integraali

"luonnollisesti voisi sanoa, että ehdokas
olisi 0 ,kun x on =< 0 ja x kun x>0, mutta tämä ei taas ole enää derivoituva nollassa"

Pikemminkin c_1 kun x0.

"Siis noin niikuin lyhyesti, voiko funktio f olla integroituva, mutta saatu F ei olisi enää derivoituva."

Kyllä, kunhan f ei ole absoluuttisesti jatkuva. Esimerkiksi Cantorin 1/3-joukko ei ole vakiofunktio, mutta sen derivaatta on 0 melkein kaikkialla. Mutta absoluuttisesti jatkuvalle funktiolle f:[a,b]->R on f'(x) olemassa melkein kaikilla a

Määrätty integraali välillä [a,b] on kuvaus "välillä [a,b] integroituvien funktioiden joukolta" reaaliluvuille, ts. funktionaali. Antiderivaatta eli määrämätön integraali taasen ei ole ainakaan perusmielessään funktio, koska esimerkiksi nollafunktion antiderivaatta voi olla mikä tahansa vakiofunktio. Määrätyllä ja määräämättömällä integraalilla ei ole suoraan määritelmästä mitään tekemistä toistensa kanssa, vaikka nimet ja merkinnät ovat aika yhteneisiä.

Se miksi niillä on samankaltaisen nimet ja merkinnät selittää tietenkin integraalilaskennan päälause:

Olkoon f:[a,b] -> R jatkuva funktio. Tällöin
1) Funktio G:[a,b] -> R määritelty kaavalla
G(x) = "määrätty integraali f:stä välillä [a,x]" on derivoituva välillä [a,b] ja G'(x) = f(x) ja
2) Jos F on funktion f eräs integraalifunktio, niin
"määrätty integraali f:stä välillä [a,b]" = F(b) - F(a)

Integraalilaskennan päälause siis oikeuttaa siis hieman harhaanjohtavat merkinnät ja nimitykset.

Varsinaiseen kysymykseesi, eli integraalilaskennan päälausetta voidaan parantaa vielä:
Olkoon f:[a,b] -> R integroituva (pätee myös Lebesguen mielessä) funktio. Tällöin kertymäfunktio G:[a,b] -> R
G(x) = "määrätty integraali f:sta välillä [a,x]"
on jatkuva ja jos funktio f on jatkuva pisteessä x', niin kertymäfunktio G on differentioituva pisteessä x'.

Eli esimerkkifunktiosi f on nyt esimerkki tilanteessa, jossa integroituvan funktion epäjatkuvuuskohdassa kertymäfunktio ei ole derivoituva. Toisaalta funktio f, joka saa arvokseen 0 kaikkialla paitsi origossa ja f(0) = 1, on selvästi integroituva välillä [-1,1] ja sen kertymäfunktio "G(x) = 0 kaikilla x" on derivoituva myös funktion f epäjatkuvuuskohdassa.

Siis integroituvan funktion kertymäfunktion ei tarvitse olla derivoituva, kuten totesit, mutta se on jatkuva koko integroimisvälillä sekä derivoituva f:n jatkuvuuspisteissä. Ja kertymäfunktiolla ei ole suoranaisesti mitään tekemistä antiderivaatan kanssa, lukuunottamatta tuota integraalilaskennan päälauseen antamaan yhteyttä.