Vapaa pudotus

Miksi et ottanut huomioon, että painovoimakiihtyvyys ei ole vakio koko matkalla. Esim 100m matkalla efekti on vielä mitäton, mutta kun kyse on kuusta, tarkkoihin laskuihin kilometriluokassa kannattaa muistaa, että potentiaali energiassa g ei ole vakio, vaan korkeuden funktio.

teoreetikko kirjoitti:

Miksi et ottanut huomioon, että painovoimakiihtyvyys ei ole vakio koko matkalla. Esim 100m matkalla efekti on vielä mitäton, mutta kun kyse on kuusta, tarkkoihin laskuihin kilometriluokassa kannattaa muistaa, että potentiaali energiassa g ei ole vakio, vaan korkeuden funktio.

Lue lisää

Esittämästäsi asiasta oli huomautettu. Joskin siinäkin on "virhettä". Lainatakseni omaa tekstiäni:

> r = kuun säde, taikka r h, jos
> halutaan olla tarkkoja

Oletetaan, että lukija ymmärtää sen, että eletään yksinkertaistetussa matemaattisessa epätodellisuudessa.

---

Ja onhan tuossakin "virhettä", koska esitetty g muuttuu korkeuden funktiona. Jos käyttää arvoa r h, niin sekin on vain vastaus alkupisteen potentiaalienergialle. Näin ollen tarkka kaava olisi:

Ek = Ep Ex

jossa
Ex = massojen lähenemisestä johtuva energian muutos sen johdosta, että g muuttuu etäisyyden funktiona. Korkealla g on pienempi ja kasvaa lähestyttäessä pallon pintaa.

Tarkempi voisi esim. ottaa g:ksi korkeuden puolen välin g, joka olisi:

g = G*M/r

jossa
r = r0 h/2
r0 = kuun säde

Mutta ei sekään taida ihan tarkka olla. Ei jaksa ruveta arvioimaan virheen suuruutta. Sinähän voisit tarkistaa asian? Koko kaavan voi kirjoittaa jotenkin yleisempään muotoon, jossa on huomioitu korkeuden muutos potentiaalienergia muuttumisen aikana kineettiseksi. Esitetty kaava pätee siis vain jos h

Esitin asiani epäselvästi, tarkoitin lähinnä turvallisen tuntuista pomppua tai hyppuä josta ei olisi odotettavissa luunmurtumia.
Apollon kuumiehet pomppivat melko pieniä loikkia kuupätkissä, toisaalta ei luulisi sellaisenkaan menon olevan järkevää kaukana kotoa, jos vaikka kompuroisi.

Tarkoittaako painovoima 1680m/s suurinta nopeutta jonka kappale saavuttaa pudotessaan Kuuhun, jos se tapahtuu pelkästään Kuun vetovoiman vaikutuksesta.

Jonsson. kirjoitti:

Esittämästäsi asiasta oli huomautettu. Joskin siinäkin on "virhettä". Lainatakseni omaa tekstiäni:

> r = kuun säde, taikka r h, jos
> halutaan olla tarkkoja

Oletetaan, että lukija ymmärtää sen, että eletään yksinkertaistetussa matemaattisessa epätodellisuudessa.

---

Ja onhan tuossakin "virhettä", koska esitetty g muuttuu korkeuden funktiona. Jos käyttää arvoa r h, niin sekin on vain vastaus alkupisteen potentiaalienergialle. Näin ollen tarkka kaava olisi:

Ek = Ep Ex

jossa
Ex = massojen lähenemisestä johtuva energian muutos sen johdosta, että g muuttuu etäisyyden funktiona. Korkealla g on pienempi ja kasvaa lähestyttäessä pallon pintaa.

Tarkempi voisi esim. ottaa g:ksi korkeuden puolen välin g, joka olisi:

g = G*M/r

jossa
r = r0 h/2
r0 = kuun säde

Mutta ei sekään taida ihan tarkka olla. Ei jaksa ruveta arvioimaan virheen suuruutta. Sinähän voisit tarkistaa asian? Koko kaavan voi kirjoittaa jotenkin yleisempään muotoon, jossa on huomioitu korkeuden muutos potentiaalienergia muuttumisen aikana kineettiseksi. Esitetty kaava pätee siis vain jos h

Lue lisää

Integroimalla saat "tarkan" potentiaalin. Pitää vain kirjoittaa voima etäisyyden funktiona (tutulla Newtonin lailla)ja potentiaali on sitten int(F)dr.

kuun kamaraan kirjoitti:

Esitin asiani epäselvästi, tarkoitin lähinnä turvallisen tuntuista pomppua tai hyppuä josta ei olisi odotettavissa luunmurtumia.
Apollon kuumiehet pomppivat melko pieniä loikkia kuupätkissä, toisaalta ei luulisi sellaisenkaan menon olevan järkevää kaukana kotoa, jos vaikka kompuroisi.

Tarkoittaako painovoima 1680m/s suurinta nopeutta jonka kappale saavuttaa pudotessaan Kuuhun, jos se tapahtuu pelkästään Kuun vetovoiman vaikutuksesta.

Lue lisää

3m. maassa on jo vaikeaa, kuussa ei ole painovoimaa kuin kuudesosa, joten 7-8m/s hidastuvuus on juuri ja juuri mahdollinen. Maassa on nopeuden hidastuvuuden lisäksi painovoima.

rantanplan1 kirjoitti:

Integroimalla saat "tarkan" potentiaalin. Pitää vain kirjoittaa voima etäisyyden funktiona (tutulla Newtonin lailla)ja potentiaali on sitten int(F)dr.

Niin ja jottei väärinkäsityksiä pääse käymään, niin tuo "tarkka" tarkoitti sitten sitä ideaalista palloplaneettaa. Paljon merkittävämpää tuossa on massajakauman epähomogeenisuudet noilla matkoilla. Kuussa on suuria kraatereita jne.

Jonsson. kirjoitti:

Esittämästäsi asiasta oli huomautettu. Joskin siinäkin on "virhettä". Lainatakseni omaa tekstiäni:

> r = kuun säde, taikka r h, jos
> halutaan olla tarkkoja

Oletetaan, että lukija ymmärtää sen, että eletään yksinkertaistetussa matemaattisessa epätodellisuudessa.

---

Ja onhan tuossakin "virhettä", koska esitetty g muuttuu korkeuden funktiona. Jos käyttää arvoa r h, niin sekin on vain vastaus alkupisteen potentiaalienergialle. Näin ollen tarkka kaava olisi:

Ek = Ep Ex

jossa
Ex = massojen lähenemisestä johtuva energian muutos sen johdosta, että g muuttuu etäisyyden funktiona. Korkealla g on pienempi ja kasvaa lähestyttäessä pallon pintaa.

Tarkempi voisi esim. ottaa g:ksi korkeuden puolen välin g, joka olisi:

g = G*M/r

jossa
r = r0 h/2
r0 = kuun säde

Mutta ei sekään taida ihan tarkka olla. Ei jaksa ruveta arvioimaan virheen suuruutta. Sinähän voisit tarkistaa asian? Koko kaavan voi kirjoittaa jotenkin yleisempään muotoon, jossa on huomioitu korkeuden muutos potentiaalienergia muuttumisen aikana kineettiseksi. Esitetty kaava pätee siis vain jos h

Lue lisää

Tuli mieleeni, että vieläkö olet sitä mieltä, että onton pallon sisällä ei ole painotonta? Viimeksi käyttämäni osoitusmenetelmä ei miellyttänyt, ja peräänkuulutit viipaleintegrointimenetelmää.

Joutessani johdin joskus siihen tarvittavan integraalikaavan, mutta se oli sen verran ikävän näköinen, että analyyttinen ratkaisu voisi olla liian iso urakka. Voin tarjoilla sitä approksimoivan C koodin(mikäli tämän foorumin rivinvaihdot eivät sotke koodia), tai voit käyttää mieleistäsi ohjelmaa, jos haluat tutkia sen arvoja numeerisesti. Jos kiinnostaa, niin voin jossain vaiheessa laittaa sen kaavan tänne.

rantanplan1 kirjoitti:

Tuli mieleeni, että vieläkö olet sitä mieltä, että onton pallon sisällä ei ole painotonta? Viimeksi käyttämäni osoitusmenetelmä ei miellyttänyt, ja peräänkuulutit viipaleintegrointimenetelmää.

Joutessani johdin joskus siihen tarvittavan integraalikaavan, mutta se oli sen verran ikävän näköinen, että analyyttinen ratkaisu voisi olla liian iso urakka. Voin tarjoilla sitä approksimoivan C koodin(mikäli tämän foorumin rivinvaihdot eivät sotke koodia), tai voit käyttää mieleistäsi ohjelmaa, jos haluat tutkia sen arvoja numeerisesti. Jos kiinnostaa, niin voin jossain vaiheessa laittaa sen kaavan tänne.

Lue lisää

Pallokuoren ulkopuolella tilanne on sama kuin pallon ulkopuolella, koska palloon voi aina lisätä tai poistaa homogeenisen kuoren sen painopisteen siitä muuttumatta.

Graaffisesti tutkin asiaa ja ainakin suora ratkaisu olisi eri mieltä (siis kalottien sopimattomuus muualla kuin keskipisteessä). Mutta vannomatta paras. Koska eihän ole välttämättömyys että vastinkuoret ovat kalotteja ja silti niiden voimat kumoutuisivat... En ole todellakaan 100% varma asiasta. Varsinkaan jos joku muuta väittää.

Jonsson. kirjoitti:

Pallokuoren ulkopuolella tilanne on sama kuin pallon ulkopuolella, koska palloon voi aina lisätä tai poistaa homogeenisen kuoren sen painopisteen siitä muuttumatta.

Graaffisesti tutkin asiaa ja ainakin suora ratkaisu olisi eri mieltä (siis kalottien sopimattomuus muualla kuin keskipisteessä). Mutta vannomatta paras. Koska eihän ole välttämättömyys että vastinkuoret ovat kalotteja ja silti niiden voimat kumoutuisivat... En ole todellakaan 100% varma asiasta. Varsinkaan jos joku muuta väittää.

Lue lisää

Tarkastellaan yksikköpallokuorta, jonkaa keskipiste on origossa. Valitaan jokin tarkastelupiste pallon sisältä ja käännetään koordinaatisto siten, että piste osuu x-akselille. Olkoon etäisyys origosta h.

Jaetaan pallon kuori renkaiksi, joiden keskipiste on x-akselilla. Jos tiedämme x ja y koordinaatit, kun z on nolla (valitaan y>0), niin saamme renkaan kehän ja differentiaalisen pinta-alan määrättyä:

Tilanne voidaan nyt piirtää x-y tasoon. y=sqrt(1-x²) ja renkaan kehä on 2pii*y. Renkaan differentiaalinen pinta kulkee z=0 tasossa ympyränkaarta pitkin, jolloin renkaan paksuus ei ole dx, vaan sqrt(dy² dx²) (pythagoraan lauseella). Lavennetaan dy² dx²:lla ja otetaan yhteinen tekijä dx² ulos juuresta. Saadaan sqrt(1 (dx/dy)²)

eli renkaan differentiaalinen pinta-ala matkalla dx on nyt kehä kertaa paksuus
dA= 2*pii*sqrt(1-x²)*sqrt(1 (dy/dx)²).

Tuo dy/dx ja sen neliö voidaan laskea, kun y oli tiedossa. Tulee (dy/dx) = x²/(1-x²) ja sen voi sijoittaa edellä olevaan kaavaan.

(tässä vaiheessa voi jo arvata, että paperilla integrointi voisi osoittautua vaikeaksi)

Tällaisen renkaan aiheuttama vetovoima x-akselilla olevalle kappaleelle voidaan laskea, jos tiedetään sekä renkaan kehän etäisyys L ja etäisyyden ja x-akselin välinen kulma. Piirtämällä x-y tasoon jonkin renkaan etäisyys L ja sen kulma a, nähdään, että L saadaan jälleen pythagoraan lauseesta.
L = sqrt((x-h)² y²) ja tan(a)=y/(x-h) ja arkustangentilla saadaan a ulos.

Kehällä oleva massapisteen aiheuttama voima x suuntaan on verrannollinen cos(a)han. (Symmetrian vuoksi muun suuntaiset voimat kumoutuu, kulma on sama x-akselin ympäri kierrettynä ja massapisteiden määrä on verrannollinen renkaan pinta-alaan) cos(a) supistuu vielä muotoon:
1/sqrt(1 (1 x²)/(x-h)²).

Tällä hieman tylsistyttävällä johdolla ollaan siis saatu, että differentiaalisen renkaan aiheuttama voima x-suuntaan on yhteensä seuraava:

F = int(m*dM/L²) =
2Pii*m*int[cos(a)*y*sqrt(1 (dy/dx)²)/L²]dx

ja nuo sijoitettavat lausekkeet x:n funktiona näkyi yllä... Jos tuon lausekehirviön integraalin sisältä piirtää kuvaajaksi, niin niin täytyy huomioida, että se pysyy positiivisella puolella koko ajan. Pitää erikseen muistaa huolehtia siitä, että integroitaessa h:sta eteenpäin pitää merkitä tuo lauseke toisen merkkisenä kuin ennen h:ta.

Laitan myöhemmin C koodin, joka osaa laskeskella tuota numeerisesti hyvin yksinkertaisella tavalla. C kääntäjä löytyy?

rantanplan1 kirjoitti:

Tarkastellaan yksikköpallokuorta, jonkaa keskipiste on origossa. Valitaan jokin tarkastelupiste pallon sisältä ja käännetään koordinaatisto siten, että piste osuu x-akselille. Olkoon etäisyys origosta h.

Jaetaan pallon kuori renkaiksi, joiden keskipiste on x-akselilla. Jos tiedämme x ja y koordinaatit, kun z on nolla (valitaan y>0), niin saamme renkaan kehän ja differentiaalisen pinta-alan määrättyä:

Tilanne voidaan nyt piirtää x-y tasoon. y=sqrt(1-x²) ja renkaan kehä on 2pii*y. Renkaan differentiaalinen pinta kulkee z=0 tasossa ympyränkaarta pitkin, jolloin renkaan paksuus ei ole dx, vaan sqrt(dy² dx²) (pythagoraan lauseella). Lavennetaan dy² dx²:lla ja otetaan yhteinen tekijä dx² ulos juuresta. Saadaan sqrt(1 (dx/dy)²)

eli renkaan differentiaalinen pinta-ala matkalla dx on nyt kehä kertaa paksuus
dA= 2*pii*sqrt(1-x²)*sqrt(1 (dy/dx)²).

Tuo dy/dx ja sen neliö voidaan laskea, kun y oli tiedossa. Tulee (dy/dx) = x²/(1-x²) ja sen voi sijoittaa edellä olevaan kaavaan.

(tässä vaiheessa voi jo arvata, että paperilla integrointi voisi osoittautua vaikeaksi)

Tällaisen renkaan aiheuttama vetovoima x-akselilla olevalle kappaleelle voidaan laskea, jos tiedetään sekä renkaan kehän etäisyys L ja etäisyyden ja x-akselin välinen kulma. Piirtämällä x-y tasoon jonkin renkaan etäisyys L ja sen kulma a, nähdään, että L saadaan jälleen pythagoraan lauseesta.
L = sqrt((x-h)² y²) ja tan(a)=y/(x-h) ja arkustangentilla saadaan a ulos.

Kehällä oleva massapisteen aiheuttama voima x suuntaan on verrannollinen cos(a)han. (Symmetrian vuoksi muun suuntaiset voimat kumoutuu, kulma on sama x-akselin ympäri kierrettynä ja massapisteiden määrä on verrannollinen renkaan pinta-alaan) cos(a) supistuu vielä muotoon:
1/sqrt(1 (1 x²)/(x-h)²).

Tällä hieman tylsistyttävällä johdolla ollaan siis saatu, että differentiaalisen renkaan aiheuttama voima x-suuntaan on yhteensä seuraava:

F = int(m*dM/L²) =
2Pii*m*int[cos(a)*y*sqrt(1 (dy/dx)²)/L²]dx

ja nuo sijoitettavat lausekkeet x:n funktiona näkyi yllä... Jos tuon lausekehirviön integraalin sisältä piirtää kuvaajaksi, niin niin täytyy huomioida, että se pysyy positiivisella puolella koko ajan. Pitää erikseen muistaa huolehtia siitä, että integroitaessa h:sta eteenpäin pitää merkitä tuo lauseke toisen merkkisenä kuin ennen h:ta.

Laitan myöhemmin C koodin, joka osaa laskeskella tuota numeerisesti hyvin yksinkertaisella tavalla. C kääntäjä löytyy?

Lue lisää

edellisessä oli pari painovirhettä. Piti olla (dy/dx)² ja dx puuttui jostain kohtaa. Lopputulos pitäisi olla oikein;

tässä primitiivisin menetelmä, joka on graafisesti helppo ymmärtää dx*f(x) viipaleina eli kuvaaja on jaettu palkkeihin ja niiden pinta-alat summattu:

#include
#include
#include
#define pi 3.14159265358979

using namespace std;

long double f(long double x,long double xo);


int main()
{
long double sum,x,step,h,k=0;
step=1e-8;
x=-1 1e-8; //integroitirajan alkupiste
h=0.9; //tähän voi asettaa massapisteen paikan välillä [-1,1]
sum=0;

/*lasketaan integraalit*/

for(int i=0; i1.0||xh){
p=-p;
}
sum=p*step sum;
x=x step;
if(k

rantanplan1 kirjoitti:

edellisessä oli pari painovirhettä. Piti olla (dy/dx)² ja dx puuttui jostain kohtaa. Lopputulos pitäisi olla oikein;

tässä primitiivisin menetelmä, joka on graafisesti helppo ymmärtää dx*f(x) viipaleina eli kuvaaja on jaettu palkkeihin ja niiden pinta-alat summattu:

#include
#include
#include
#define pi 3.14159265358979

using namespace std;

long double f(long double x,long double xo);


int main()
{
long double sum,x,step,h,k=0;
step=1e-8;
x=-1 1e-8; //integroitirajan alkupiste
h=0.9; //tähän voi asettaa massapisteen paikan välillä [-1,1]
sum=0;

/*lasketaan integraalit*/

for(int i=0; i1.0||xh){
p=-p;
}
sum=p*step sum;
x=x step;
if(k

Lue lisää

Muutin pari kohtaa. Tosin kannattaa muokata mieleisekseen itse.

#include
#include
#include
#include


using namespace std;

long double f(long double x,long double h);


int main()
{
long double sum,x,step,h,k=0;
step=1.0e-9;
x=-1.0 1.0e-13; //integroitirajan alkupiste
h=0.2; //tässä voit valita massapisteen paikan välillä [0,1[
sum=0.0;
/*lasketaan integraalit*/

for(int i=0; i1.0||x0.02){
l=0;      //tätä pitää muuttaa integrointirajan mukaan
cout

Maapallolla riippuu erittäin paljon mihin putoaa. Veteen voi pudota ehkä 50m:stä turvallisesti, mutta kovalle kivimaalle tai hiekkatielle tuskin voi 5m:stä hypätä. Kuussa vastaa 5m:ä 30m

eli käytännössä
1:6:teen.
Poikkeuksia:
Hyppäät korkeutta maapallolla 2m, mutta kuussa hyppäät vain 10m:ä.