Tässä yhteydessä ollaan kiinnostuneita lähinnä *todella* suurten positiivisten kokonaislukujen keskinäisestä järjestyksestä ja niiden esitysmuodoista. Esitetään tässä johdannossa ensin myös tasoittain joitakin pienempiä tärkeimpiä lukuja, jotta keskustelu saadaan todennäköisemmin konvergoitumaan oikealle tasolle. Tässä ollaan siis kiinnostuneita erityisesti täsmällisesti määriteltävissä olevista, suuruudeltaan *oleellisesti* muista esitetyistä poikkeavista, *todella* suurista, mutta *äärellisistä* (ääretön ei ole luku) luvuista ja niiden keskinäisestä järjestyksestä.
TASO 1: Suoralla esitysmuodolla voidaan esittää käytännöllisesti pienimpiä positiivisia kokonaislukuja: 1,2,3, … 10 … 100 … 1000 … 1000000 … 1000000000 jne., mutta suurempien lukujen tapauksessa tarvitaan (jatkuvasti) selvästi entistä kätevämpiä notaatioita.
TASO 2: Potenssiesitysmuodolla: {10,n} voidaan esittää käytännöllisesti lukuja kuten edellä esitetyt miljoona {10,6} ja miljardi {10,9} sekä (eurooppalainen) biljoona {10,12}, googol {10,100} jne. Googol ylittää jo tunnettujen alkeishiukkasten määrän nykyisin tunnetussa näkyvässä maailmankaikkeudessa. Microsoft Windowsin laskimen maksimi {10,10000} kuuluu myös tähän "suhteellisen pienten lukujen" luokkaan.
TASO 3: Plex-luvuilla päästään tästä "vähän" eteenpäin: esim. miljoonaplex {10,{10,6}}, miljardiplex {10,{10,9}} ja googolplex {10,{10,100}}. Googolplex on sen verran suuri, että se mahtuu näkyvään maailmankaikkeuteen vain hyvin pienillä numeroilla kirjoitettuna.
TASO 4: Tetraatiolla esitetään potenssitornin korkeus; esim. trialogue {10,3,2}, jossa kymmenkantaisen potenssitornin korkeus on 3. Tilastollisesti trialogue-määrällä yrityksiä saadaan helposti tuotettua Encyclopedia Britannican koko sisältö oikein satunnaisesti kirjoittamalla. Tetralogue {10,4,2} on jo suurempi kuin maailmankaikkeuksien kokonaismäärä Linden ns. ikuisen kosmisen inflaation mallissa ≈ {10,3.845,2}. Pentalogue {10,5,2} taas on jo "tietyssä mielessä samassa suuruusluokassa", kuin totaalisen universumin Poincare-sykli.
TASO 5: Tätä suuremmilla tetraation avulla helposti esitettävillä luvuilla on nykytietämyksen mukaan vain matemaattista merkitystä. Suurin nykyisin esitettävissä oleva luku matemaattisissa ohjelmissa (HyperCalc) lienee {10,{10,10},2}, jossa siis potenssitornin korkeus on 10 miljardia. Näkyvään maailmankaikkeuteen mahtuvan kymmenkantaisen potenssitornin arvo taas lienee suuruusluokaltaan noin googolgoogolplex = {10,{10,100},2}.
TASO 6: Tetraation käytännöllisten rajojen tullessa vastaan, käytetään korkeampia hyper-operaatioita, jotka määrittyvät rekursiivisesti. Ackermannin luvut; A(n) kulkevat näiden kanssa suurinpiirtein ns. käsi-kädessä. Pentaatio {m,n,3}, heksaatio {m,n,4} jne. Esim. tria-teraksys {10,3,3} = 10 pentaatio 3 = {10,{10,10,2},2}, jossa potenssitornin korkeus on {10,10,2} ja Grahamin 1. luku; g1 = {3,3,4} = 3 heksaatio 3 = {3,{3,{3,3,3},3},3}. A(3) {3,2,1,2}, jossa on käytössä hyperoperaatio, jonka järjestysluku on g1, eli {3,3,4}. Grahamin luku {3,65,1,2} on ollut pitkään suurin tieteellisissä julkaisusarjoissa esitetyissä matemaattisissa todistuksissa käytetty nimetty luku, mutta myös muita "todella isoja" lukuja on esiintynyt todistuksissa myöhemmin.
TASO 8: Mm. Bowers on esittänyt tätä suurempia nimettyjä lukuja, joita tosin ei ole käytetty todistuksissa, hyödyntäen ns. eksploosiota; {m,n,1,3} = m{{m{{m … (n) {{m}}m}} … (n) m}}m}}m, jossa n on toiston määrä, multieksploosiota jne. Esim. superdecal = {10,10 (1) 2} = {10,2,2 (1) 2}.
TASO 9: Tätä suurempien lukujen käytännölliseen esittämiseen tarvitaan superulottuvuuksisia taulukoiden taulukoita. Bowersin suurin nimetty luku on meamealokkapoowa oompa, joka on Birdin notaatiolla esitettynä ≈ {10 10}.
TASO 10: Tällä tasolla luvut ovat edelleen äärellisiä, mutta sellaisia, että ne ovat esitettävissä vain funktioilla, joiden arviointi vaatii äärettömät resurssit. Suurimpien joukossa ovat Rayon luku sekä Hollomin pseudofunktio, joka tosin ei ole matemaattisesti täsmällisesti määritelty.
Mihin sijoittuvat tässä luokittelussa ja suhteessa toisiinsa seuraavat suuret luvut tai luvut, jotka ovat muodostettavissa sopivilla; tunnetun suuruusluokkatuloksen tuottavilla, lueteltujen funktioiden parametrien arvoilla: 1) Conwayn ja Guyn cg(n) -funktio, 2) Hurfordin C(n) -funktio, 3) marxen.c, 4) Kirby-Paris Hydra -pelin maksimikesto, 5) D299, 6) Fishin 5. luku, 7) TREE(N), 8) Birdin U-funktion limiitti, 9) SCG(n), 10) BH(n); Buchholzin Hydra, 11) BEAF:n limiitti, 12) loader.c, 13) Radon sigma -funktio, 14) Busy Beaver -funktiot, 15) korkeampi-asteiset Sigma -funktiot, 16) Goucherin Xi-funktio, 17) eriulottuvuuksiset Aarex-funktiot, 18) Rayon luku, 19) Rayo-funktion limiitti ja 20) Hollomin Iota -pseudofunktio.
Suurimpia lukuja
28
314
Vastaukset
- {10,10,2} + 1
Tarkennuksena vielä, että tuossa johdannossa on käytetty pääosin Bowersin BEAF:n esitysmuotoja. Tämä tyypillinen googology -tyyppinen teema on kiinnostava matemaattisessa mielessä lähinnä tarvittavien esitysmuotojen kautta. Toisaalta ns. suurelle yleisölle on tärkeää hahmottaa suuruusluokkia entistä paremmin, koska monet eivät edelleenkään hahmota mm. sitä, miten suuria äärellisiä lukuja on olemassa. Johdannon lopussa esitetyssä listassa luetellut asiat on pyritty sijoittamaan karkeaan nousevaan suuruusjärjestykseen ja ne sijoittuvat oletetusti tasoille 8-10, mutta niiden keskinäinen järjestys on osin epäselvä johtuen mm. niiden määrittelyissä käytetyistä erilaisista notaatioista. Lisäksi on varmaan muitakin noille ylemmille tasoille sijoittuvia mielenkiintoisia lukuja tai esitysmuotoja, joista osaa on käytetty myös todistuksissa. TREE(n) on funktio, joka kuvaa nimettyjen puiden pisimmän sekvenssin pituuden. SCG(n) on Friedmanin alikuutioinen kombinatorinen verkkonumero. loader.c on Huet-Coquand konstruktio-kalkyylin diagonalisointi. Goucherin Xi(n) -funktio perustuu SKI-kombinaatio-kalkyyliin ja siitä on erilaisia versioita, hyödyntäen eriasteisia oraakkelifunktioita.
- TREE(3)
Eli tässä ollaan kiinnostuneita Grahamin lukua paljon suuremmista luvuista.
Muistaakseni TREE(3) >> A(A(187196)), eli tuo on hyvin heikko alaraja TREE(3):lle. Eli, tuo TREE(3):n hyvin heikko alaraja {3,6,3[1[1¬1,2]2]2}. Mitenkäs tämä suhtautuu BEAF:iin, jolla ilmaisten Graham siis on "suurinpiirtein" {3,65,1,2}?
http://googology.wikia.com/wiki/TREE_sequence - Moserista
Moser sijoittuu tasolle 7. Moser < {3,3,4,2} > tuo mainittu TREE(3):n hyvin heikko alaraja. Myös (oletettavasti): Moser >> g2 (eli Grahamin 2. luku).
- Googolplexian yms.
Listasta puuttuu; ehkä tilarajoitteiden vuoksi, melko tunnettu googolplexian = {10,googolplex} = {10,{10,{10,100}}}, joka kuuluu tässä luokittelussa tasolle 4. Tetralogue < googolplexian < pentalogue.
Googolplexianin simppelit potenssit eivät muuta merkittävästi tuloksien *suhteellista* tasoa, joskin niillä päästään tässä tasorajan läheisyyden vuoksi helposti tasolle 5: googolplexian potenssiin googolplexian (x) = {10,{10,{10,{10,100}}}}. Pentalogue < x < hexalogue ({10,6,2}) jne. - Tritri
Graham-sekvenssin 1. luku; g1, muodostetaan Ackermannin 3. luvun; A(3) perusteella. Tuolla luvulla on kuvaava lempinimi: tritri. A(3) on sellaisen kolmosista koostuvan potenssitornin arvo, jonka korkeus on sellaisen kolmosista koostuvan potenssitornin arvo, jonka korkeus on kolme. A(3) = {3,3,3} = {3,{3,3,2},2}. Tuon sisemmän osan arvo = {3,{3,3}} = {3,27} ≈ 7.63 biljoonaa, joka siis on varsinaisen potenssitornin korkeus.
Voidaan huomioida, että A(3) ≈ {3,{10,12.88},2} < googolgoogolplex, joka siis on {10,{10,100},2}, eli tässä luokittelussa A(3) kuuluu tasolle 5. Kantaluvuilla (esim. 3 tai 10) ei ole näissä yhteyksissä juurikaan merkitystä, arvo määrittyy pitkälti potenssitornien korkeuksien kautta. - SCG(13)
Rayo >> SCG(13) >> TREE(3).
SCG(13) sijoittunee tasoille 7-9 tässä luokittelussa.
http://googology.wikia.com/wiki/Subcubic_graph_number - Fish(2) ja Fish(3)
Fishin 2. luku = {10,10,10,10,63} sijoittuu tässä luokittelussa tasolle 8.
Fishin 3. luku = {63,63(1)2,63} sijoittunee myös tasolle 8?
http://googology.wikia.com/wiki/Fish_number_3 - sigma(12)
Busy Beaver -funktiot ovat hyvin nopeasti kasvavia, mutta niiden ongelmana on se, että niiden tarkkoja arvoja ei tunneta kuin hyvin pienille parametrien arvoille. Toisaalta on kuitenkin päätelty, että S(10) > sigma(10) > A(3) ja sigma(12) > g1.
http://en.wikipedia.org/wiki/Busy_beaver - xkcd
Tritri kirjoitti:
Graham-sekvenssin 1. luku; g1, muodostetaan Ackermannin 3. luvun; A(3) perusteella. Tuolla luvulla on kuvaava lempinimi: tritri. A(3) on sellaisen kolmosista koostuvan potenssitornin arvo, jonka korkeus on sellaisen kolmosista koostuvan potenssitornin arvo, jonka korkeus on kolme. A(3) = {3,3,3} = {3,{3,3,2},2}. Tuon sisemmän osan arvo = {3,{3,3}} = {3,27} ≈ 7.63 biljoonaa, joka siis on varsinaisen potenssitornin korkeus.
Voidaan huomioida, että A(3) ≈ {3,{10,12.88},2} < googolgoogolplex, joka siis on {10,{10,100},2}, eli tässä luokittelussa A(3) kuuluu tasolle 5. Kantaluvuilla (esim. 3 tai 10) ei ole näissä yhteyksissä juurikaan merkitystä, arvo määrittyy pitkälti potenssitornien korkeuksien kautta.Grahamin luvun (G) ja Ackermannin funktion (A(x,y)) yhdistää myös numeroiden muodostuksen antipatternina käytetty xkcd = A(G,G). {3,66,1,2} < xkcd < {3,67,1,2}. Eli, Graham-sekvenssi painii eri sarjassa kuin Ackermann-funktio. Vähän samaan tapaan, kuin tetraatio painii eri sarjassa, kuin potenssiinkorotus.
- Shakkipelit yms.
Googolplexian yms. kirjoitti:
Listasta puuttuu; ehkä tilarajoitteiden vuoksi, melko tunnettu googolplexian = {10,googolplex} = {10,{10,{10,100}}}, joka kuuluu tässä luokittelussa tasolle 4. Tetralogue < googolplexian < pentalogue.
Googolplexianin simppelit potenssit eivät muuta merkittävästi tuloksien *suhteellista* tasoa, joskin niillä päästään tässä tasorajan läheisyyden vuoksi helposti tasolle 5: googolplexian potenssiin googolplexian (x) = {10,{10,{10,{10,100}}}}. Pentalogue < x < hexalogue ({10,6,2}) jne.Perinteinen googolplex:kin: {10,{10,100}} on jo käytännön kannalta hyvin suuri, sillä esim. kaikkien erilaisten shakki-pelien lukumäärän on arvioitu olevan luokkaa {10,{10,50}}, mikä on {10,{10,50}} kertaa pienempi; eli *erittäin paljon* pienempi, luku kuin googolplex.
Toisaalta: {10,{10,50}} = {10,{10,40}} * {10,{10,10}}, eli shakkia pelaillessa ja samalla tietokonetta satunnaisesti näpytellen (merkki/peli) syntyy helposti {10,{10,40}} kappaletta erilaisia informaatiosisällöltään Encyclopedia Britannican tasoisia järkeviä moniosaisia tietosanakirjateoksia (joista yhden tuottaminen siis vaatii alle {10,{10,10}} yritystä).
Mahdollisten shakkipelien lukumäärä kuuluu siis tässä luokittelussa tasolle 3. - Tapani4
sigma(12) kirjoitti:
Busy Beaver -funktiot ovat hyvin nopeasti kasvavia, mutta niiden ongelmana on se, että niiden tarkkoja arvoja ei tunneta kuin hyvin pienille parametrien arvoille. Toisaalta on kuitenkin päätelty, että S(10) > sigma(10) > A(3) ja sigma(12) > g1.
http://en.wikipedia.org/wiki/Busy_beaverLisääppä siihen vielä yksi, niin saat vielä suuremman luvun!
- sigma(12)
Tapani4 kirjoitti:
Lisääppä siihen vielä yksi, niin saat vielä suuremman luvun!
Tavoitteena ei tässä yhteydessä ole tuottaa suurempaa lukua, vaan selvittää tarkasti määriteltävissä olevien, todella suurten ja suuruudeltaan toisistaan *oleellisesti* eroavien lukujen keskinäinen järjestys, kuten tuolla johdannossa todettiin.
Esimerkiksi: merkitään a = g1 = {3,3,4}, b = 1, c = googolplexian potenssiin googolplexian ≈ {10,{10,{10,{10,100}}}} ≈ {10,5.301,2}. a on tässä niin paljon suurempi kuin c, että niiden suhteellinen ero on suurempi, kuin mitä ihminen pystyy kunnolla edes mieltämään. Vastaavasti lausekkeen a c arvo on tässä niin lähellä a:n arvoa, että ihminen ei pysty kunnolla mieltämään niiden suhteellista eroa. Sama pätee tietysti myös a:n ja b:n osalta. - sigma(13)
Tapani4 kirjoitti:
Lisääppä siihen vielä yksi, niin saat vielä suuremman luvun!
Jos taas tarkoitus oli lisätä Radon sigma -funktion argumenttiin 1, niin alaraja: sigma(12 1) = sigma(13) > A(4.5,4.5). Tuo alaraja < A(5) {3,3,k-2} > A(k-2,k-2); (k>=2). Eli, sigma-funktio kasvaa hitaammin kuin Ackermannin funktio.
- Moserista
Moserista kirjoitti:
Moser sijoittuu tasolle 7. Moser < {3,3,4,2} > tuo mainittu TREE(3):n hyvin heikko alaraja. Myös (oletettavasti): Moser >> g2 (eli Grahamin 2. luku).
Toisin kuin Grahamin tapauksessa, tarvittava hyperoperaatio voidaan Moserille esittää luontevasti myös potenssitornilla. Moser ≈ {3,3,{10,257,2}}. Eli, sovellettava hyperoperaatio on järjestysluvultaan arvo, joka saadaan kymmenkantaisesta potenssitornista, jonka korkeus on 257. Oletettavasti tuon sisemmän lausekkeen on itseasiassa tarkoitus tarkemmin ilmaisten olla Moserin Mega (= 2 ympyrässä Steinhaus-Moser -notaatiossa) = M(2,1,5) = M(256,256,3) ≈ {10,257.4458999508,2}.
{3,3,3,2} < Moser < {3,3,4,2}.
http://en.wikipedia.org/wiki/Moser's_number#Moser.27s_number
- Rubikin kuutiot
Tässä ollaan siis kiinnostuneita todella suurten lukujen keskinäisistä suhteista. Havainnollisina esimerkkeinä pienemmistä ehkä kuitenkin voi antaa myös seuraavat:
Rubikin 3x3x3 -kuution erilaiset sekoitusvaihtoehdot
= 43 252 003 274 489 856 000 ≈ {10,19.64}
Rubikin 4x4x4 -kuution erilaiset sekoitusvaihtoehdot
= 401 196 841 564 901 869 874 093 974 498 574 336 000 000 000 ≈ {10,44.603}
Rubikin 10x10x10 -kuution erilaiset sekoitusvaihtoehdot
≈ {10,349.92} ≈ {10,2.406,2}
Nämä kuuluvat tässä luokittelussa kaikki tasolle 2. - M(48)
"Suurin nykyisin esitettävissä oleva luku matemaattisissa ohjelmissa (HyperCalc) lienee {10,{10,10},2}, jossa siis potenssitornin korkeus on 10 miljardia."
Alkulukututkimuksissa pärjätään ainakin vielä nykyään kymmenkantaisilla potenssitorneilla, joiden korkeus on 3.
Suurin tunnettu Mersenne alkuluku; M(48) = {2,57885161} -1 ≈ {10,17425170} ≈ {10,{10,7.241}} ≈ {10,2.860,2} < {10,3,2}. Eli, tuo luku kuuluu tässä ketjussa käytetyssä luokittelussa tasolle 3.
http://primes.utm.edu/largest.html - Mikä taso?
Jos korotan googolplexin potenssiin googolplex ja saadun tuloksen taas potenssiin googolplex ja toistan tätä prosessia googolplex kertaa, niin mille tasolle päädyn?
- Sigmoid
Siis, ilmeisesti tarkoituksena on tässä tuottaa: "googolplex potenssiin googolplex" ja potenssiinkorotuksia googolplex kertaa seuraavaan tapaan: {…{{{gp,gp},gp},gp}, … (gp kertaa)} (jossa gp = 10^(10^100) = {10,{10,100}})? Tällöin potenssiinkorotus tapahtuu vasemmalta lukien toisin kuin yleensä tetraation tapauksessa (jolloin tulos muodostetaan oikealta lukien). Näillä oletuksilla tulos = {10,{10,{{10,{10,100}}*{10,100}}}} = {10,{10,{10,{10,102}}}} ≈ {10,{10,{10,{10,{10,2.0086}}}}} ≈ {10,5.3029,2}. Kymmenkantaisen potenssitornin (jonka arvo muodostetaan oikealta lukien) korkeus on tuossa > 5, joka sattuu tuossa luokittelussa olemaan myös tason 5 alaraja, joten päädyt tasolle 5.
- sigma(12)
Sigmoid kirjoitti:
Siis, ilmeisesti tarkoituksena on tässä tuottaa: "googolplex potenssiin googolplex" ja potenssiinkorotuksia googolplex kertaa seuraavaan tapaan: {…{{{gp,gp},gp},gp}, … (gp kertaa)} (jossa gp = 10^(10^100) = {10,{10,100}})? Tällöin potenssiinkorotus tapahtuu vasemmalta lukien toisin kuin yleensä tetraation tapauksessa (jolloin tulos muodostetaan oikealta lukien). Näillä oletuksilla tulos = {10,{10,{{10,{10,100}}*{10,100}}}} = {10,{10,{10,{10,102}}}} ≈ {10,{10,{10,{10,{10,2.0086}}}}} ≈ {10,5.3029,2}. Kymmenkantaisen potenssitornin (jonka arvo muodostetaan oikealta lukien) korkeus on tuossa > 5, joka sattuu tuossa luokittelussa olemaan myös tason 5 alaraja, joten päädyt tasolle 5.
Tuo tulos; A ≈ {10,5.3029,2} on tietyssä (tetraatio) mielessä "hyvin lähellä" aiemmin mainitsemaani: googolplexian potenssiin googolplexiania; B = {{10,{10,{10,100}}},{10,{10,{10,100}}}} ≈ {10,5.3010,2}. Toki tässä silti A on {10,{10,{10,100}}}, eli googolplexian kertaa suurempi kuin B, joten tuloksien läheisyys on tavanomaisessa merkityksessä (lievästi ilmaisten) suhteellista.
- Grzegorczyk
Oleellista lukujen järjestykseen laittamisessa on se, minkä funktion perusteella ne on muodostettu. Funktiot eroavat kasvunopeudeltaan; esimerkiksi: yhteenlasku: a b > f[0](n), kertolasku: a*b > f[1](n), potenssiinkorotus: a^b > f[2](n), tetraatio ≈ f[3](n) jne. Nopeammin kasvava funktio tuottaa suuremman tuloksen kuin vähemmän nopeasti kasvava funktio, jos niille annetaan sama parametri syötteenä. googology wikissä on laitettu järjestykseen runsaat 110 funktiota. Kyseessä on oleellisesti (nopeasti kasvavien) funktioiden (Grzegorczyk) hierarkia. Ackermann-numeroiden ja hyper-operaatioiden limiitti ≈ f[omega](n) ja se on tuossa listassa kohdassa 20 ja Grahamin funktio kohdassa 24. Funktioita, jotka eivät ole laskettavissa olevia ja jotka eivät ole arvioitavissa äärellisessä ajassa ovat järjestetyn listan lopussa kasvunopeuden suhteen nousevassa järjestyksessä: Radon sigma-funktio, Goucherin Xi-funktio, Tiaokhiaon Aarex-funktiot ja Rayon funktio.
http://googology.wikia.com/wiki/List_of_googological_functions
http://en.wikipedia.org/wiki/Fast-growing_hierarchy- {10,10,2} + 1
Tuo ensinmainittu on erinomainen lähde. En ollut tietoinen tuosta, kun laadin aloituksen lopussa olleen 20-kohdan epäselvien asioiden listan. Muista lähteistä kokoamani listan järjestys näyttäisi kuitenkin itseasiassa olevan sama siltä osin kuin tuo lähde laittaa kyseisiä asioita järjestykseen. Tuon lähteen perusteella on mahdollista sijoittaa suurin osa avoimina olleista kohdista perustellusti tasoluokitukseen, joka aloituksessa esitettiin. Nousevassa järjestyksessä: 1) cg(n): taso 8. 2) c(n): taso 8. 4) Hydra(n): taso 9. 7) TREE(n): taso 9. 8) U(n): taso 9. 9) SCG(n): taso 9. 10) BH(n): taso 9. 11) BEAF: taso 9. 12) loader.c: taso 9. 13) Radon sigma: taso 10. 15) korkeampi-asteiset sigma-funktiot: taso 10. 16) Xi-funktio: taso 10. 17) Aarex-funktiot: taso 10. 19) Rayo-funktio: taso 10. Avoimia kysymyksiä ovat vielä mm.: marxen.c, d[299], fish[5] ja Busy Beaver -funktioiden eri variantit.
Tasoajattelun kannalta on tärkeää tietää, mikä on kulloinkin nopeimmin kasvava eksplisiittisesti hyvin määritelty matemaattinen funktio, koska sitä voidaan käyttää kiintopisteenä jaettaessa äärellinen osa positiivisesta lukusuorasta osiin (esim. 10 tai 100) jollakin periaatteella (esim. logaritminen tai ultra-logaritminen asteikko). Käytännön kannalta mielenkiintoinen asteikko ja ositus olisi luonteeltaan äärimmäisen ns. "logaritminen". Aarex-funktiot perustuvat Xi-funktioon. Rayon funktio on matemaattisesti riittävän hyvin määritelty tehtäessä tarvittavat lisäoletukset siitä, mitä aksiomaattista järjestelmää (esim. ZFC) on tarkoitus käyttää sen määritelmän sisältämien muuttujamäärittelyjen ristiriidattomuuden todistuksissa. Sen sijaan esim. aiemmin mainittu Hollomin Iota-"funktio" ei ole matemaattisesti hyvin määritelty.
Mikä olikaan se asia?
Floodataan saitti täyteen copy-pastea muilta saiteilta?
Mikä oli se pointti tuossa kaikessa??- {10,10,2} + 1
Tämän ketjun aloitus on strukturoitu reaktio keskusteluun, jota oli aiemmin käyty vuosikausia ketjussa:
http://keskustelu.suomi24.fi/node/2154045 - {10,10,2} + 1
Nimimerkki 'tractor' esittää paljon kysymyksiä.
1) Keskustelun tarkoitushan on ilmaistu aloituksessa. 2) Tavoitteena on aihealueen jäsentäminen, mielellään ainakin paremmin, kuin mitä tämän aihealueen ketjuissa tällä foorumilla on aiemmin tehty ja mielestäni tässä suhteessa ollaan edetty hyvin. 3) Ei täällä ole esiintynyt "flooding":ia; sitä olisivat tarpeettoman pitkät suorat ja epärelevantit lainaukset muista lähteistä. 4) Jos tarkoitus on kyseenalaistaa englanninkielisen alkuperäisaineiston tiivistämistä suomeksi, niin kannattaa muistaa, että tämä on suomenkielinen foorumi ja aloituksessa on mainittu myös ns. yleissivistävä tarkoitus. 5) Jos taas kaivataan varsinaista uutta matemaattista kontribuutiota, niin sellainen on yleensä tapana esittää matemaattisissa julkaisusarjoissa. 6) Keskustelu on ollut erittäin asiallista ja huomattavasti paremmin aiheessa pysyvää, kuin useimmilla muilla Suomi24:n palstoilla ja eihän tämä "site" tule täyteen keskustelusta; Suomi24:lla on paljon massamuistitilaa ja muiden aihealueiden palstat vievät siitä pääosan. 7) Jos pointilla tarkoitetaan yksittäistä ratkaistavaa yhtälöä, niin sellaista tässä ei tietenkään ole, koska tarkasteltavana on koko positiivisten kokonaislukujen joukko; tässä edetään ns. laajalla rintamalla. 8) Mikä on 'tractor':in kontribuutio alussa esitettyjen kysymysten ratkaisuun? 9) Jos kaivataan spesifimpää tehtävänantoa, niin sellainen voisi olla esitettyjen funktioiden tuottamien arvojen asettaminen järjestykseen. 10) Yleisemmän tason, matemaattisessa mielessä syvällisempänä tehtävänantona voisi olla sellaisen luokittelun luominen, joka olisi matemaattisessa mielessä paremmin perusteltavissa, kuin esim. ne luokittelut, joita on aiemmin esitetty mm. Chris Birdin, Jonathan Bowersin, Sbiis Saibianin, Aarex Tiaokhiaon ja Robert Munafon toimesta. {10,10,2} + 1 kirjoitti:
Nimimerkki 'tractor' esittää paljon kysymyksiä.
1) Keskustelun tarkoitushan on ilmaistu aloituksessa. 2) Tavoitteena on aihealueen jäsentäminen, mielellään ainakin paremmin, kuin mitä tämän aihealueen ketjuissa tällä foorumilla on aiemmin tehty ja mielestäni tässä suhteessa ollaan edetty hyvin. 3) Ei täällä ole esiintynyt "flooding":ia; sitä olisivat tarpeettoman pitkät suorat ja epärelevantit lainaukset muista lähteistä. 4) Jos tarkoitus on kyseenalaistaa englanninkielisen alkuperäisaineiston tiivistämistä suomeksi, niin kannattaa muistaa, että tämä on suomenkielinen foorumi ja aloituksessa on mainittu myös ns. yleissivistävä tarkoitus. 5) Jos taas kaivataan varsinaista uutta matemaattista kontribuutiota, niin sellainen on yleensä tapana esittää matemaattisissa julkaisusarjoissa. 6) Keskustelu on ollut erittäin asiallista ja huomattavasti paremmin aiheessa pysyvää, kuin useimmilla muilla Suomi24:n palstoilla ja eihän tämä "site" tule täyteen keskustelusta; Suomi24:lla on paljon massamuistitilaa ja muiden aihealueiden palstat vievät siitä pääosan. 7) Jos pointilla tarkoitetaan yksittäistä ratkaistavaa yhtälöä, niin sellaista tässä ei tietenkään ole, koska tarkasteltavana on koko positiivisten kokonaislukujen joukko; tässä edetään ns. laajalla rintamalla. 8) Mikä on 'tractor':in kontribuutio alussa esitettyjen kysymysten ratkaisuun? 9) Jos kaivataan spesifimpää tehtävänantoa, niin sellainen voisi olla esitettyjen funktioiden tuottamien arvojen asettaminen järjestykseen. 10) Yleisemmän tason, matemaattisessa mielessä syvällisempänä tehtävänantona voisi olla sellaisen luokittelun luominen, joka olisi matemaattisessa mielessä paremmin perusteltavissa, kuin esim. ne luokittelut, joita on aiemmin esitetty mm. Chris Birdin, Jonathan Bowersin, Sbiis Saibianin, Aarex Tiaokhiaon ja Robert Munafon toimesta.Pahoittelen tyhmää kysymystäni. Jatkakaa...
- Nero Pattinen
Suurin luku on PALJOONA = ¤. ¤ = oo - ε, kun ε ---> 0.
- {10,10,2}+1
Suurin suhteellisen yksikäsitteisesti määriteltävissä oleva ja matemaatikkojen keskuudessa ainakin jossain määrin tunnettu nimetty luku on Rayon luku.
Epämuodollisesti ilmaisten Rayo on pienin luku, joka on suurempia kuin mikään luku, joka on nimettävissä ensimmäisen asteen joukkoteorian ilmauksella käyttäen vähemmän kuin 10^100 symbolia. Rayo = Rayo(n) funktion arvo n:n arvolla 10^100; eli arvolla googol. Syy valittuun; melko arbitraariseen, mutta suurehkoon n:n arvoon on se, että Rayo(n) tai R(n) funktio on hyvin hitaasti kasvava pienillä n:n arvoilla ja erittäin nopeasti kasvava suurilla n:n arvoilla. R(n) peittoaa kaikki muut tunnetut yksikäsitteiset funktiot kasvuvauhdissaan suurilla n:n arvoilla. Rayon luvun formaali määritelmä on annettu käyttäen toisen asteen logiikkaa:
http://en.wikipedia.org/wiki/Rayo's_number
Vaikka on tietysti mahdollista luoda Rayoa suurempia finiittejä lukuja, niin on kyseenalaista, onko mahdollista luoda sellaista matemaattisesti riittävän yksikäsitteistä vaihtoehtoista funktiota perustaksi näille luvuille, jonka kasvuvauhti olisi suurempi kuin Rayon funktiolla, sen suurehkoilla (eli: n > 10^100) parametrin arvoilla. Ja tässä siis ei tarkoiteta raja-arvoja tai Rayo-funktion diagonalisointia, vaan Rayo-funktiosta riippumatonta funktiota.Tästä on keskustelua sivulla:
http://googology.wikia.com/wiki/Talk:Rayo's_number
- Infinity_scraper
"TASO 9: Tätä suurempien lukujen käytännölliseen esittämiseen tarvitaan superulottuvuuksisia taulukoiden taulukoita. Bowersin suurin nimetty luku on meamealokkapoowa oompa, joka on Birdin notaatiolla esitettynä ≈ {10 10}."
Foorumiuudistus näyttää tärvelleen tuossa kohtaa käytetyn esitysmuodon. Pitää olla ≈ {10 <0 \ 10 [1⌐1⌐2] 1 \ 10 [1⌐1⌐2] 101> 10}. Ehkä tulee tähän kommenttiin oikein. Myöskään aiempi nimimerkkini: {10,10,2} 1 ei enää toimi, joten olen vaihtanut sen.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Cynthia Woods
😋😍😋😍😋😍😋😍😋 💋 Nymfomaani -> https://x18.fun/girl04372247#CynthiaWoods 🔞💋❤️💋❤️💋🔞�214851Aimee Dvorak
😍😋😍😋😍😋😍😋😍 💋 Nymfomaani -> https://x18.fun/girl02740429#AimeeDvorak 🔞❤️❤️❤️❤️❤️🔞💋💋03059Molly Graham
😍😋😍😋😍😋😍😋😍 😍 Nymfomaani -> https://x18.fun/girl02277975#MollyGraham 🔞❤️💋❤️💋❤️🔞❤️03055Rachelle Reynolds
😋😍😋😍😋😍😋😍😋 🔞 Nymfomaani -> https://x18.fun/girl03175674#RachelleReynolds 🔞❤️💋❤️💋❤️03055Pamela Orr
😋😋😋😋😋😋😋😋😋😋 🍒 Nymfomaani -> https://x18.fun/girl06055581#PamelaOrr 🔞❤️💋❤️💋❤️🔞03054Lakeisha Coleman
🍑🍒🍑🍒🍑🍒🍑🍒🍑 💋 Nymfomaani -> https://x18.fun/girl08105348#LakeishaColeman 🔞💋❤️💋❤️💋🔞03050Stephanie Love
😋😋😋😋😋😋😋😋😋😋 ❤️ Nymfomaani -> https://x18.fun/girl01692207#StephanieLove 🔞❤️💋❤️💋❤️03046Becky Steele
🍑🍑🍑🍑🍑🍑🍑🍑🍑🍑🍑🍑 💋 Nymfomaani -> https://x18.fun/girl05250014#BeckySteele 🔞❤️💋❤️03045Allison Queen
🍒🍑🍒🍑🍒🍑🍒🍑🍒 ❤️ Nymfomaani -> https://x18.fun/girl07854217#AllisonQueen 🔞❤️❤️❤️❤️❤️🔞03044Nancy Taylor
😍😍😍😋😋😋😋😍😍😍 ❤️ Nymfomaani -> https://x18.fun/girl01560856#NancyTaylor 🔞💋❤️💋❤️💋03044