Neliöjuuri päässälaskulla

Kehitetään neliöjuurufunktio sarjaksi tässä tapauksessa 9 ympärillä (x0=9 ja x=11 eli x-x0=2) ja otetaan sarjasta muutama termi, jotka pystyy päässälaskullakin ynnäämään. Silleen ainakin löytyy ratkaisu.

Toi 10/3 on lavennettu kahdellakymmenellä ja sitten vähennetty osoittajasta yksi.
Saatu (200-1)/60 on sitten lavennettu neljälläsataa ja taas vähennetty osittajasta yksi.
Noi yhden vähennykst johtuu sitä että kun ihan alussa sqrt(11/1) neliöjuuren sisältö lavennettiin ysillä , niin siihen tulokseen lisättiin yksi, jotta saatiin neliöjuuri otetuksi ja siitä tuli se 10 /3.
Mutta se on täydellisen hämärän peitossa mistä on saatu tuo tieto, että pitää ensin laventaa nimenomaan kahdellakymmenellä, jotta pästään vähentämään se yksi, ja sitten toisessa vaiheessa, mistä on saatu tieto , että on lavennettava 20^2:lla , jotta päästään vähentämään se yksi ja likiarvo tarkentuu.

Käytettyjä keinoja ainakin lavennus, algebra, interpolointi ja/tai derivointi (differentiaalilaskenta).

Ensin ajateltiin, että 11 on melkein 100/9. Siitä neliöjuuriarvioksi saatiin 10/3. Kuin olisi ollut jakolaskun yläkerrassa neliöjuuri sadasta ja alakerrassa neliöjuuri yhdeksästä.

Sitten järkeiltiin korjauksen tarvetta, eli miten neliöjuuren arvio muuttuisi, jos 100:n asemesta olisi käytetty 99.

Ajateltiin funktiota x toiseen. Muodostettiiin taulukkoa päässälaskulla, tai muistelemalla neliöitä: 81, 100 ja 121. Eli jos x kasvaa 9:sta 10:een ja sitten 11:een, niin sitten x toiseen kasvaa 40:llä, eli keskimäärin 20 silloin, kun x kasvaa yhdellä. Ajatellessa huomattiin, ettei tätä interpolointia tai keskiarvoa olisi tarvinnut laskea, kun tunnetaan differentiaalilaskennan kaavoja: voidaan päätellä derivaatta funktiolle x toiseen. Kaavoista muisteltiin, derivaatta on 2x. Joten kohdassa x=10 voitaisiin suoraan laskea derivaatan arvoksi 20.

Jos siis x toiseen on 100, ja halutaan 99 mieluummin, niin x:ää pitäisi pienentää 1/20 verran, eikö totta. Ajateltiin ensin 9,95, mutta murtoluvuilla helpompaa laskea. Näin saatiin laskutoimitus 10/3- 1/60 = 199/60. Saatiin tarkempi neliöjuuren arvio.

Mutta miten päässälaskulla tästä eteenpäin? Algebraa. Selvitetään, osuiko 199/60 lähelle oikeaa arvoa 11. Eli mitä on (199/60) toiseen . Tätä ajateltiin algebran kaavoilla päässälaskun helpottamiseksi, eli (200-1) toiseen. Saatiin 40000-400 1, eli 39601 jakolaskun yläkertaan, ja alakertaan jakajaksi 60 toiseen, eli 3600.

Huomattiin tästä, että (199/60) toiseen osui jo melko lähelle yhtätoista. Menee yli hiukan. Ylitys on 1/3600. Sovellettiin samaa ajattelua kuin edellä derivaatan laskennassa. Miten paljon x:ää täytyy pienentää, jos halutaan x toiseen -funktiota pienentää 1/3600 verran.

Kohdassa 10/3 funktiolle x toiseen ajateltiin derivaataksi 20/3. Tarkempaakin arvoa voisi yrittää käyttää, mutta päässälaskun kannalta helpompaa ajatella jakaa (1/3600) luvulla (20/3). Eli tässä olisi voinut laskea derivaatan arvoksi 398/60 tai 199/30, mutta pidin helpompana pyöristää, käyttää derivaatta-arvoa ensimmäisen arvion (10/3) kohdalta.

(1/3600) per (20/3) on 1/24000. Näin syntyi arvioketju 10/3 - 1/60 - 1/24000. Tästä sain laskettua desimaalimuotoon (päässä) arvion, jonka tapainen löytyi matematiikan käsikirjan taulukoista. Myöhemmin kun tarkastin laskimella, miten lähelle 79599/24000 osui yhdentoista neliöjuurta, ihmettelin itsekin, mihin tarkkuuteen näin pyöreällä päässälaskulla päästiin, monen oikotien kautta.

Tapa, miten tässä käytettiin derivointia, muistuttaa Taylorin polynomin kaltaista ajattelua, mutta Taylorilla oli käytössä toinen derivaatta, kolmas, jne. Minä tyydyin käyttämään ensimmäistä derivaattaa.

Jos tästä haluaa jotain menetelmää ajatella, niin olisi voitu tehdä eri tavalla siinä vaiheessa, kun lähdettiin tarkentamaan 10/3. Olisi voitu ajatella, että (10/3) toiseen menee yli 11. Ylitys on 1/9. Olisi voitu ajatella tätä kautta korjausliikkeitä eteenpäin ja käyttää samaa derivaatta-arvoa 20/3 molempiin korjauksiin. Laskemisen määrä olisi ollut vielä pienempi. Mutta kun paneuduin tähän neliöjuuri päässälaskulla asiaan kunnolla ensimmäistä kertaa, niin tietysti piti tulla hapuilua ja laskemista ristiinrastiin monin tavoin. Tämän ajattelu selvensi edelleen, miten suuri merkitys derivaatoilla voi olla. Näppärä väline.

Taylorin polynomista kiinnostuneille Youtube-linkki:

https://www.youtube.com/watch?v=KzrdZD4EPXY

Desimaaliluvuiksi muuntamisesta päässälaskulla

10/3 on kuin kolmasosa kerrottuna kymmenellä 3,333.....
1/60 on kuin kuudesosa 0,16666... jaettuna kymmenellä... eli 0,01666...
ja jos kuudesosan näköinen numerosarja vähennetään kolmasosan näköisestä, saadaan kuudesosan näköinen... joten...
3,333.... - 0,01666... tarkoittaa 3,31666..... ja...

1/24000 on melkein kuin 4 kpl sadastuhannesosia.... mutta voidaan korjata näin: (25/24) * (4 /100 000) ja sievennyksen jälkeen saadaan sadastuhannesosia 25/6, eli 4 kokonaista 1/6, eli 4,1666... joten tämähän vaikuttaa yllättävän helpolta...
3,31666 voidaan päässä laskea, että sadasosien kohdalle jää 1, tuhannesosien kohdalle 6, samoin kymmenestuhannesosien kohdalle jää 6, mutta sadastuhannesosien kohdalta vähennetään kuutosesta 4, sitten kuutosesta 1, ja jää vain 3,316625.

En tiedä olenko poikkeuksellisen lahjakas, tai nero juuri tässäkin asiassa, tai visuaalisella muistilla varustettu, tai käytänkö mielikuvitusta monenlaisiin ajatteluihin keskivertoihmistä enemmän, tai miten te toimitte, mutta näin minä sain päässä ajateltua tämän arvon, jota sitten matematiikan käsikirjasta löytyi taulukosta. Vai olikohan desimaaleja vähemmän kirjassa.

Eri asia, miten paljon kukin sitten kuluttaisi aikaa tällaiseen pohdiskeluun. Meneekö vasta-alkajalta muutama tunti, kun kaikki on uutta. Mutta jos on harjaantunut ajattelemaan näitä kokemuksen kanssa, kuluuko sitten luvun neliöjuuren päässälaskemiseen vain muutama minuutti, alle minuutti, vai paljonko? _Ajatellessa kuitenkin löytyi uusia ajattelutapoja, ja jotain, josta menetelmää voisi kehitellä.

Lisää esimerkkejä? Osaatteko päässä laskea neliöjuuren vitosesta? Tai seiskasta?

Newton, minäkö

Tuli pengottua tätä neliöjuuriasiaa hiukan kirjoista. En ollutkaan ainutlaatuista keksintöä tekemässä tämän aiheen kohdalla, vaikka joku johdatuksen tuntu asiassa oli. Että miten pääsiäisenä, kun aikaa oli asioita ajatella, ajattelin nimenomaan neliöjuuren laskemista, ja nimenomaan 11:sta. Jota reittiä pitkin sitten päädyin ajattelemaan interpolointia - että eikö nelijuuri saada graafisesti tai taulukosta, kun tiedetään funktion kasvuvauhdista jotain tai joitakin valmiita arvoja. Ja näin päädyin käyttämään derivaattaa.

Keksintöä oli tehnyt aiemmin Newton. Muitakin neliöjuuren laskentamenetelmiä on kehitelty. Itseäni juuri tässä keksinnössä viehättää se, että syntyy vähällä vaivalla melko hyviä likiarvoja neliöjuurelle, ja voidaan laskea ne murtolukujen muotoon.

Neliöjuuren arviointia - menetelmän kuvaus (tiivistelmä, kertausta)

Juurrettava luku lavennetaan sopivan tuntuisella neliöllä (esim. 4, 9, 16, 25, 36, 100 tai muu neliö), niin että murtoluvun yläkerta osuu mahdollisimman lähelle neliötä myös. Sitten päätellään tästä ensimmäinen arvio. Esim. jos halutaan arvio vitosen neliöjuuresta, voidaan laventaa, että saadaan 80/16, ja tästä neliöjuuren arvioksi saadaan noin 9/4.

Arvioita voidaan tarkentaa toistuvasti Newtonin menetelmällä:

uusi arvio = v - (v toiseen - juurrettava) / (2 v)
jossa v = vanha arvio
ja 2v = funktion v^2 derivaatta, arvion v kohdalta.

Newtonin menetelmää mainittiin kirjoissa:
ENCYCLOPEDIA OF Mathematics
James Tanton, Ph.D.

Free Encyclopedia of Mathematics (0.0.1)
– volume 2.

Jälkimmäisessä teoksessa myös väitettiin, että laskimet käyttävät Newtonin menetelmää neliöjuurten selvittämiseen. Muualla olen nähnyt väitteitä, että laskimet käyttävät funktioiden arvojen selvittämiseen Taylorin polynomia. Itse luulin, että laskimissa on valmiita taulukoita muistissa esim. logaritmien arvoja. Konsteja voi olla monenlaisia.