Määritä pienin kokonaisluku n, jolle tulo √n*2*3*4*5*6*7 on kokonaisluku. (s82/8)
Miten pääsette tulokseen? Niitä systeemejä on varmaan riittävästi, siksi olisi mahtavaa jos tiedätte lukion MAA1 kurssin sisällön ja tason suurin piirtein niin ettei vastaus menisi hukkaan... :) Kaikki vastaukset kuitenkin ovat tervettulleita! :D
Miten pääsette tulokseen? Niitä systeemejä on varmaan riittävästi, siksi olisi mahtavaa jos tiedätte lukion MAA1 kurssin sisällön ja tason suurin piirtein niin ettei vastaus menisi hukkaan... :) Kaikki vastaukset kuitenkin ovat tervettulleita! :D
Vastaukset 8
Vanhimmat
vastaus on siis 35, mutta mistä sitä tietää että sqrt 35*n, pienin n mahdollinen on luku itse?
voisin säveltää jotenkin näin:
Pannaan se sisälmys alkulukukehitelmäx:
√n*2^4 * 3^2 * 5 * 7
(eli 4 ja 6 :han hajoo tekijöihin)
Noi parilliset potenssit voidaan ottaa juuren eteen.
Koska 5 ja 7 on alkulukuja niitä ei kyllä voi ottaa eteen joten ne pitää molemmat neliöittää eli sisälmystä kerrotaan 5:llä ja 7:llä joiden tulo on likimain toi 35.
Kuten jo varmaan arvaatkin minulla ei ole hajuakaan k.o. kurssin sisälmyksistä.
√n*2*3*4*5*6*7 =
√n*2*3*2*2*5*2*3*7 =
√n*2*2*2*2*3*3*5*7 =
√n*2^4*3^2*5*7
Neliöjuuren alla oleva tulo muodostuu "termeistä" joista voidaan ottaa neliöjuuri siten että tulos on kokonaisluku:
2^4 sekä 3^2
ja "termeistä" joista ei tule kokonaislukua neliöjuurena:
5, 7
Näinollen pienin kokonaisluku n, jonka avulla tulon neliöjuureksi saadaan kokonaisluku on
5*7 = 35 = n.
(En ole matemaatikko ja lukion käymisestäkin on jo aikaa, joten selitys saattoi olla epämääräinen ja sisältää virheellistä terminologiaa. Toivottavasti kuitenkin ymmärsit idean.)
miten voin olla varma, että juurettava 5*7 (35) täytyy kertoa juuri 35:llä jotta juuresta pääsisimme eroon ja saimmesimme luonnollisen luvun?
esim: sqrt 12*n ? n ei ole 12 vaan 3.
Hmm... mä alan ymmärtää. Siis 35 saadan vain 5:llä ja 7:lla. Molemmat nämä eivät pysty lähtemään pois juuresta, eli pitäis lisätä molemmille sama sielunkaveri: 5 ja 7. OKAY!
Kiitos kaikille!
Neliöjuuri on määritelty kun juurrettava on epänegatiivinen. Kokeillaan pienintä epänegatiivista lukua n=0. Nyt sqrt(0)*2*3*4*5*6*7=0.
...mutta ihan vähän aikaa sitten huomasin, että funktioissa, joissa x ei saa olla negatiivinen, x ei voi olla nollakaan. Kirjan vastauksissa kuvaajan y:n ja x:n 0 kohdalla on pieni valkoinen pallo, mikä kertoo, ettei 0:llaa kosketa! Tämä, minkä selitin itselleni, kun luin netistä, johtuu siitä, että 0 on sekä positiivinen, ETTÄ NEGATIIVINEN luku!
HUOM. Selitys voi olla virheellinen!! Mutta ainakin jonkinlainen, josta voi alkaa tutkia...
Siis 35 on kirjan vastaus, eikä nolla, joka vielä kerran taitaa näyttää toteen, että yllä oleva selitys voisi olla pätevä. :)
Nyt tuntuu, että selitys on väärä, koska lukion Matematiikan taito 1 kirjassa ovat he sisältäneet nollan samantapaisiin funktioihin, kuin Laudatur 1 kirjassa.
Laudatur1 kirjassa lukee: Koska yleisen potenssifunktion määrittelyjoukko on R , kuvaajille x=0 piirretään avoin ympyrä.
Matematiikan taito1 kirjassa taas lukee:
esim. y=x(1/2) määrittelyehto on x=/>0.
Vaikka itse uskoin selitykseen, en näe mitään negatiivisuuden tuntomerkkejä nollassa, ja miten se voisi antaa väärän arvon, koskei se voi sellaisissa tapauksissa. Agh! Kysyn opelta!
Yleinen potenssifunktio f(x) = x^a on toki määritelty vain positiivisilla x-arvoilla, koska muutoin kun a < 0 tulisi ongelmia. Mutta myös kun 0 < a < 1, on f(x):llä derivaatan singulariteetti origossa ja origo on muutenkin määrittelyalueen reunapiste. Riippuu vähän sovelluksesta kannattaako määrittelyjoukoksi ottaa x >= 0 vai x > 0. Raja-arvo f(0) = 0 on toki aina tällöin olemassa. Mutta homma riippuu sovelluksesta, mitään absoluuttista totuutta ei ole olemassa.