Kolmion kolmas sivu

Kokeile tätä:

a² = b² c² - 2bc cosA

b ja c ovat ne tuntemasi sivut, ja A niiden välinen kulma.

Pythagoran lause???

Olkoon tunnetut sivut a ja b, ja puuttuva sivu c. a ja b välinen kulma A.

Pilko kolmio kahdeksi suorakulmaiseksi kolmioksi. Siten, että kannaksi tulee b, jaa kolmio korkeusjanan kohdalta kahtia. Toisen kolmion hypotenuusa on a, jolloin vastainen kateetti a*sin A ja viereinen kateetti a*cos A. Nyt toisen kolmion hypotenuusa on c ja b:n suuntainen kateetti on b-a*cos A, toinen kateetti on tuo a*sin A. Pythagoraan lausetta käyttämällä saadaan c^2=(b-a*cos A)^2 (a*sin A)^2=b^2-2*a*b*cos A a^2*cos^2 A a^2*sin^2 A=b^2-2ab*cos A a^2(sin^2 A cos^2 A)=b^2-2ab*cos A a^2.
Siis c^2=a^2 b^2-2ab*cos A.
Tuota kaavaa sanotaan kosinilauseeksi. Se on pythagoraan lauseen yleistys.

h kolmion korkeus

jaetaan sivu b kahteen osaan kolmion korkeuden h kohdalta

b=b1 b2

b1=a*cosC
b2=b-b1
h^2=a^2-b1^2

c^2=h^2 b2^2


c^2=a^2-b1^2 b2^2

c^2^=a^2-b1^2 (b-b1)^2

c^2=a^2-b1^2 (b-a*cosC)^2

c^2=a^2-b1^2 b^2-2*a*b*cosC-(a*cocC)^2

c^2=a^2-(a*cosC)^2 b^2-2*a*b*cosC)-(a*cosC)^2

c^2=a^2 b^2-2*a*b*cosC