Kompleksiluvut

Kompleksiluvut ovat tosiaan muotoa x yi, missä x ja y ovat reaalilukuja ja i^2=-1. Kompleksiluvut ovat siitä mukavia, että toisin kuin reaaliluvut, kompleksilukujen kunta on algebrallisesti suljettu.

Kuitenkaan kompleksilukuja ei kehitetty tätä varten. Ne kehitettiin alun perin sen takia, että kolmannen asteen ratkaisukaavassa näytti tulevan negatiivisten lukujen neliö- ja kuutiojuuria. Näillä yhtälöillä oli myös reaaliratkaisuja, joita kaavat eivät näyttäneet. Kuitenkin voitiin kuvitella, että on olemassa luku i, sopia miten negatiivisista luvuista otetaan juuria, ja kolmannen asteen ratkaisukaava saatiin toimimaan.

Kompleksiluvut ovat käteliä esimerkiksi monissa fysiikan ilmiöissä. Muistaakseni ainakinvaihtovirtalaskut perustuvat paljolti kompleksilukuihin.

Lisäksi kompleksiluvut helpottavat huomattavasti joitakin reaalilukujen laskuja. Olkoon tehtävänä integroida funktio (sin x)/x yli epänegatiivisen reaaliakselin. Pelkästään reaalilukuja käyttäen ei integraalia ole mitenkään helppo laskea, en tiedä, onko se ollenkaan mahdollista. Sen sijaan käyttämällä kompleksilukuihin perustuvaa residylaskentaa saadaan integraalin arvoksi pii/2.

Siis kompleksiluvut ovat laajennus reaaliluvuista ja aikoinaan kehitetty lähinnä siihen ongelmaan, ettei kaikille toisen tai korkeamman asteen yhtälöille ole saatu ratkaisua. Siis x^2 1=0 ei ole antanut ratkaisua ja siitä on otettu tämä x^2=-1 eli i^2=-1. Miksi x ja y ovat reaalisia johtuu siitä, että tarvitaan vain tämä imaginääriyksikkö i, joka sitten kertoo luvun merktyksen. Voit piirtää itsellesi koordinaatiston, jossa x-akseli on reaaliakseli (lukusuora) ja y-akseli imaginaariakseli. Kompleksiluvuilla laskeminen on aika samanlaista kuin reaaliluvuilla, kunhan muistat että i^2=-1. Katsoppa tarkemmin vaikka wikipediasta.

Suuri idea on myös tässä: imaginääriluvut ovat ortogonaalisia reaalilukuihin nähden. Eli, jos a on reaalinen ja bi on imaginäärinen, ei voi olla sellaista reaalilukua C, jolla a = c*bi.

Että mitäkö tämä tarkoittaa. Ajatellaan kaksiulotteista tasoa. Jos sillä on vektori (nuoli), joka osoittaa oikealle, miten saat sen osoittamaan ylöspäin? Ei ole sellaista reaalista kerrointa, jolla voisit pidentää tai lyhentää oikealle osoittavaa vektoria, niin että se osoittaisi ylöspäin.

Oletataan sellainen kerroin, i. Kertominen i:llä vastaa kiertoa 90 astetta vastapäivään. Nyt sellainen kerroin on määritelty, joten jos on vektori oikealle, kertomalla sen i:llä se osoittaa ylöspäin.

Mitä sitten tarkoittaa kaksi kertaa kiertäminen oikealle? Ajattelepas taas sitä tasoa ja vektoria, sanotaan vaikka R. R osoittaa oikealle, i*R osoittaa ylös, ja i*i*R osoittaa vasemmalle, eli miinus-oikealle. Siis, i*i*R = -R, joten i^2 = -1, ja i = (-1)^½.