Sanotaan, että piillä ei ole tarkkaan arvoa 10-järjestelmässä. Mutta onko kyse vain siitä, että kyllä se arvo on mutta sitä vain ei kyetä ilmaisemaan.
Ajatellaas äärimmäisen pientä pistettä joka liukuu lukusuoraa pitkin luvusta 3,14 ylöspäin. Erotus piihin pienenee aluksi ja alkaa jossain kohtaa kasvaa. Eli silloin sen on ollut pakko käydä nollana jossain kohtaa. Tuossa on silloin piin tarkka arvo, vaikka emme sitä kykene kertomaankaan.
Toinen peruste on se, että tottahan ympyrän kehällä ja halkaisijalla on olemassa täsmällinen súhde, ei se mikään päättymätön sotku voi olla. Jos näin olisi niin ei silloin ympyrääkään voisi olla olemassa.
Ajatellaas äärimmäisen pientä pistettä joka liukuu lukusuoraa pitkin luvusta 3,14 ylöspäin. Erotus piihin pienenee aluksi ja alkaa jossain kohtaa kasvaa. Eli silloin sen on ollut pakko käydä nollana jossain kohtaa. Tuossa on silloin piin tarkka arvo, vaikka emme sitä kykene kertomaankaan.
Toinen peruste on se, että tottahan ympyrän kehällä ja halkaisijalla on olemassa täsmällinen súhde, ei se mikään päättymätön sotku voi olla. Jos näin olisi niin ei silloin ympyrääkään voisi olla olemassa.
Vastaukset 10
Vanhimmat
On piillä tarkka arvo. Se vain on irrationaaliluku, joten sitä ei voi esittää murtolukuna tai desimaalilukuna, jossa olisi jatkuvasti toistuva osa.
Enemmänhän irrationaalilukuja on kuin rationaalilukuja, joten ei tuossa ole mitään ihmeellistä.
Juu, eli mites se piin kaava menikään, kun laskettiin: 1/2 1/3 .... tuohon tyyliin..
Tarkoitatko sarjakehjitelmää?
pii/4 = 1-1/3 1/5-1/7 1/9-1/11...
Tuo vain suppenee tuskastuttavan hitaasti. Piin likiarvon laskemiseen on parempia tapoja.
Wikipedia näköjään osaa auttaa tässäkin:
http://fi.wikipedia.org/wiki/Luettelo_piin_laskukaavoista
Niin, nämä kehitelmäthän liittyvät sitten myöhempiin analyysin tarjoamiin keinoihin laskea piitä tietokoneilla.
Aloitusaiheena oli mietintö piin arvo / irrationaaliluku -suhteen olemuksesta ja miten sen järjellä mieltäisi :)
Jos haluaa käyttää kokonaislukuja jotka ovat nopeimpia tietokoneella, kerrotaan vaikka 1024*1/luku 1024*1/luku2 ...
Voi tehdä myös omia päättymättömiä sarjoja.
"Enemmänhän irrationaalilukuja on kuin rationaalilukuja"
Onko tosiaan, vai onko tämäkin filosofinen kysymys niinkuin tuo irrationaaliluvun
päättymättömyys?
Molempia on tietenkin ääretön määrä. Mutta irrationaalilukujen joukko on mahtavampi - niitä voi perustellusti ajatella olevan enemmän.
Otetaan esimerkiksi tilanne, missä lukujanalta valitaan joku luku täysin satunnaisesti. Kuvitellaan vaikkapa, että pudotamme tikan (jonka kärki on äärettömän ohut, niin että se osuu vain yhteen lukuun) satunnaiseen kohtaan välille (0,1). Todennäköisyys, että tikka osuu irrationaalilukuun on 1 ja todennäköisyys, että se osuu rationaalilukuun on 0 (vaikka se toki mahdollista onkin, ainoastaan äärettömän epätodennäköistä).
Tuossahan sen tikan kärjen pitää olla nimenomaan ylinumeroituvasti äärettömän ohut, että ajatusleikki toimii...
On piillä arvo, yhtä lailla kuin neliön lävistäjällä. Myös A4-arkin sivuilla on todelliset mittansa. Ihminen vain viisauksissaan keksii (kiusakseen?) kaikenlaista filosofista. Esim. jos sulla on 150 g:n einespitsa ja syöt siitä kerrallaan vain osan, ja jäljellä olevasta taas osan jne, niin saat syödä teoriassa ajallisesti vaikka kuin, eikä syötävä lopu koskaan. Arkijärki kuitenkin sanoo, että kokonaisuutena tuon 150 g:n ylitys on haasteellista ja tällä ruokavaliolla elimistökin protestoinee viimein, että jos lisää ei löydy niin huterat on eväät.
Eli ed.kaavan mukaan syöjälläkin määrällisesti takaraja löytyy. Ja voidaan jopa arvata, mikä se on. Esimerkki kertoo, että tavallaan selkeistäkin asioista saadaan matemaattisesti ajateltuna kiemuroita esiin.
A4:sta saadaan A5-arkki taittamalla poikkipäin kahtia. A-arkeissa vaatimus on, että arkin muoto (sivujen mittasuhteet) taitossa säilyy. Matematiikalla voidaan osoittaa, että sivujen suhteet on pakko tällöin olla sellaiset, ettei löydy lyhyttäkään mittatikkua joka menisi molempiin sivuihin tasan (lukuteoreetikot korjatkaa jos on väärin:). Jos löytyisi, sivujen suhde olisi ilmaistavissa murtoluvulla (rationaaliluvulla). Toisaalta siis sivujen suhde on olemassa ja vakio, mutta toisaalta ei löydy kuvaavaa murtolukua. Tässä tullaan siis kynnykselle ja tarpeeseen keksiä arkijärjen ulkolaidalle asettuva irrationaali käsite: luku, jolla on paikkansa lukusuoralla, mutta ei ole muodoltaan murtoluku. Sama juttu on ympyrän kehän ja halkaisijan suhteessa, yhteistä mittatikkua ei löydy. Eikä löydy yksinkertaista valmista merkintääkään esim.neliön lävistäjän tapaan. Ongelmaa on ulkonaisesti siistitty antamalla suhteelle oma nimi: pii.
Aloituksessa on mainittu 10-järjestelmästä. Kaiketi on niin, että periaatteessa esim.12-järjestelmässä jotkut murtoluvulla esitettävät päättymättömät desimaaliluvut tulevat päättyviksi, mutta rationaali-/irrationaalirajaan ei lukujärjestelmän muutoksella voi vaikuttaa. Lukuteoreetikot vahvistakaa.
Näin on, mutta tuo pii:n laskukaava on hauska kokeilla omalla tietokoneella mitä tulee :) desimaalit tarkentuvat vain..