3. asteen yhtälö

kun ei saada yhteistä tekijää, pitää arvata 1 juuri ja sitten jakaa kulmassa.. pitkä matematiikka-sarjan analyysi-kirjassa on selitetty ainakin suht. järkevästi

"Miten ihmeessä ratkaistaan kolmannen asteen yhtälö?"

Yhtälö on siis perusmuodossaan:

(1) ax^3 bx^2 cx d = 0

Yhtälölle (1) löytyy yleinen ratkaisukaava, mutta se on sen verran pitkä, että yleensä sitä ei kannata käyttää. Tuo kaava oli ainakin minulla muistaakseni lukion 2. kurssin kirjassa jossain "syventävää"-osiossa.

Käytännössä ratkaisutapa on siis seuraava:

Yhtälöstä pitää joko 'nähdä' yksi ratkaisu tai sellaisen voi koettaa löytää jollakin 'akateemisella arvauksella'.

Hyviä arvauksia ovat (muistaakseni) ainakin vakiotermin ja korkeimman asteen termin kertoimien tulontekijöiden (1 mukaanluettuna) itseisarvojen osamäärät. ;-)


Helpommin sanottuna kannattaa arvailla ratkaisuja
x = A
x = -A
x = D/A
x = -D/A
missä A:n ja D:n paikalle laitetaan a:n ja d:n tulontekijöitä.

Esimerkiksi yhtälölle
x^3 4x^2 7x 6 = 0
löydetään arvaamalla ratkaisu x = -2. Tässä d=6, joten sillä on tulontekijät 2 ja 3 (ja 1), ja a=1, joten sillä vain 1. Arvaus x = -D/A tuotti siis tulosta.

Näin saadulla juurella voidaan jakaa (jakokulmassa, 'tästä nähdään'-metodilla tai ihan miten haluat) alkup. yhtälön polynomi, jolloin jäljelle jää 2. asteen polynomi (-yhtälö), jonka voikin ratkaista sillä tutulla kaavalla.

Esimerkissä siis jaetaan
(x^3 4x^2 7x 6) / (x 2)
mistä saadaan x^2 2x 3. Yhtälöllä x^2 2x 3 = 0 on (kompleksiset) ratkaisut x = -1 - i sqrt(2).

Näin ollen yhtälön x^3 4x^2 7x 6 = 0 kaikki juuret ovat x = {-2, -1 i sqrt(2), -1 - i sqrt(2) }.

Lisähuomautuksena vielä todettakoon, että jos on käytössä graafinen laskin, niin arvauksen 3. asteen yhtälön yhdeksi juureksi voi tehdä helposti sillä.