Todistusta vailla

http://nk.oulu.fi/file.php?2995

että helppo yleistää, mutta minä en keksi kuin tällaista soopaa ??

sqrt(5)=sqrt(2)*sqrt(5/2)=a/b

a^2=2*(5/2*b^2) =>a on parillinen , eli a=2c

4c^2=2*(5/2*b^2), eli b^2=2*(2/5*c^2) =>b on parillinen. Sanalliset perustelut siis samat kuin tuossa linkissä

Muotoillaan tuo x^2 = 5. Tehdään vastaoletus, että x on rationaaliluku, eli on x=m/n, jossa m ja n ovat kokonaislukuja. Oletetaan lisäksi, että m/n on valmiiksi supistettu, eli niillä ei ykköstä suurempia yhteisiä tekijöitä.

m^2 / n^2 = 5
m^2 = 5n^2 -- m^2 on jaollinen viidellä, joten myös m:n alkutekijöissä täytyy olla 5. Merkitään m=5k
(5k)^2 = 5n^2
25k^2 = 5n^2
5k^2 = n^2 -- Ja myös n^2 ja n ovat jaollisia viidellä.

Koska molemmat olivat jaollisia vitosella niin m/n supistuu, joka on ristiriidassa sen kanssa, että m ja n ei ole ykköstä suurempia yhteisiä tekijöitä. Siis sqrt(5) on irrationaaliluku.

Ps. Olen myös lukio-opiskelija ;) Muotoilkoon paremmin ne jotka osaavat.

Olkoon n positiivinen kokonaisluku, joka ei ole minkään kokonaisluvun neliö.
Väitetään, ettei se tällöin ole myöskään minkään rationaaliluvun neliö.

Teemme vastaoletuksen, että n = (a/b)^2 ts. sqrt(n)=a/b, missä a ja b ovat positiivisia kokonaislukuja.

Yleisyyttä rajoittamatta voidaan olettaa, että syt(a,b)=1.

Eukleideen (laajennetusta) algoritmista seuraa, että on olemassa sellaiset kokonaisluvut c ja d, että ca db=1 ts. ac=1-db

Nyt
n=a^2/b^2
nb^2 = a^2 ||*c²
=> nb^2c^2 = a^2c^2 = (ac)^2 = (1-db)^2 = 1-2db d^2b^2
nb^2c^2 2db-d^2b^2 = 1
(nbc^2 2d-d^2b)b=1
Selvästi suluissa oleva lauseke on kokonaisluku.

Siis kokonaisluku b on luvun 1 tekijä, joten b = /- 1

(Algebrallisessa mielessä luku b on kokonaislukujen renkaan yksikkö eli ykkösen tekijä.)

Koska b oletettiin positiiviseksi, b=1 ja n=a^2.

Tämä on ristiriita.

Huom. Luvuksi n voidaan tietysti valita n=5. Mutta samalla vaivalla saadaan näin yleisempikin tulos.

(yksinkertaiset) Ketjumurtoluvut ovat irrationaalilukuja jos ne ovat päättymättömiä ja vain silloin

Muodosta luvun SQRT(5) ketjumurtolukukehitelmä ja on helppo todeta, että se on päättymätön
(yhtä helppo kuin todeta että 1/3 desimaaliesitys on päättymätön).

Kehitelmä
SQRT(5)=[2,4,4,4,4,4,4,4,4,4,...]

Koska ketjumurtoluku on päättymätön on luku irrationaaliluku.