääretöntä" vaan "n kasvaa rajatta". Tässä ei siis ole ääretöntä ensinkään.

"(Miten esittäisit saman asian joukkojen mahtavuuksia käyttämällä?)"

Ei siihen ole tarvetta. Esittämässäsi raja-arvossa ei esiinny ääretöntä muuten kuin symbolina lyhennysmerkinnässä.

Korostan vielä: Kun puhutaan reaaliarvoisen funktion raja-arvosta muuttujan kasvaessa rajatta, ei ole ollenkaan kyse ääretön-käsitteestä. Muuttuja ei lähesty mitään ääretöntä (tietenkään, koska sellaista ei lukuna ole olemassa) eikä mitään muutakaan, vaan kasvaa vain. Ei siis ole tarpeen kehitellä uutta ääretön-käsitettä näitä tapauksia varten.

En ollut ajatellut, että niissä äärettömyyskiistoissa olisi taustalla tuo yo. merkintä. Luulin, että ongelmat perustuvat seuraavaan: jotkut eivät hyväksy esimerkiksi sarjan \sum_1^2 1/2^n summan olevan olemassa (tai ainakaan 1) sillä perustelulla, että "ääretöntä prosessia" ei voi viedä loppuun saakka. Saatan olla väärässä.

Samuli kirjoitti:

"Eli lim_{n\to \infty} on harhaanjohtava notaatio."

Mutta eihän n \to \infty perinteisesti tarkoitakaan "n lähestyy ääretöntä" vaan "n kasvaa rajatta". Tässä ei siis ole ääretöntä ensinkään.

"(Miten esittäisit saman asian joukkojen mahtavuuksia käyttämällä?)"

Ei siihen ole tarvetta. Esittämässäsi raja-arvossa ei esiinny ääretöntä muuten kuin symbolina lyhennysmerkinnässä.

Korostan vielä: Kun puhutaan reaaliarvoisen funktion raja-arvosta muuttujan kasvaessa rajatta, ei ole ollenkaan kyse ääretön-käsitteestä. Muuttuja ei lähesty mitään ääretöntä (tietenkään, koska sellaista ei lukuna ole olemassa) eikä mitään muutakaan, vaan kasvaa vain. Ei siis ole tarpeen kehitellä uutta ääretön-käsitettä näitä tapauksia varten.

En ollut ajatellut, että niissä äärettömyyskiistoissa olisi taustalla tuo yo. merkintä. Luulin, että ongelmat perustuvat seuraavaan: jotkut eivät hyväksy esimerkiksi sarjan \sum_1^2 1/2^n summan olevan olemassa (tai ainakaan 1) sillä perustelulla, että "ääretöntä prosessia" ei voi viedä loppuun saakka. Saatan olla väärässä.

Lue lisää

"Mutta eihän n \to \infty perinteisesti tarkoitakaan "n lähestyy ääretöntä" vaan "n kasvaa rajatta". Tässä ei siis ole ääretöntä ensinkään. "

Koita kysyä asiaa joltain lukio-opiskelijalta ja yllätyt. (oletan alkup. kysyjän lukion tiedoilla liikkuvaksi)

"En ollut ajatellut, että niissä äärettömyyskiistoissa olisi taustalla tuo yo. merkintä."

Ei olekaan, kirjoittelin hätäisesti tod. epäselvää, ajattelin yhtä ja kirjoitin toista. Kyse on juurikin mainitsemastasi "prosessi valmistuu/ei valmistu" jahkauksesta.

Mutta harvapa tajuaa, että se n ei lähesty mitään ääretöntä ja mielestäni koko notaatiolla pitäisi heittää vesilintua. Puhekielessä äärettömällä ymmärretään juuri "suurinta kokonaislukua" tai muuta epämääräistä/virheellistä.

aölj kirjoitti:

"Mutta eihän n \to \infty perinteisesti tarkoitakaan "n lähestyy ääretöntä" vaan "n kasvaa rajatta". Tässä ei siis ole ääretöntä ensinkään. "

Koita kysyä asiaa joltain lukio-opiskelijalta ja yllätyt. (oletan alkup. kysyjän lukion tiedoilla liikkuvaksi)

"En ollut ajatellut, että niissä äärettömyyskiistoissa olisi taustalla tuo yo. merkintä."

Ei olekaan, kirjoittelin hätäisesti tod. epäselvää, ajattelin yhtä ja kirjoitin toista. Kyse on juurikin mainitsemastasi "prosessi valmistuu/ei valmistu" jahkauksesta.

Mutta harvapa tajuaa, että se n ei lähesty mitään ääretöntä ja mielestäni koko notaatiolla pitäisi heittää vesilintua. Puhekielessä äärettömällä ymmärretään juuri "suurinta kokonaislukua" tai muuta epämääräistä/virheellistä.

Lue lisää

"Koita kysyä asiaa joltain lukio-opiskelijalta ja yllätyt."

Joo, näinhän se on. Vain valveutuneimmat oppilaat hoksaavat, että asioilla on jotain eroa. Lukion kontekstissa tämä ei yleensä ole ongelma mutta myöhemmissä matematiikan opinnoissa se toki voi ollakin haitta.

"-- mielestäni koko notaatiolla pitäisi heittää vesilintua."

Jossain tapauksissa reaalilukujoukkoa täydennetään äärettömyyspisteellä, jolloin merkintä kuitenkin on ihan paikallaan. Hataran muistikuvan mukaan projektiivisessa geometriassakin tehdään näin. Mutta ehkä tuossa tavanomaisessa reaaliarvoisten funktioiden tapauksessa jokin korvaava merkintä olisi tosiaan parempi. Vaikkapa x ja nuoli ylös ilman mitään äärettömyysmerkkejä rajatonta kasvua merkitsemässä?

Samuli kirjoitti:

"Eli lim_{n\to \infty} on harhaanjohtava notaatio."

Mutta eihän n \to \infty perinteisesti tarkoitakaan "n lähestyy ääretöntä" vaan "n kasvaa rajatta". Tässä ei siis ole ääretöntä ensinkään.

"(Miten esittäisit saman asian joukkojen mahtavuuksia käyttämällä?)"

Ei siihen ole tarvetta. Esittämässäsi raja-arvossa ei esiinny ääretöntä muuten kuin symbolina lyhennysmerkinnässä.

Korostan vielä: Kun puhutaan reaaliarvoisen funktion raja-arvosta muuttujan kasvaessa rajatta, ei ole ollenkaan kyse ääretön-käsitteestä. Muuttuja ei lähesty mitään ääretöntä (tietenkään, koska sellaista ei lukuna ole olemassa) eikä mitään muutakaan, vaan kasvaa vain. Ei siis ole tarpeen kehitellä uutta ääretön-käsitettä näitä tapauksia varten.

En ollut ajatellut, että niissä äärettömyyskiistoissa olisi taustalla tuo yo. merkintä. Luulin, että ongelmat perustuvat seuraavaan: jotkut eivät hyväksy esimerkiksi sarjan \sum_1^2 1/2^n summan olevan olemassa (tai ainakaan 1) sillä perustelulla, että "ääretöntä prosessia" ei voi viedä loppuun saakka. Saatan olla väärässä.

Lue lisää

>>jotkut eivät hyväksy esimerkiksi sarjan \sum_1^2 1/2^n summan olevan olemassa (tai ainakaan 1) sillä >>perustelulla, että "ääretöntä prosessia" ei voi viedä loppuun saakka. Saatan olla väärässä.

Väittävätköhän samat ihmiset sitten, että esim. Cauchy-jonoilla ei ole olemassa raja-arvoa? Äärettömät summathan monesti määritellään juuri summajonona S_n...

aölj kirjoitti:

"Mutta eihän n \to \infty perinteisesti tarkoitakaan "n lähestyy ääretöntä" vaan "n kasvaa rajatta". Tässä ei siis ole ääretöntä ensinkään. "

Koita kysyä asiaa joltain lukio-opiskelijalta ja yllätyt. (oletan alkup. kysyjän lukion tiedoilla liikkuvaksi)

"En ollut ajatellut, että niissä äärettömyyskiistoissa olisi taustalla tuo yo. merkintä."

Ei olekaan, kirjoittelin hätäisesti tod. epäselvää, ajattelin yhtä ja kirjoitin toista. Kyse on juurikin mainitsemastasi "prosessi valmistuu/ei valmistu" jahkauksesta.

Mutta harvapa tajuaa, että se n ei lähesty mitään ääretöntä ja mielestäni koko notaatiolla pitäisi heittää vesilintua. Puhekielessä äärettömällä ymmärretään juuri "suurinta kokonaislukua" tai muuta epämääräistä/virheellistä.

Lue lisää

"Ei olekaan, kirjoittelin hätäisesti tod. epäselvää, ajattelin yhtä ja kirjoitin toista. Kyse on juurikin mainitsemastasi "prosessi valmistuu/ei valmistu" jahkauksesta. "

Korjaan, nuo ovat sama asia. Eli pysynkin kannassani.

Paitsi jos miten katsoisi ollessaan lankakerien joukkoon kadonneen viittasankarin humahdus lentäessä ohi kuutamon, joka ilmestyessään huoneen nurkkaan katsoo moppia punaisessa varressa, eikä ritallisestikaan ajatellut Seppo Heponseppo kyennyt sekoittamaan hiivaa kyllin hienovaraisesti, jonka vuoksi tieteen saralla oleva kulminaatiopiste hajoaa eksponentiaalisen totuuskäyrän halkoessa kuumaa keittoa. Kuulemma?