fy05 asteroidin pyörähdysaika

No se, että joku kappale siinä pinnalla pysyy edellyttää, että:

G*m1*m2/R^2=m2*v^2/R. Lisäksi on kaavoja:

m1=roo*V (asteroidin massa)
V=4/3*pii*R^3 (tilavuus)
v=pii*(2R)*n (kehänopeus)
T=1/n (pyörähdysaika)
G=6,6726*10^-11

Minä noista sain T=1 h 19 min

Siinä tuli laskuvirhe, eli vaikka R supistuukin , niin taisi jäädä pii pois laskuista.
T=8403,8 s Ylöspäin kai pitäisi pyöristää, eli 2h 21 min

Kysymys on siis siitä, millä ehdolla asteroidi pysyy pelkän oman gravitaationsa ansioista koossa ilman, että sen nopeasta pyörimisliikkeestä johtuva keskipakoisvoima hajottaa sen. Jos kappaleen massa on m, saadaan siis kysymysmerkeillä vastanneen ilmoittama kaava, tai oikeastaan epäyhtälö:

Gm/r² >= v² /r.

missä G on Newtonin gravitaatiovakio, r kappaleen säde ja v sen päiväntasaajalla olevan pisteen nopeus sen pyöriessä.

Tähän voidaan sijoittaa m = ρ V = 4/3 π r³ ρ
eli massa on kappaleen tiheys kerrottuna sen tilavuudella,
ja toisaalta sen pyörähdysaika on T = 2πr/v,
jolloin epäyhtälö muuttuu muotoon

4/3 G π r ρ >= 4 π² r/T² ,
missä molemmat puolet voidaan jakaa 4π r:llä, jolloin saadaan

1/3 G ρ >= π /T² .

Kappaleen säde r ei siis vaikuta asiaan, vaan tämä epäyhtälö toteutuu, kun T on vähintään yhtä suuri kuin lausekkeen 3π / G ρ neliöjuuri.
Sijoittamalla tähän tehtävästä ja taulukkokirjoista saadut arvot saadaan
T >= 8403 s = 2 h 20 min 3 s.

T > tosiaan vaikutakaan asiaan.

Ihan tarkkaan ottaen se on yhtälö, koska kysytään pienintä mahdollista pyörähdysaikaa, eli vastaus on vain se yksi aika. Epäyhtälö tulisi, jos kysyttäisiin mahdollisia pyörähdysaikoja.