Miten ihmeessä ratkaistaan kolmannen asteen yhtälö? Siis sellainen jossa on vakio. Kertauskirjasta kattelin, ja siellä se oli ratkaistu jonkun jakokulman avulla, en tajunnu yhtään...
3. asteen yhtälö
kasivitonen
48993
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 4
Vanhimmat
kun ei saada yhteistä tekijää, pitää arvata 1 juuri ja sitten jakaa kulmassa.. pitkä matematiikka-sarjan analyysi-kirjassa on selitetty ainakin suht. järkevästi
Opetetaan jakokulman käyttö hyvin. Maolissa on hyvät ohjeet korkeamman asteen yhtälön juuren "arvaamiseen". Nyrkkisääntönä: yhtälö on aina jaollinen X:n ja löydetyn juuren erotuksella.
"Miten ihmeessä ratkaistaan kolmannen asteen yhtälö?"
Yhtälö on siis perusmuodossaan:
(1) ax^3 bx^2 cx d = 0
Yhtälölle (1) löytyy yleinen ratkaisukaava, mutta se on sen verran pitkä, että yleensä sitä ei kannata käyttää. Tuo kaava oli ainakin minulla muistaakseni lukion 2. kurssin kirjassa jossain "syventävää"-osiossa.
Käytännössä ratkaisutapa on siis seuraava:
Yhtälöstä pitää joko 'nähdä' yksi ratkaisu tai sellaisen voi koettaa löytää jollakin 'akateemisella arvauksella'.
Hyviä arvauksia ovat (muistaakseni) ainakin vakiotermin ja korkeimman asteen termin kertoimien tulontekijöiden (1 mukaanluettuna) itseisarvojen osamäärät. ;-)
Helpommin sanottuna kannattaa arvailla ratkaisuja
x = A
x = -A
x = D/A
x = -D/A
missä A:n ja D:n paikalle laitetaan a:n ja d:n tulontekijöitä.
Esimerkiksi yhtälölle
x^3 4x^2 7x 6 = 0
löydetään arvaamalla ratkaisu x = -2. Tässä d=6, joten sillä on tulontekijät 2 ja 3 (ja 1), ja a=1, joten sillä vain 1. Arvaus x = -D/A tuotti siis tulosta.
Näin saadulla juurella voidaan jakaa (jakokulmassa, 'tästä nähdään'-metodilla tai ihan miten haluat) alkup. yhtälön polynomi, jolloin jäljelle jää 2. asteen polynomi (-yhtälö), jonka voikin ratkaista sillä tutulla kaavalla.
Esimerkissä siis jaetaan
(x^3 4x^2 7x 6) / (x 2)
mistä saadaan x^2 2x 3. Yhtälöllä x^2 2x 3 = 0 on (kompleksiset) ratkaisut x = -1 - i sqrt(2).
Näin ollen yhtälön x^3 4x^2 7x 6 = 0 kaikki juuret ovat x = {-2, -1 i sqrt(2), -1 - i sqrt(2) }.
Lisähuomautuksena vielä todettakoon, että jos on käytössä graafinen laskin, niin arvauksen 3. asteen yhtälön yhdeksi juureksi voi tehdä helposti sillä.
Hahmottelemalla kuvaaja ja haarukoimalla siitä nollakohta. Ei tarvita graafista laskinta. Kolmannen asteen kuvaajan hahmottelee helposti viidessä minuutissa kun laskee pisteitä.