Kuinka peruskaava osoitetaan:
Jos p on alkuluku ja p|ab, niin p|a tai p|b.
Aritemetiikan peruslausetta ei voi käyttää, jos sillä todistetaan tämä.
Oma yritykseni on: Jos p|b on homma selvä. Oletetaan, että EI p|b. Pitää osoittaa, että p|a.
Nyt b=pk r, missä 0
Jos p on alkuluku ja p|ab, niin p|a tai p|b.
Aritemetiikan peruslausetta ei voi käyttää, jos sillä todistetaan tämä.
Oma yritykseni on: Jos p|b on homma selvä. Oletetaan, että EI p|b. Pitää osoittaa, että p|a.
Nyt b=pk r, missä 0
Vastaukset 21
Vanhimmat
... 'Nyt b=pk r'? Eikö olisi hyödyllisempää kirjoittaa 'Nyt a=pk r, missä 0
Käytin ympyräargumenttia tuossa lopun suluissa. Sun pitää siis löytää toisenlainen kontradiktio.
... induktioargumentti toimii tässä. Eli käytä samoja argumentteja, mutta vältä 'ympyräargumentti' tekemällä koko roskasta alussa induktiivinen:
"Oletetaan, että väite on tosi kaikille lukua ab pienemmille tuloille. (Kun tulo on 1, väite on triviaali.)"
... huomata miksi alkuperäistä taktiikkaasi, eli 'b=pk r', ei voi korjata induktiolla yhtä nätisti... Syy on tapauksessa k=0. Samaa ongelmaa ei synny, jos valitset 'a=pk r'.
syt(a,b) = "a:n ja b:n suurin yhteinen tekijä"
Jos EI p|b, niin syt(p,b) = 1. Siten ykkönen voidaan esittää lukujen p ja b monikertasummana:
1 = mp nb
=> a = a(mp nb) =...
Tuosta varmaan pääset jo eteenpäin. Ei ole vaikea.
Jep tämä on fiksu tapa. Eli seuraa suoraan jakoyhtälöistä.
syt(b,p)=1 On olemassa sellaiset x,y, että bx py=1
Nyt tosiaan a=abx pay eli a=tpx pay=p(tx ay), jollekin t. Eli p|a. Ei se sitten ollutkaan vaikea. Kiitos!
Tuo ei ole fiksu tapa, (ainakaan kokeessa), ellet todista syt-väitettä.
'syt(b,p)=1 On olemassa sellaiset x,y, että bx py=1 '
Miten väite johdetaan? Se todistetaan nimenomaan kuvaamallani tavalla: induktion ja Eukleideen algoritmin yhteispelillä. Yritin johdatella sinua tämän nimenomaisen todistukseen.
Onko sallittua olettaa jokin tulos, joka on lähestulkoon sama kuin todistettava väite? Todistaako se mitään mainitsemisen arvoista? Tämä on vähän kuin sanoisi, että Fermat'n suuren lauseen todistus on tämä:
"Se seuraa Taniyama-Shimura konjektuuran todistuksesta. QED"
... että väite seuraa liiankin helposti syt-väitteestä, jotta sitä voitaisiin kutsua 'todistukseksi'. Jos ei ensin tiedä syt-väitteen lyhyttä todistusta, ei ole mitään asiaa johtaa siitä mitään.
Jos kysyjällä on oikeus olettaa syt-väite todistuksessaan, miksi hän ei voisi saman tien olettaa vain pikkuruisen enemmän:
"Todistus: Väite on tosi, koska tiedämme sen olevan tosi."
Erikoista, ettet vieläkään ole oppinut oikeaa kirjoitusasua: konjektuuri.
http://keskustelu.suomi24.fi/show.fcgi?category=2000000000000020&conference=4000000000000027&posting=22000000030909121#22000000030909121
Moitit palstalla ihmisiä aina välillä laiskuudesta opetella perusasioita, mutta kärsit itse samasta ongelmasta.
... kyllä asian ytimeen: kirjoitusasuhan on tunnetusti syvällisin asia matematiikassa. :)
Siitäkin huolimatta, että edes ammattimatemaatikot eivät usein ole kirjoitusasusta samaa mieltä. Ja siitä huolimatta, että englannin kielessä ei edes tunneta eroa 'konjektuura' ja 'konjektuuri' välillä.
Selvästikin olet nyt todistanut jotain merkittävää. Missä olen moittinut ihmisiä laiskuudesta? Laiska saa olla ihan vapaasti, kunhan on looginen.
... 'konjektuura' ja 'konjektuuri' ovat synonyymejä, tai sitten ne tarkoittavat niin erilaisia asioita, ettei tulkinnasta ole epäselvyyttä. Kirjaimen puuttumisesta en kyllä nipottaisi, jos tulkinta on selvä... ;)
Konjektuura ja konjektuuri ovat eri merkityksellisiä sanoja, josta konjektuuri on se, jota käytetään yleisemmin matematiikassa. Kyllähän kaikki varmasti ymmärtävät mitä tarkoitat, mutta jos halutaan olla tarkkoja, on syytä käyttää muotoa konjektuuri. Asioillahan on vakiintuneet termit, joten miksi muuttaa niitä? Englantiin viittaaminen on turhaa, sillä olemme suomenkielisellä keskustelualueella.
Omasta mielestäni asialla ei juuri ole merkitystä. Luen monesti virheellisiä matematiikan asioita, ja useimmiten onnistun korjaamaan virheet, vaikka niissä olisikin epätarkkuuksia. Itse pyrin kirjoittamaan matematiikka mahdollisimman hyvällä suomen tai englannin kielellä, mutta silti ratkaisuihin jää toisinaan pieniä virheitä. Eipä se elämääni ole juurikaan haitannut.
... tarkoitukseni ei ole tahallisesti muuttaa sanoja, ja mielihyvin käytän sanaa 'konjektuuri'. Jos en muista ulkoa jokaista Suomi24-keskustelussa kerran mainittua pientä asiaa, se annettakoon anteeksi. Esseen kirjoittaminen tästä lienee turhaa.
Kyse ei ole 'perusasiasta matematiikassa', vaan kielikysymyksestä. Virhe oli häviävän pieni. Vaikka tekisin saman virheen tulevaisuudessa, se olisi silti pieni.
.. viittaaminen ei ole turhaa, sillä englanti on matematiikan universaali kieli. Jos englannin kielessä ei synny epäselvyyttä, on ymmärrettävää, että englanniksi opiskellut ihminen mainitsee syyn pikkuvirheelleen.
Jos suomalainen sanoisi vaikkapa Englannissa 'I won my opponent.' , mielestäni ei olisi turhaa jos hän selittäisi virheensä suomeen viittaamalla. En kuvittelisi sanovani hänelle 'Olemme Englannissa, joten suomeen viittaaminen on turhaa.'
Tämä nimenomainen tehtävä lienee siltana aritmetiikan peruslauseen todistamiseen, jolloin Eukleideen algoritmi voidaan olettaa tunnetuksi.
Miksi tehtävä olisi muotoiltu näin, jos tästä ei olisi kyse?
... etteikö Eukleideen algoritmin olettaminen olisi ok, vaan huomautin, että todistettavan väitteen 'liha' on induktion ja Eukleideen algoritmin käytössä.
Väite oli välitön Bezout'n lemman seuraus, jolloin ei ole paikallaan hehkuttaa liikaa sen lainaamisen 'fiksuudella', ellei saman tien pysty todistamaan tätä avainlemmaa. Suora todistus on sekin parempi.
syt(a,p)=1 joss On x,y ax py=1
On x,y ax py=1. c|a,p c|ax py=1 eli c=1, syt(a,p)=1.
syt(a,p)=1. Eukleideen algoritmi, joka on suora sovellus jakoyhtälöstä takaa sen, että On x,y ax py=1 (itse asiassa äärettömästi). MOT.
Tietysti euklideen algoritmi täytyy todistaa ensin, mutta alkuperäisellä kirjoittajalla tämä oli VARMASTIKIN KÄYTÖSSÄ, sillä hän puhui jakoyhtälöiden käytöstä (joihin E.algoritmikin kuuluu).
... tähän asti nimitystä 'Eukleideen algoritmi' ihan synonyyminä. Algoritmin toimivuuteenhan riittää, että jakoyhtälö on oikein määritelty.
Tottakai algoritmin käyttö (ja käänteinen rekonstruktio) antavat käytännössä sopivat x ja y.
Mutta koska 'käänteinen rekonstruktio' on sotkuista esittää muodollisesti, voimme antaa lyhyen olemassaolo-todistuksen, tukeutumatta varsinaiseen 'algoritmiin':
Väite: Alkuluvulle p on olemassa kokonaisluvut x ja y, niin että ax py=1.
Todistus: Otetaan (epätyhjä) joukko S= {ax py | ax py>0} ja olkoon d = ax_0 py_0 joukon S minimijäsen. Kirjoitetaan a=qd r, 0
...kellekään jää epäselväksi, niin a:n ja p:n täytyy tietenkin olla suhteellisia alkulukuja tuossa. Jollei näin ole, niin minimiksi tulee triviaalisti p.
Todistuksessa p:n tilalle oli lipsahtanut tuossa muuten b: "r = a-qd = a(1-qx_0) b(-qy_0)".
Veikkaan kuitenkin, että nimenomaan kyseisen tehtävän todistuksen pointtina on se, että huomaa osata käyttää jo aiemmin todistettua lausetta hyväkseen, jolloin itse todistus on helppo.
Eli harjoituksen motiivina on ollut se, että osaa käyttää aiemmin opittua hyväkseen.
... on opittu myös todistus, eikä pelkkä väite. Muuten silta aritmetiikan peruslauseeseen on hutera. Oppiminen ei ole sitä, että opetellaan merkittävät väitteet ulkoa ja yritetään löytää triviaaleja seurauksia arvaamalla.
Jos tuntee Bezout'n lauseen todistuksen, (vaikkapa edellisestä tehtävästä?) ei kysytyn asian johtaminen tuota mitään ongelmaa, enkä usko että ketjua oltaisiin edes avattu. Kysyjä olisi huomannut, että sen suuntainen taktiikka mitä hän itse yritti jakoyhtälön kanssa oli jo tehty Bezout'n lauseen todistuksessa. Siispä laajennus olisi ollut ilmeinen vaihtoehto.
On joskus järkevää käyttää aiemmin opittua, mutta mielestäni on tärkeämpää ymmärtää todistusideat kuin itse tulokset.
Mielestäni kysytty asia on täsmälleen yhtä vaikea matemaattisesti kuin Bezout'n lause, eikä sitä voida itseisarvoisesti pitää 'helppona'. Matematiikassa pitää suhtautua väitteiden lainaamiseen varauksella: mm. joskus suora todistus on valaisevampi...
Joskus ei ole järkevää soveltaa aiemmin oppimaansa! Ei pidä olla liian tyytyväinen lainaamaan asioita, ellei ensin ymmärrä miksi niin kannattaisi tehdä.
Harjoituksen motiivista en osaa sanoa mitään näkemättä edellisiä tehtäviä. Jos edellinen tehtävä oli 'Todista Bezout'n lause', silloin lainaaminen on ok. Muuten en menisi vannomaan. Jos tehtävä oli yksinään, mielestäni ratkaisussa on oltava Bezout'n lauseen todistus mukana, ellei toisin mainita.